Системы счисления, используемые в информатике

То, что привычные для нас числа имеют основание 10, не вызвано никакими особыми причинами. Вероятно, арабы взяли за основу число 10, просто потому, что в качестве "счетного устройства" они использовали десять пальцев рук. Однако у некоторых народов использовались и другие системы счисления.

Десятичная позиционная система счисления является одним из способов кодирования натуральных чисел. В информатике кроме десятичной системы счисления для кодирования натуральных чисел широко применяются системы счисления с основаниями 2, 8 и 16.

Вопреки распространенному заблуждению, двоичная система счисления была придумана не инженерами, разрабатывавшими вычислительные машины, а философами и математиками задолго до появления компьютеров, ещё в XVII ‑ XIX вв. Возможность представления чисел, построенных на основании только двух цифр - 0 и 1, впервые была предложена великим немецкий ученый Готфридом Вильгельмом Лейбницем в 1666 году. Он считал: "Вычисление с помощью двоек … является для науки основным и порождает новые открытия… При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок".

Система счисления с основанием 2 имеет простейший набор цифр - 0 и 1. В связи с этим правила выполнения арифметических операций с двоичными числами предельно просты:

Сложение	Вычитание	Умножение
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10	0-0=0 1-0=1 1-1=0 10-1=1	0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1=1

Правила выполнения арифметических операций во всех позиционных системах счисления одинаковы. Рассмотрим примеры выполнения арифметических операций с целыми двоичными числами:

1) 1011001 + 11101	2) 100111 - 1001	3) 11011 * 1001 11011___
4) 11011 ½1001 1001 ½11 1001

Простота двоичной системы счисления позволяет использовать для отображения двоичных чисел несложные устройства, работающее в режиме двоичного индикатора, принимающего только два возможных значения 1 и 0 или, соответственно, "включено" и "выключено". Электрическая лампа является одним из примеров двоичного индикатора. Если выстроить в один ряд N электрических лампочек, то можно получить устройство для представления N-разрядных двоичных чисел.

Неудобство использования людьми двоичной системы в практической деятельности является быстро нарастающая громоздкость двоичных чисел. Например, число 327 в десятичной системе счисления в двоичной системе счисления имеет аналог 101000111. С этой точки зрения чем больше основание системы счисления, тем более короткими получаются числа, но более сложными для запоминания человеком становятся таблицы сложения и умножения чисел. В этой связи десятичная система представляется оптимальной для практического использования людьми. Однако в информатике более эффективными считаются шестнадцатеричная и восьмеричная системы счисления. В качестве цифр в шестнадцатеричной системе используются знаки: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F, а в восьмеричной: 0,1,2,3,4,5,6,7. Так как в разных системах счисления применяются общие цифры, то не всегда можно сразу определить, в какой системе счисления представлено число. Для этого принято указывать для числа основание системы счисления в качестве нижнего индекса. Например, 121₁₀ и 121₁₆– это разные числа, представленные соответственно в десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Число 14₁₀ в шестнадцатеричной системе будет иметь аналог E₁₆, а число 7143₁₀=1BE7₁₆.

Особенностью восьмеричной системы счисления является то, что она, во-первых, использует привычные цифры, а во-вторых, - даёт более компактные числа по сравнению с двоичной системой счисления. Примером восьмеричного числа является число 507₈ = 327₁₀.

Выбор для кодирования информации той или иной системы счисления определяется в информатике эффективностью использования результатов кодирования с прагматической точки зрения. Например, при работе с калькулятором пользователю удобно задавать числа и получать результаты расчетов в привычной десятичной системе счисления. В тоже время электронное устройство калькулятора может работать с числами, представленными в двоичной системе счисления. Поэтому на практике возникает необходимость в переводе чисел из одной системы счисления в другую. Очевидно, что между числами в различных системах счисления, обозначающих одинаковое количество, существует взаимно однозначное соответствие.

Преобразовать число любой системы счисления в эквивалент числа в десятичной системе счисления совсем не сложно. Для этого достаточно представить число в виде формулы (1) и вычислить её, заменив в ней цифры и основание соответствующими десятичными эквивалентами. Например, 1BE7₁₆ = 1×16³ + 11×16² + 14×16¹ + 7×16⁰ = 7143₁₀.

