Закон эквивалентности и анализ иерархии ценностей

С системной точки зрения важно иметь в виду, что мы оцениваем вещи, явления или события не сами по себе, а в их ситуационном проявлении, т.е. по их возможной или уже реализовавшейся роли в определенных ситуациях. В этом смысле всякая оценка ценности частична, поскольку оценка есть прежде всего оценка полезности. Выше мы уже отмечали, что ценности одного вида могут существовать в различных формах. При этом, если некоторый вид ценности присутствует в системе сразу в нескольких формах, то последняя может быть описана двояким образом:

Во-первых, она может быть выражена вектором частных мер (показателей) полезности

, (1.3.17)

где y_k – частная мера полезности, соответствующая ее конкретной форме. Или в случае, если уровень измеримости частных форм полезности достаточен, последняя может быть задана общей эквивалентной мерой, равной

. (1.3.18)

Например, некто может ассоциировать свое богатство со следующей совокупностью

,

где Д – денежная наличность в млн руб.; З – площадь принадлежащих ему жилых зданий, м²; У – площадь его земельного участка, м²; К_ж – красота его жены в классах (высший класс например).

Во-вторых, общая мера полезности данного вида может быть представлена вектором независимых вкладов частных форм ценности в ее общую меру

,

где V_k – вклад k-й формы ценности (полезности) в ее общую меру. В описанном выше случае ценность может быть охарактеризована функцией

.

Возвращаясь к примеру об оценке благосостояния, мы можем записать

,

или

где Б_К – вклад в общую меру благосостояния k-й его формы, измеренный в единой шкале (например, млн руб.). Но как этому гражданину оценить вклад в его богатство, связанный с красотой его жены или состояния своего здоровья? И таких проблем при оценивании возникает очень много. В отличие от представления в частных мерах оценка вкладов в общую меру каждой из них – задача, как правило, практически почти неразрешимая путем прямого оценивания. Эта задача осложняется еще и тем, что ценности имеют, как мы помним, относительный характер своего проявления. Кроме того, не следует забывать и об их интегративном, синергетическом эффекте. Важно также понимать, что же все-таки мы хотим оценить на самом деле: ценность вообще или ее конкретное проявление в виде полезности. Ведь вообще-то говоря, оцениваются лишь полезности, а ценности – ценятся, как ценятся жизнь, здоровье и т.п.Однако оценивание есть источник информации, необходимой для плодотворного ценительства.

Таким образом, речь должна идти не об абсолютном измерении, а об относительной оценке ценностей (полезностей). Данное обстоятельство довольно существенно облегчает дело.

Действительно, в этом случае ценность той или иной ситуации может быть представлена в форме приращения

, (1.3.19)

или

, (1.3.20)

где векторы и характеризуют некоторый базовый объект оценивания, относительно которого осуществляется данная оценка (например, богатство соседа).

Если функции и измеримы в шкале отношений и удовлетворяют некоторым другим условиям, а приращения и ( ) достаточно малы, то справедливой будет следующая оценка:

, (1.3.21)

, (1.3.22)

где – коэффициент чувствительности общей меры ценности (полезности) к мере ее k-й формы. При выполнении соответствующих формальных условий

.

Дальнейшее продвижение в области понимания структуры ценности становится возможным благодаря закону эквивалентности.

Предположим, что различные формы ценности (полезности) одного вида присутствуют в ценности (полезности) объекта оценивания совместно и измеримы в соответствующих шкалах отношений.

Тогда изменения ценности (полезности) в формах k и i называются эквивалентными, если они при прочих равных условиях приводят порознь к равному приращению общей меры ценности от ее базового значения, т.е.

, (1.3.23)

откуда

, (1.3.24)

,

где – коэффициент эквивалентности затрат ценности (полезности) в форме i-й относительно затрат в ценности в форме k. Коэффициент характеризует степень относительной экономичности k-й формы по сравнению с i-й. Чем больше значение , тем менее экономичной является k-я форма, тем все больше ее требуется для получения того же результата (в смысле приращения ), что и при затратах некоторого фиксированного объема i-й формы.

Наряду с такой постановкой вопроса об эквивалентности по затратам вполне правомерна и постановка этого вопроса вкладов. В этом случае следует исходить из условия равенства изменений (затрат) частных форм, т.е.

