Термодинамика (№№ 231-250)
Пример 1. Кислород массой m = 2 кг занимает объем V1 = 1 м3 и находится под давлением P1 = 0,2 МПа. После нагревания при постоянном давлении он занял объем V2 = 3 м3, а затем его давление в ходе изохорического процесса стало равным P3 = 0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа DU, совершенную им работу A и количество теплоты Q, переданной газу. Построить график процесса.
Решение. График процесса приведен на рис. 6.
Работа расширения газа A12 при изобарическом переходе из состояния 1 в состояние 2 вычисляется по формуле
Работа газа A23 при изо-хорическом переходе из сос-тояния 2 в состояние 3 равна нулю.
Таким образом, полная работа A, совершаемая газом при переходе из состояния 1 в состояние 3, равна
.
Изменение внутренней энергии газа при переходе 1®2®3 определяется соотношением
(1)
где i - число степеней свободы газа;
T1 и T3 - температура газа соответственно в начальном и конечном состояниях.
Уравнения Менделеева - Клапейрона для состояний 1 и 3 запишутся в виде
(2)
(3)
После совместного решения уравнений (1)-(3) получим выражение для изменения внутренней энергии газа:
Согласно первому началу термодинамики, теплота Q, переданная газу, расходуется на совершение газом работы и на изменение его внутренней энергии:
Q = A + D1U.
Произведем вычисления, учитывая, что для двухатомных молекул кислорода кг/моль, а число степеней свободы i = 5:
A = A12 = 0,2×106×(3 - 1) = 0,4×106 Дж = 0,4 МДж;
×МДж;
Q = (3,25 + 0,4) = 3,65 МДж.
Пример 2. Тепловой двигатель, работающий по циклу Карно, получает тепло от нагревателя при температуре 227 °С в количечтве Q1=5 кДж за цикл и передает часть его окружающему воздуху. При этом двигатель совершает за цикл работу, равную 2 кДж.
С каким к.п.д. работает двигатель? Какова температура окружающего воздуха и как изменяется его энтропия за счет работы двигателя в течении одного цикла?
Р е ш е н и е. Коэффициент полезного действия двигателя, работающего по циклу Карно, равен
(1)
где Q2 - тепло, передаваемое двигателем холо-дильнику (окружающей среде);
A - работа;
Т2 – температура холодильника (окружающей среды - воздуха);
Т1 - температура нагревателя.
Отсюда к.п.д.:
.
Температура окружающей среды (Т1=227+273=500К):
Т2=Т1(1-h)=500(1-0,4)=300К=270С.
Изменение энтропии окружающей среды определим по формуле Клаузиуса:
=0,01кДж/К=10Дж/К.
Заметим, что энтропия окружающей среды возрастает, так как она получает тепло от теплового двигателя.
Электростатика
Пример 1. Два точечных электрических заряда q1 = 1 нКл и q2 = - 2 нКл находятся в воздухе на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал j поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удаленной от заряда q1 на расстояние r1 = 9 см и от заряда q2 - на расстояние r2 = 7 см.
Решение. Согласно принципу суперпозиции электрических полей каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Напряженности электрического поля, создаваемого в воздухе (e = 1) зарядами q1 и q2, равны
,
. (1)
Вектор (рис. 7) направлен по силовой линии от заряда q1, так как этот заряд положителен; вектор
направлен также по силовой линии, но к заряду q2, поскольку этот заряд отрицателен.
Модуль вектора найдем по теореме косинусов:
, (2)
где a - угол между векторами и
, который мо-жет быть найден из треугольника со сторонами r1, r2 и d:
.
Во избежание громоздких записей значение cosa удобнее вычислить отдельно:
.
Подставляя выражения Е1 и Е2 из уравнений (1) в формулу (2) и вынося общий множитель за знак корня, получаем
.
В соответствии с принципом суперпозиции потен-циал поля, создаваемого двумя зарядами q1 и q2, равен алгебраической сумме потенциалов, т.е.