Еще проще преобразовать шестнадцатеричное или восьмеричное число в двоичное. Для преобразования шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру шестнадцатеричного числа заменить соответствующим четырехразрядным двоичным числом. При этом используется следующая таблица перевода:

A

B

C

D

E

F

Например, 147₁₆ записывается как 0001 0100 0111 = 101000111₂ (незначащие нули отбрасываются).

Аналогично выполняется преобразование восьмеричного числа в двоичное. Только в этом случае необходимо каждую восьмеричную цифру числа представить трехразрядным двоичным числом, используя следующую таблицу перевода:

Например, 147₈ преобразуется как 001 100 111 = 1100111₂ (незначащие нули отбрасываются).

Двоичное число легко преобразовать в восьмеричное или шестнадцатеричное, стоит только разбить его соответственно на тройки или четверки двоичных разрядов, начиная с младшего разряда, а затем полученные трёхзначные или четырехзначные двоичные числа заменить эквивалентными восьмеричными или шестнадцатеричными цифрами, пользуясь приведенными выше таблицами. Недостающие старшие разряды дополняются незначащими нулевыми разрядами. Например, 10101000111₂ записывается как 010 101 000 111 = 2507₈. Это же число преобразуется в шестнадцатеричное число как 0101 0100 0111 = 547₁₆. Простота рассмотренных выше примеров перевода двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел из одной системы счисления в другую связана с тем, что эти системы имеют основания, являющиеся степенью 2.

Метод перевода числа из десятичной системы в произвольно заданную, например, в шестнадцатеричную несколько сложнее. Для этого требуется произвести серию делений числа на основание P. Проиллюстрируем на примерах общий метод преобразования целого числа из десятичной системы счисления в другую заданную. Пусть нужно перевести в шестнадцатеричную систему счисления число 7143₁₀. Будем делить 7143₁₀ последовательно на 16 (основание системы счисления), а полученные остатки от деления заменять эквивалентными цифрами шестнадцатеричной системы счисления, нулевые остатки в том числе:

7143 : 16 = 446 и 7 = 7₁₆ в остатке,

446 : 16 = 27 и 14 = Е₁₆ в остатке,

27 : 16 = 1 и 11 = В₁₆ в остатке,

1 : 16 = 0 и 1 = 1₁₆ в остатке.

Выписав все остатки, представленные шестнадцатеричными цифрами, начиная с последнего, получим соответствующее шестнадцатеричное число. В результате получим 7143₁₀ = 1ВЕ7₁₆. Для других систем счисления деление надо будет производить на соответствующее основание и остатки заменять соответствующими цифрами. Пусть, например, нужно перевести в двоичную систему счисления число 234₁₀. Процесс перевода будет выглядеть так:

234 : 2 = 117 и 0 = 0₂ в остатке,

117 : 2 = 58 и 1 = 1₂ в остатке,

58 : 2 = 29 и 0 = 0₂ в остатке,

29 : 2 = 14 и 1 = 1₂ в остатке,

14 : 2 = 7 и 0 = 0₂ в остатке,

7 : 2 = 3 и 1 = 1₂ в остатке

3 : 2 = 1 и 1 = 1₂ в остатке

1 : 2 = 0 и 1 = 1₂ в остатке

В результате получим 234₁₀ = 11101010₂.

Кроме рассмотренных выше классических позиционных систем счисления в информатике для преобразования десятичных чисел в двоичный код разработана так называемая двоично-десятичная система кодирования. Она обеспечивает лёгкость перевода данных, представленных в десятичной системе счисления в двоичную форму представления и обратно. В этой системе кодирования десятичные цифры кодируются четырёхразрядными целыми двоичными числами (кодами), представленными в следующей таблице перевода:

Цифра
Код

Получаемый в результате перевода двоично-десятичный код лишь внешне похож на двоичное число, но не является двоичным эквивалентом соответствующего десятичного числа. Например, число 9703₁₀ в двоично-десятичной системе выглядит так: 1001011100000011_2-10. Двоичный же эквивалент равен 10010111100111₂. Двоично-десятичная система может быть использована и как своеобразная позиционная система счисления, однако порядок выполнения арифметических операций над такими числами будет отличаться большей сложностью. Поэтому двоично-десятичный код обычно выступает в качестве посредника при переходе от десятичных чисел к двоичным и обратно.