. (1.3.25)

Такое сравнение на практике обычно интересно тогда, когда речь идет о полезностях, измеримых в одних единицах, например, в кг или м². В этом случае сравнительная оценка такого рода дает нам представление о степени концентрированности (пространственной, массовой и т.п.) рассматриваемой полезности.

При этом вклады отдельных форм ценности будут следующим образом соотноситься между собой:

, (1.3.26)

или

, (1.3.27)

где – коэффициент эквивалентности k-й и i-й форм ценности по их вкладу в общую меру, соответствующий единичным приращениям частных форм. Таким образом, коэффициент характеризует относительную «ценность» k-й формы по сравнению с i-й.

Очевидно,

. (1.3.28)

Необходимо заметить, что два рассмотренных нами подхода к оцениванию особенно отчетливо выявляют принципиальное отличие понимания ценности как способности, потенциально заложенной в структурном образовании (ситуации), от того широко распространенного представления о ценности как о произведенных на создание этого структурного образования затратах некоторых ценностей (дорог предмет, потому что много труда в него вложено). Именно второе, затратное, определение ценности является источником многих заблуждений.

В случае, если отношение эквивалентности (или ) обладает свойством транзитивности, то мы можем записать

, (1.3.29)

откуда

. (1.3.30)

Это означает, что последовательное преобразование формы ценности (полезности) одного и того же вида в замкнутой системе не изменяет ее общей меры.

. (1.3.31)

Для коэффициентов эквивалентности по затратам последнее утверждение может быть записано следующим образом:

. (1.3.32)

Процессы обмена в реальных системах имеют более сложный характер, связанный с некоторой потерей ценности (полезности) при последовательных преобразованиях ее формы. При этом, казалось бы, должно выполняться неравенство

. (1.3.33)

Однако это не так. Дело в том, что часть ценности (точнее, полезности) при таких превращениях переходит в особое связанное состояние, из которого, как правило, система извлечь ее практически не может (ценность, особенно в ее энергетическом проявлении, как бы уходит на другой уровень структуры). Кроме того, часть ценности и энергетически, и информационно в силу открытости системы уходит в окружающую среду. Таким образом, реально последовательное линейное превращение попросту невозможно. Всякий раз мы имеем дело с некоторым ветвящимся (т.е. нелинейным) процессом последовательных превращений, для всех совокупностей которых свойство транзитивности отношения эквивалентности остается справедливым.

Просуммируем обе части выражений по i от 1 до n. В результате получим

, . (1.3.34)

Таким образом, мы получили систему линейных алгебраических уравнений

, (1.3.35)

где – матрица эквивалентности по вкладам.

Матрица А в силу рассмотренных выше определений коэффициентов является обратносимметричной.

. (1.3.36)

Поступая аналогично с выражением , получим

. (1.3.37)

Учитывая связь элементов и , находим, что матрица В является транспонированной матрицей А, т.е. .

Из высшей алгебры известна следующая теорема: сумма корней характеристического уравнения матрицы А

(1.3.38)

равна сумме ее диагональных элементов,т.е.

. (1.3.39)

Таким образом, для обратносимметричной матрицы

. (1.3.40)

Из алгебры обратносимметричных матриц известно, что если она является согласованной (в смысле транзитивности отношения эквивалентности), то максимальное значение корня характеристического уравнения . Причем все остальные корни оказываются равными 0.

Таким образом, приведенные выше системы уравнений мы можем записать в виде

, (1.3.41)

. (1.3.42)

В высшей алгебре векторы и , удовлетворяющие подобным системам уравнений, называются правыми собственными векторами матриц А и В соответственно, отвечающими собственным числам указанных матриц.

Таким образом, мы можем сказать, например, что вектор вкладов частных форм ценности (полезности) при условии транзитивности отношения эквивалентности является правым собственным вектором матрицы эквивалентности А, отвечающим максимальному значению ее собственного числа . Аналогичное высказывание может быть сделано и относительно вектора (вектора затрат).

С учетом того, что матрица В есть транспонированная матрица А, системы уравнений

,

можно переписать в виде

, (1.3.43)

. (1.3.44)

Отсюда следует, что вектор может рассматриваться как левый собственный вектор матрицы А. Аналогично вектор есть левый собственный вектор матрицы В.

