Тема: Определение уравнения парной регрессии

Средствами ЭТ Excel

Цель:

1. Ознакомиться с основными понятиями корреляционного и регрессионного анализа

2. Освоить порядок определения уравнения парной регрессии средствами ЭТ Excel

3. Научиться оценивать достоверность полученных результатов

Теоретические сведения

В математике существуют понятия, отражающие причинно ¾ следственные связи: функциональная и корреляционная зависимость.

Под функциональной зависимостью подразумевается такая связь между величинами, когда значение зависимой величины ¾ функции полностью определяется значением других переменных величин – аргументов. Функциональная связь может быть линейной, изображаемой графически прямой, и нелинейной, изображаемой графически кривой, например параболой, экспонентой, гиперболой и т.д.

Корреляционная зависимость имеет место, когда каждому значению одной величины соответствует множество случайных значений другой, возникающих с определенной вероятностью. При изучении экономических явлений мы имеем дело не с функциональной, а с корреляционной зависимостью. При парной корреляции наблюдается связь между двумя величинами. При множественной корреляции определенным значениям нескольких влияющих величин-факторов соответствует множество случайных значений зависимой результатной величины, распределенных по известному закону.

Можно подобрать некоторую функцию, которая будет приближенно отражать зависимость. Такая функция называется уравнением регрессии, а ее график ¾ линией регрессии. Корреляционный и регрессионный анализ позволяет решать такие задачи, которые пока другими методами выполнить нельзя, как, например, определение совместного и раздельного влияния многих взаимосвязанных и одновременно действующих факторов на результативный признак.

С помощью корреляционного и регрессионного анализа мы можем рассчитать коэффициенты корреляции, которые оценивают силу связи между отдельными признаками (показателями), подобрать уравнение регрессии, которое определяет форму этой связи, и установить достоверность существования связи.

Если зависимости являются линейными, то регрессия называется линейной, в противном случае регрессию называют нелинейной. Очень важной характеристикой регрессионных зависимостей является мера их достоверности, которая оценивается величиной R^2 ¾ квадрат коэффициента корреляции. Квадрат коэффициента корреляции может лежать в пределах 0 £ R^2 £ 1.

При R^2=0 величины, для которых определяются уравнения регрессии, являются независимыми; при R^2=1 имеет место функциональная (а не статическая) зависимость. Принято считать допустимым R^2 ³ 0.7

Чем больше статистических данных, используемых при определении уравнения регрессии, тем точнее будет определена искомая зависимость. Но при этом следует иметь в виду, что количество статистических данных не может обеспечить полученной достоверной зависимости, если в действительности такой зависимости между исследуемыми величинами нет. Вместе с тем, есть минимальное количество К необходимых исходных данных, определяемое методом наименьших квадратов, с помощью которого находится уравнение регрессии. К определяется по формуле

К = М + 2, (6.1)

где М – количество неизвестных величин в искомом уравнении регрессии.

Для уравнения парной регрессии :

- при линейной зависимости

y = b + mx (6.2)

необходимо определить две величины: b и m

- при уравнении регрессии в виде полинома 2-й степени

y = b + m₁x + m₂x² (6.3)

необходимо определить три величины: b , m₁, m₂

Пример выполнения лабораторной работы

2.1 Постановка задачи

Имеются две наблюдаемые величины X и Y, например, объем реализации фирмы, торгующей подержанными автомобилями, за шесть недель ее работы. Значения этих наблюдаемых величин приведены в таблице 6.1, где X – отчетная неделя, а Y – объем реализации за эту неделю.

Таблица 6.1 ¾ Исходные данные для построения модели

X	Y

Необходимо построить модель, наилучшим образом описывающую наблюдаемые значения.

Ограничимся рассмотрением трех случаев:

1. Y линейно зависит от X

(6.4)

2. Y квадратично зависит от X

(6.5)

3. Y экспоненциально зависит от X

(6.6)

Решение задачи

Алгоритм 6.1 Определение уравнения парной регрессии

1. Создайте форму для решения задачи и введите в нее исходные данные (рисунок 6.1)

2. Постройте точечный график по диапазону ячеек A2:B7.

Ø Выделите A2:B7

Ø Мастер диаграмм

Ø Точечная

Ø Ответить на запросы мастера диаграмм

На экране: рисунок 6.2

3. Построение линии тренда

Ø Курсор на точку графика

Ø М1

Ø МП

Ø Добавить линию тренда….

На экране: Диалоговое окно Линия тренда

Ø Курсор на вкладку Тип

Ø М1

Ø Группа Построение линии тренда (аппроксимация и сглаживание)

Ø Выберите Линейная (или Полиномиальная ¾ Степень: 2, или Экспоненциальная)

Ø Курсор на вкладку Параметры

Рисунок 6.1

Ø М1

Ø Установить флажок Показывать уравнение на диаграмме

Ø Установить флажок Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2) (т.е. на диаграмму необходимо поместить значение квадрата коэффициента корреляции).

Флажок Пересечение кривой с осью Y в точке устанавливается только в случае, если эта точка известна. Например, если этот флажок установлен и в его поле введен 0 (при X=0 Y=0), это означает, что ищется функция Y=a1 X для линейной модели.

Ø ОК

4. Постройте еще два точечных графика и линии тренда для экспоненциальной и квадратичной зависимости по приведенному выше алгоритму.

5. Проанализируйте квадрат коэффициента корреляции (R^2) для каждого из графиков и сделайте вывод.

Вывод: В приведенной задаче квадрат коэффициента корреляции экспоненциальной модели (R^2) равен 0,947 , (R^2) квадратичной модели равен 0,974, (R^2) линейной модели равен 0,9723. Таким образом, квадратичная модель более достоверно описывает зависимость между наблюдаемыми величинами.

Уравнение регрессии для выбранной модели (рисунок 6.3):

Y= -0.0536 X²+2.2607 X+4.9

Рисунок 6.2

Рисунок 6.3

Задание

Определите уравнение регрессии для приведенных исходных данных в соответствии с вариантом.

Вариант 1

Неделя
Количество машин

Вариант 2

Неделя
Количество машин

Вариант 3

Неделя
Количество машин

Вариант 4

Неделя
Количество машин

Вариант 5

Неделя
Количество машин

Вариант 6

Неделя
Количество машин

Вариант 7

Неделя
Количество машин

Вариант 8

Неделя
Количество машин

Вариант 9

Неделя
Количество машин

ТРЕБОВАНИЯ К ОТЧЕТУ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ

Отчет должен содержать:

1. Краткий конспект последовательности определения уравнения парной регрессии

2. Условие и результаты решения задачи.

Лабораторная работа № 7