Математические первоисточники

Если мы задумаемся над тем, с какими объектами работали первые механические предшественники современного электронного компьютера, то должны признать, что числа представлялись либо ввиде линейных перемещений цепных и реечных механизмов, либо в виде угловых перемещений зубчатых и рычажных механизмов. И в том и в другом случае это были перемещения, что не могло не сказываться на габаритах устройств и на скорости их работы. Только переход от регистрации пере­мещений к регистрации сигналов позволил значительно снизить габариты и повы­сить быстродействие. Однако на пути к этому достижению потребовалось ввести еще несколько важных принципов и понятий.

Двоичная система Лейбница.В механических устройствах зубчатые колеса могут иметь достаточно много фиксированных и, главное, различимых между собой поло­жений. Количество таких положений, по крайней мере, равно числу зубьев шесте­рни. В электрических и электронных устройствах речь идет не о регистрации поло­жений элементов конструкции, а о регистрации состояний элементов устройства. Таких устойчивых и различимых состояний всего два: включен — выключен; открыт — закрыт; заряжен — разряжен и т. п. Поэтому традиционная десятичная система, использованная в механических калькуляторах, неудобна для электронных вычис­лительных устройств.

Возможность представления любых чисел (да и не только чисел) двоичными цифрами впер­вые была предложена Готфридом Вильгельмом Лейбницем в 1666 году Он пришел к двоич­ной системе счисления, занимаясь исследова­ниями философской концепции единства и борьбы противоположностей. Попытка пред­ставить мироздание в виде непрерывного вза­имодействия двух начал («черного» и «белого», мужского и женского, добра и зла) и приме­нить к его изучению методы «чистой» матема­тики подтолкнули Лейбница к изучению

свойств двоичного представления данных Рис. 2.3. Готфриа Вильгельм Лейбниц

помощью нулей и единиц. Надо сказать, что

Лейбницу уже тогда приходила в голову мысль о возможности использования дво­ичной системы в вычислительном устройстве, но, поскольку для механических устройств в этом не было никакой необходимости, он не стал использовать в своем калькуляторе (1673 году) принципы двоичной системы.

Математическая логика Джорджа Буля.Говоря о творчестве Джорджа Буля, иссле­дователи истории вычислительной техники непременно подчеркивают, что этот выдающийся английский ученый первой половины XIX века был самоучкой. Воз­можно, именно благодаря отсутствию «классического» (в понимании того времени) образования Джордж Буль внес в логику как в науку революционные изменения.

Занимаясь исследованием законов мышления, он применил в логике систему фор­мальных обозначений и правил, близкую к математической. Впоследствии эту сиетему назвали логической алгеброй или булевой алге­брой. Правила этой системы применимы к самым разнообразным объектам и их группам (множе­ствам, по терминологии автора). Основное назна­чение системы, по замыслу Дж. Буля, состояло в том, чтобы кодировать логические высказывания и сводить структуры логических умозаключений к простым выражениям, близким по форме к мате­матическим формулам. Результатом формального расчета логического выражения является одно из двух логических значений: истина или ложь.

Значение логической алгебры долгое время игнори­ровалось, поскольку ее приемы и методы не содержали практической пользы для науки и техники того времени. Однако, когда появилась принципиальная возможность создания средств вычислительной техники на электронной базе, операции, введенные Булем, оказались весьма полезны. Они изначально ориентированы на работу только с двумя сущностями: истина и ложь. Нетрудно понять, как они пригодились для работы с двоичным кодом, который в современных компьютерах тоже представляется всего двумя сигналами: ноль и единица.

Не вся система Джорджа Буля (как и не все предложенные им логические опера­ции) были использованы при создании электронных вычислительных машин, но четыре основные операции: И (пересечение), ИЛИ (объединение), НЕ (обращение) и ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ — лежат в основе работы всех видов процессоров совре­менных компьютеров