Поскольку рассматриваемые нами системы состоят из уравнений с нулевой правой частью, то они определяют бесчисленное множество собственных векторов, отличающихся друг от друга только числовым множителем. Поэтому их целесообразно нормализовать, положив

(1.3.45)

и

. (1.3.46)

Проведение нормализации собственных векторов позволяет получить решения, определяющие доли вкладов (значимости, важности) отдельных частных форм ценности в ее общую меру и доли изменений индивидуальных мер ценности, обеспечивающих одинаковый прирост ее общей меры. Нормализация может быть выполнена и на любое другое число (например, на 100%).

Существование бесчисленного множества совершенно равноправных решений систем (1.3.41) и (1.3.42) свидетельствует о том, что ценности (полезности) абсолютной меры не имеют. Их мера относительна. Она возникает как результат сравнения.

C прагматической точки зрения прямое оценивание пропорций отдельных форм ценности является, несомненно, менее информативным, чем последовательное, независимое попарное сравнение их относительного вклада или требуемого изменения (т.е. оценивания коэффициентов эквивалентности или ). Следовательно, решение задачи на собственный вектор с предварительным определением матриц А или В является, вообще говоря, более точным, чем прямое оценивание пропорций или .

Однако оценивание (например, с помощью экспертов) коэффициентов эквивалентности путем попарного сравнения различных форм ценности может привести к нарушению согласованности соответствующей матрицы эквивалентности. В связи с этим чрезвычайно важной является следующая теорема.

Если отклонения элементов матрицы эквивалентности от их согласованных значений, обеспечивающих транзитивность отношения эквивалентности, достаточно малы (т.е. их можно рассматривать как некоторые достаточно малые возмущения), то и отклонения значения максимального корня l_max от n будет невелико. При этом искажения компонент собственного вектора (т.е. их отклонения от истинных значений) будут также незначительны.

Заметим, что нарушение транзитивности отношения эквивалентности свидетельствует о нарушении условия линейности общей меры ценности относительно ее частных форм, т.е. аддитивности вкладов последних:

. (1.3.47)

Поэтому, чем меньше возмущения элементов матриц А и В, тем точнее будет выполнено это условие, т.е. тем адекватнее будет наше представление о структуре ценности рассматриваемого вида.

Проиллюстрируем влияние возмущений элементов матрицы А (аналогично и В) на следующем примере. Пусть матрица А есть обратносимметричная размером 3 ´ 3. Тогда ее характеристическое уравнение будет иметь вид

. (1.3.48)

Раскрывая определитель и приводя подобные члены, получим

. (1.3.49)

При выполнении условия транзитивности отношения эквивалентности (т.е. согласованности матрицы А)

.

И, следовательно,

,

откуда

, .

Построим зависимость характеристического полинома

,

где

от (рис. 1.3.1).

Рис. 1.3.1

Нетрудно убедиться, что при любых отклонениях значений от равновесных параметр S будет возрастать по сравнению с S = 2 для согласованной матрицы. Из приведенных графиков следует, что при отклонении S от значения 2 происходит увеличение значения максимального корня . Заметим, что этот же эффект наблюдается и при .

Таким образом, по величине отклонения от n можно судить о степени несогласованности матрицы A.

В качестве показателя согласованности матрицы А (аналогично В) T. Саати предложил использовать индекс согласованности

. (1.3.50)

Учитывая психологические особенности оценивания в шкале отношений, Т. Саати предложил в качестве пределов изменения величин a_ki и b_ki использовать числа, лежащие в интервале от 1/9 до 9. Формы ценности, отвечающие большим или меньшим значениям коэффициентов, целесообразно рассматривать на других уровнях иерархии, производя в необходимых случаях соответствующие группировки.

Поскольку ошибки оценивания величин a_ki носят, как правило, случайный характер, то в качестве показателя приемлемости полученных оценок рекомендуется принять отношение согласованности С,

, (1.3.51)

где СИ – среднее значение индекса согласованности обратносимметричной матрицы А (значит, и В), значения элементов которой, расположенные над главной диагональю, заполнялись случайным образом.