. (3)
Потенциал электрического поля, создаваемого в воздухе (e = 1) точечным зарядом q на расстоянии r от него, вычисляется по формуле
. (4)
Согласно формулам (3) и (4),
.
Учтем, что
,
и произведем вычисления:
×103 В/м
кВ/м.
157 В.
При вычислении Е знак заряда q2 опущен, так как он определяет направление вектора напряженности, которое было учтено при графическом изображении вектора (см. рис. 7).
Пример 2.Конденсатор емкостью C1 = 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U1 = 40 В. После отключения от источника тока его соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью C2 = 5 мкФ. Какая энергия W израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора?
Решение. Энергия, израсходованная на образование искры, равна
W = W1- W2, (1)
где W1 - энергия, которой обладал первый конден-сатор до присоединения к нему второго конден-сатора;
W2 - энергия, которую имеет батарея, состав-ленная из двух конденсаторов.
Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле
, (2)
где C - емкость конденсатора;
U - разность потенциалов между его обкладками.
Выразив в уравнении (1) энергии W1и W2 по формуле (2) и приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим
, (3)
где U2 - разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов.
Учитывая, что общий заряд q после подключения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов U2 следующим образом:
. (4)
Подставив выражение (4) в формулу (3), найдем
.
Произведем вычисления:
1,5×10-3 Дж.
Постоянный ток
Пример 1.ПотенциометрссопротивлениемRп= 100 Ом подключен к батарее, ЭДС которой e = 150 В, а внут-реннее сопротивление r = 50 Ом, как показано на рис. 8.
Определить:
1) показание вольтметра, соединенного с одной из клемм потенциометра В и подвижным контактом А, установленным посередине потенциометра, еслисопротивление вольтметраравно RV =500 Ом;
2) разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра.
Решение. Показание вольтметра, подключенного к точкам А и В (рис. 8), или разность потенциалов U1 между точками А и В, определяем по формуле
U1 = I1R1, (1)
где R1 - сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра;
I1 - суммарная сила тока в ветвях этого соединения (она равна силе тока в неразветвленной части цепи).
Силу тока I1 найдем по закону Ома для полной цепи:
, (2)
где R - сопротивление внешней цепи. Оно является суммой двух сопротивлений:
. (3)
Перепишем формулу (2) с учетом выражения (3):
(4)
Сопротивление R1 найдем по формуле параллельного соединения проводников
,
откуда
. (5)
Произведем промежуточные вычисления по формулам (5),(4) и (1):
45,5 Ом,
1,03 А,
U1 = 1,03×45,5 = 46,9 В.
Разность потенциалов между точками А и B при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I2 на половину сопротивления потенциометра:
(6)
Силу тока в цепи при отключенном вольтметре определяем по формуле
(7)
Подставив выражение (7) в формулу (6), найдем разность потенциалов U2:
После вычислений получим
50 В.
Пример 2.Найти мощность, выделяемую электри-ческим током в нагрузке R = 25 Ом, если последняя подключена к источнику постоянного тока с внут-ренним сопротивлением r = 0,1 Ом и током короткого замыкания Iк.з = 150 А.
Решение. Записываем выражение для определения мощности, выделяемой на нагрузке R:
P = I2R. (1)
Согласно закону Ома для замкнутой цепи
. (2)
Запишем соотношение, связывающее ток короткого замыкания Iк.з, ЭДС источника e и его внутреннее сопротивление r:
. (3)
Отсюда
e = Iк.з r. (4)
Подстановка соотношения (4) в формулу (2) дает
. (5)
Переписав формулу (1) с учетом выражения (5), получим окончательную формулу
, (6)
а затем, подставив числовые значения, найдем
9 Вт.
Электромагнетизм
Пример 1. Два параллельных бесконечно длинных провода D и С, по которым текут в одном направлении электрические токи силой I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга.
Определить индукцию магнитного поля, создаваемого проводниками с током в точке А (рис. 9), отстоящей от оси одного проводника на r1 = 5 см, а от другого - на r2 = 12 см.
