Тема № 4. Средние величины и изучение вариации

1. Однородность и вариация в массовых явлениях.

2. Средние величины.

3. Структурные характеристики вариационного ряда.

4. Показатели вариации.

Однородность и вариация в массовых явлениях

Массовые явления обладают как общими для всей совокупности, так и индивидуальными свойствами. Различия между индивидуальными явлениями называется вариацией. Взаимодействие элементов совокупности ведет к ограничению вариации, хотя бы части их свойств. Эта тенденция обусловливает применение средних величин в теории и на практике. Замена множества индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность, является обобщающая функция средней. При этом варианту можно представить следующим образом: Δx_i, где x_i - варианта, с - общность, которая характеризуется средними величинами, Δx_i - индивидуальность, которая характеризуется показателями вариации.

Широкое применение средних объясняется тем, что они имеют ряд положительных свойств, делающих их незаменимыми в анализе явлений и процессов общественной жизни.

Средние величины

Средняя, являясь обобщенной характеристикой всей статистической совокупности, должна ориентироваться на определенную величину, связанную со всеми единицами этой совокупности.

Эту величину можно представить в виде функции F(x1,x2,x3,...,xn).

Так как данная величина в большинстве случаев отражает реальную экономическую категорию, ее называют определяющим показателем.

Если в F(x1,x2,x3,...,xn) все величины x1,x2,...,xn заменить их средней величиной *, то значение функции должно остаться прежним.

Раскрытие функции F(x1,x2,x3,...,xn) приводит к построению разных средних, наиболее широко используются степенные средние вида: .

Придавая z различные значения, получим различные виды средних.

При Z = -1 - средняя гармоническая;

Z=0 - средняя геометрическая;

Z=1 - средняя арифметическая;

Z=2 - средняя квадратическая.

Все средние связаны правилом, которое называется правилом мажорантности средних:

X_h<=X_g<=X_a<=X_q .

Рассмотренные средние называются простыми и применяются при изучении вариации признака от объекта к объекту и связи признаков. Если средняя величина служит для характеристики обобщенных показателей системы, то используются не простые, а взвешенные средние.

Обобщающая формула для взвешенных средних следующая: , где f - веса вариант, частоты или частности.

; ; ; .

Наиболее часто в качестве средних используется средняя арифметическая (при вычислении которой общий объем признаков совокупности остается неизменным).

Свойства арифметической средней величины

1. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю .

2. Если каждое индивидуальное значение признака умножить или разделить на постоянное число, то и средняя увеличится или уменьшится во столько же раз , где а - постоянное число.

3. Если к каждому индивидуальному значению признака прибавить или из каждого значения вычесть постоянное число, то и средняя величина возрастет или уменьшится на столько же .

4. Если веса средней взвешенной умножить или разделить на постоянное число, средняя величина не изменится .

Следствия:

- вместо абсолютных значений весов можно использовать доли или проценты;

- если все веса равны, то средняя арифметическая равна средней арифметической взвешенной.

5. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа .

Правила выбора средней

1. Средняя арифметическая используется, если известны численные значения знаменателя формулы, а значения числителя могут быть получены произведением.

2. Средняя гармоническая используется, если известны числовые значения числителя, а значения знаменателя могут быть получены как частные от деления показателя.

3. Средняя геометрическая применяется, если необходимо найти значение признака, качественно равноудаленного от максимального и минимального значения.

4. Средняя квадратическая применяется для измерения вариации признаков совокупности, что обусловлено 5-м свойством средней арифметической.

5. Средняя хронологическая используется, если данные представлены не за какой-либо период, а по состоянию на дату.