Обработка соответствующих данных позволила получить следующее приближенное выражение для среднего значения максимального корня случайно заполняемых матриц А:

, при . (1.3.52)

Таким образом,

СИ . (1.3.53)

Заметим, что при обратносимметричная матрица всегда является согласованной.

Считается, что если , матрица достаточно хорошо согласованна.

Компоненты нормализованного собственного вектора матрицы А являются пределами отношений сумм элементов соответствующих строк матрицы к сумме всех ее элементов:

, (1.3.54)

где – элемент матрицы , являющейся m-й степенью матрицы А.

На основании этой теоремы в качестве первого приближения для оценки нормализованного собственного вектора, очевидно, можно принять

. (1.3.55)

Если бы матрица А была согласованной, то данная оценка была бы истинной.

Второе приближение может быть получено путем возведения матрицы А в квадрат и использования в предыдущем выражении вместо величин элементы вновь полученной матрицы.

Достаточно хорошее, по мнению Т. Саати, приближение дает и следующая оценка

. (1.3.56)

Аналогичным образом могут быть определены и компоненты вектора .

В качестве иллюстративного примера рассмотрим следующую задачу.

Пусть на самом верхнем, стратегическом уровне управления решается вопрос о распределении ограниченного объема средств бюджета среди трех основных отраслей деятельности членов сообщества: Н – наука, культура и образование, П – промышленное производство, С – сельскохозяйственное производство. Уровень развития каждой из указанных отраслей оказывает самое непосредственное влияние на каждую из трех основных компонент (факторов), определяющих благосостояние общества: М – материальное положение населения; З – его здоровье; Б – безопасность общества (рис. 1.3.2).

Рис. 1.3.2. Иерархическая система основных факторов,
влияющих на благосостояние общества

Вполне очевидно, что указанные влияния, а также зависимость функции благосостояния V от компонент М, З, Б, выступающих в роли некоторых частных форм этой ценности, должны быть учтены при разработке концепции бюджета.

Пусть, например, матрица эквивалентности А для первого уровня факторов (частных форм ценности М, З, Б), определяющих функцию V, в условиях достаточно жесткого внешнего окружения, по мнению экспертов, имеет следующий вид:

М, З, Б

.

Заполняя эту матрицу, эксперты отвечают на вопрос типа: во сколько раз величина приращения функции V при увеличении уровня развития k-й компоненты на 1% будет больше соответствующего приращения функции V при увеличении уровня развития i-й компоненты на 1%:

.

Указанные сравнения выполняются для каждой пары из множества М, З, Б.

Нетрудно видеть, что приведенная выше матрица является вполне согласованной. Поэтому, используя формулы первого приближения, находим следующие истинные оценки величин:

.

Рассматривая теперь каждую из частных форм М, З, Б как некоторые ценности, зависящие от факторов Н, П, С, определим для них соответствующие матрицы эквивалентности.

Пусть, например, эксперты дали следующие оценки:

Н П С ,

Н П С ,

Н П С .

Учитывая полную согласованность приведенных матриц, находим

,	,	,
,	,	,
,	,	.

Используя полученные данные, можно определить вклад в благосостояние общества каждой отрасли при условии, что ее уровень увеличится на 1%:

Предположим теперь, что для изменения уровня развития каждой из рассматриваемых отраслей на 1% необходимо затратить следующие финансовые средства (в условных единицах):

, , .

Если общее количество средств, выделяемых на бюджетное финансирование Х, известно и известны ограничения, налагаемые на уровень развития отдельных форм ценности, а также на уровень развития отдельных отраслей, то мы можем теперь окончательно сформулировать задачу о рациональном распределении средств бюджета по отраслям в форме задачи линейного программирования:

, (1.3.57)

где х – общий объем средств бюджета; – минимально допустимое приращение l-й формы благосостояния как ценности; – минимально допустимое приращение уровня развития k-й отрасли; – количество средств, выделяемых на развитие k-й отрасли.

С учетом дополнительных данных об ограничениях будем иметь в нашем случае

Мы не будем искать решение этой задачи (тем более, что соответствующие методы хорошо известны). Заметим только, что величины и характеризуют в определенной степени структуру общей ценности на некотором уровне иерархии ее представления. На более низком уровне структура этой ценности имеет уже отраслевой характер .