Решение. Для нахождения магнитной индукции в точке А воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Для этого выделим направление магнитных индукций
и
полей, создаваемых каждым проводником в отдельности, и сложим их геометрически:
=
+
(см. рис. 9).
Модуль вектора может быть найден по теореме косинусов
, (1)
где a - угол между векторами
и
.
Магнитные индукции В1 и B2 выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r1 и r2 от проводов до точки А:
Подставляя выражения В1 и B2 в формулу (1) и вынося выражение за знак корня, получаем
. (2)
Вычислим cosa по теореме косинусов, учитывая, что Ð a = Ð DАС (как углы с соответственно перпен-дикулярными сторонами):
,
где d - расстояние между проводами. Отсюда
Подставим в формулу (2) числовые значения физических величин и произведем вычисления:
= 309×10-6 Тл =
= 309 мкТл.
Пример 2. Плоский квадратный контур со стороной а = 10 см, по которому течет ток силой I = 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле (B = 1 Тл). Определить работу A, совершаемую внеш-ними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сто-рон, на угол j=90°.
Решение. Работа внешних сил по перемещению контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока через контур (рис. 10):
A = -IDФ = I(Ф1-Ф2),
где Ф1 - магнитный поток, пронизывающий контур до перемещения;
Ф2 - магнитный поток, пронизывающий контур после перемещения.
Еслиj=90°, то Ф1 = B×S, а Ф2 = 0. Следовательно,
А = I×B×S = I×B×а2 = 100×1×(0,1)2 =1 Дж.
Примечание. Задача может быть решена другим способом, с использованием определения работы при вращательном движении:
А = МDj.
Предлагаем эти вычисления проделать самостоятельно и убедиться, что описанный выше способ решения задачи с использованием понятия магнитного потока более рационален.
Пример 3. В колебательном контуре, состоящем из индуктивности и емкости, максимальный ток в катушке равен Im = 1 А, а максимальное напряжение на конденсаторе равно Um = 1 кВ. С момента, когданапряжение равно нулю, до момента, когда энергия в катушке становится равной энергии в конденсаторе, проходит t = 1,56 мкс. Считая омическое сопротивление пренебрежимо малым, вычислить период колебаний контура и его энергию.
Решение. По условию задачи энергия магнитного поля в заданный момент времени равна энергии электрического поля в конденсаторе. Сумма этих энергий определяет полную энергию поля контура:
(1)
где L - индуктивность контура;
I - ток в контуре;
С - емкость контура;
U - напряжение на пластинах.
Полная энергия контура, выраженная через максимальное напряжение, равна
. (2)
Из формул (1) и (2) определяем, что
. (3)
Используя уравнение гармонического колебания, в котором отсчет времени ведется от момента, когда напряжение равно нулю, имеем
,
где Um - амплитуда напряжения (максимальное напряжение);
T - период колебаний;
t - время колебаний.
С учетом выражения (3) получаем
;
.
Подставив числовые значения, находим Т:
,
откуда
.
Таким образом, период колебаний контура равен
Т = 8×1,57×10-6 = 12,6×10-6 с.
Вычислим теперь полную (максимальную) энергию контура. Она равна максимальной электрической энергии конденсатора (энергия магнитного поля при этом равна нулю) или максимальной энергии магнитного поля (при нулевой энергии электрического поля):
,
, (4)
где Im - максимальный ток в катушке.
Используя формулу Томсона получаем
. (5)
Произведение правых частей равенств (4) равно квадрату полной энергии контура . Извлечение корня с учетом формулы (5) дает
Вычисляем полную энергию контура:
0,001 Дж.
Пример 4. По двум параллельным проводникам, расположенным на расстоянии 20 см друг от друга, текут токи одного направления величиной в 100 А. Длина проводников равна 3 м. Вычислить силу взаимодействия между проводниками, если они находятся в вакууме.
Решение. На проводники с током в магнитном поле действует сила Ампера, которая может быть найдена по формуле
,
где d - расстояние между проводниками;
l - их длина;
I1 и I2 - токи в проводниках;
m - магнитная проницаемость среды, равная для вакуума m = 1;
mо - магнитная постоянная.
Подставив в формулу известные нам значения, получаем
= 0,03 Н.
Пример 5. Внутри длинного соленоида, имеющего однослойную обмотку из провода диаметром d = 1 мм, находится стальной сердечник. Определить магнитную проницаемость сердечника при силе тока, равной I = 2 А.
Решение. Индукция намагничивающего поля, т.е. поля внутри соленоида без сердечника, вычисляется по формуле
, (1)
где k – число слоев обмотки.
Эта же индукция равна
, (2)
где Н – напряженность магнитного поля.
Из формул (1) и (2) следует, что
. (3)
Если внутрь соленоида поместить сердечник с магнитной проницаемостью , то индукция станет равной
. (4)
Отсюда с учетом соотношения (2) следует, что
. (5)
Подставляя в формулу (3) исходные данные, находим, что H = 2 кА/м, а затем по графику, изображенному на с.113 (см. приложение), для стали находим B = 1,25 Тл. Тогда
.
Пример 6. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов, равную U = 400 В, попал в однородное магнитное поле напряженностью H = 1 кА/м.
Определить радиус кривизны траектории и частоту обращения электрона в магнитном поле, если вектор скорости перпендикулярен линиям поля.
Решение. На движущийся в магнитном поле электрон действует сила Лоренца, которая сообщает электрону нормальное ускорение. По второму закону Ньютона , где
- нормальное ускорение. Тогда в проекции на направление ускорения с учетом выражений для силы Лоренца и нормального ускорения имеем
,
где e - заряд электрона;
v - скорость электрона;
B - магнитная индукция;
m - масса электрона;
R - радиус кривизны траектории;
a - угол между векторами и
(в нашем случае он равен 90°, следовательно, sin a = 1).
Отсюда найдем R:
. (1)
Если обозначить кинетическую энергию электронакак T, то входящий в равенство (1) импульс электрона mv может быть выражен как . Используя равенство T = eU для определения кинетической энергии электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, получаем
. (2)
Магнитная индукция может быть выражена через напряженность H магнитного поля в вакууме как . Подставив полученные выражения в формулу (1), находим
. (3)
Производим вычисления:
м.
Частота обращения электрона в магнитном поле связана с его скоростью и радиусом соотношением . Подставив в это соотношение выражение (3) с учетом формулы(2), получаем
.
Произведем вычисления:
c-1 .
Пример 7.В однородном магнитном поле с индук-цией B = 0,1 Тл равномерно с частотой n = 10 об/c вращается рамка, содержащая N = 1000 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки равна S = 150 см2. Определить мгновенное значение ЭДС индукции в момент времени, когда угол поворота рамки равен .
Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции определяется уравнением Фарадея - Максвелла
, (1)
где - потокосцепление, связанное с магнитным потоком Ф и числом витков N соотношением
= NФ.(2)
Подставляя выражение (2) в формулу (1), получаем
.
При вращении рамки магнитный поток, пронизывающий ее в момент времени t, определяется соотношением
, (3)
где B - магнитная индукция;
S - площадь рамки;
- циклическая частота.
Подставив в формулу (2) выражение (3) и продиф-ференцировав по времени, найдем мгновенное зна-чение ЭДС индукции:
.
Учитывая, что , а
, получаем
.
Произведем вычисления:
B.
Пример 8.Имеется катушка, индуктивность кото-рой равна L = 0,2 Гн, а сопротивление R = 1,64 Ом.
Найти, во сколько раз уменьшится сила тока в катушке через t = 0,05 с после того, как катушка отключена от источника тока и замкнута накоротко.
Решение. При выключении тока в цепи, содержащей R и L (рис. 11), и ²закорачивании² катушки ток в ней изменяется по закону
,
где Iо - значение тока до ²закорачивания² катушки.
Через промежуток времени t1 сила тока в катушке будет равна Тогда отношение токов будет следующим:
.
Произведем вычисления:
раза.