Упражнения в применении знаний

2.1.1.

С каким понятием знакомятся первоклассники?

Разбейте описанный ниже фрагмент урока на части, соответствующие ступеням познания.

Диалог учителя с учащимися и их действия	Ступени познания
Дети пришли в класс после перемены. На партах они увидели украшенные аппликациями картонные коробочки. Учитель: - Эти коробочки сделали для вас мои бывшие ученики, когда учились в четвёртом классе. Они хотели, чтобы игра с этими коробочками помогла вам учиться математике. Я знаю интересную игру с коробочками. Давайте поиграем в неё? Дети: - Давайте! Учитель: - Представьте, что мы работаем на кондитерской фабрике. На ней производят разные сладости: конфеты, печенье, вафли, пастилу и многое другое. На фабрике есть фасовочный цех. Там сладости укладывают в красивые коробки. Рабочих, которые выполняют эту работу, называют фасовщиками. Итак, вы - фасовщики, а я мастер цеха. Вот моё, мастера, задание: расфасуйте конфеты в коробки вот так. - Учитель берёт со своего стола в одну руку несколько жёлтых, а в другую – несколько красных квадратов, и показывает их ребятам. Учитель: - Пусть жёлтые квадраты будут конфетами с помадной начинкой, а красные – конфетами с мармеладной начинкой. - Он «укладывает конфеты в коробку», пользуясь изображением коробки, прикреплённым к магнитной доске. Дети наблюдают, как в нарисованной коробке (с помощью магнитов) сначала появляются жёлтые квадраты, а затем – красные. Учитель: - Бригада фасовщиков, пожалуйста, упакуйте конфеты в коробки так же, как я вам только что показала. - Дети выполняют задание. Каждый работает на своей парте, пользуясь содержимым пенала с дидактическим материалом. Учитель наблюдает за действиями ребят. Дождавшись окончания работы учащихся, учитель продолжает. Учитель: - Дима, расскажи нам, пожалуйста, как ты выполнял свою работу? Учитель регулирует деятельность ученика вспомогательными вопросами: - Какие конфеты ты положил к коробку сначала? - Какие фигуры были вместо них? - Какие конфеты ты положил потом? - Какие фигуры были вместо них? - Расскажи о том, какие конфеты оказались в коробке в результате? - Какое слово можно написать на коробке, чтобы люди знали, что в ней? - Что будет для них сюрпризом? Дима: - Сначала я положил в коробку конфеты с помадной начинкой. Вместо них были жёлтые квадраты. Потом я положил в коробку конфеты с мармеладной начинкой. Вместо них – красные квадраты. В моей коробке лежат конфеты с разной начинкой: жёлтые и красные квадраты. На коробке можно написать слово «конфеты». Для тех, кому она достанется, будет сюрпризом то, что в ней есть конфеты с помадной начинкой и конфеты с мармеладной начинкой. Учитель: - Наташа, расскажи, как ты выполняла работу фасовщицы? - А ты, Слава? И т. д. Несколько учеников рассказывают о том, как они действовали, с чем работали и какой результат получили. Затем ученики освобождают коробочки, чтобы продолжить игру. Учитель: - Теперь мастером будет Зиночка. Иди, Зина, сюда. Зина выходит к доске. Учитель: - Уважаемый мастер, какие сладости мы будем фасовать в коробки теперь? Зина: - Вафли. Учитель: - Фабрика производит вафли с ореховой и фруктовой начинкой. Мастер, покажите нам, пожалуйста, что нам делать? Зина берёт с учительского стола несколько коричневых прямоугольников и начинает их «укладывать в коробку». Дети наблюдают за происходящим у доски. Учитель: - Расскажите нам, мастер, что вы делаете? Зина: - Я укладываю вафли с ореховой начинкой. Зина берёт со стола розовые прямоугольники. Зина: - А теперь я укладываю вафли с фруктовой начинкой. Учитель: - Я поняла, прямоугольники коричневого цвета – будто бы вафли с ореховой начинкой, а розовые прямоугольники – вафли с фруктовой начинкой. Зина: - Да. Учитель: - Хорошо Зина придумала! Правда? Дети: - Да! Учитель: - Но, ребята, в пеналах нет прямоугольников такого цвета. Как же выполнить задание нашего мастера? Дети: - Можно взять прямоугольники синего и красного цвета. В пенале такие прямоугольники есть. Пусть красные прямоугольники – как бы вафли с ореховой, а синие – как бы вафли с фруктовой начинкой. Учитель: - Ну что ж, договорились. Мастер, можно фасовщикам приступать к работе? Зина: - Да. Дети выполняют задание на своих партах. Они описывают словами свои действия. При этом учитель с помощью вопросов помогает им обратить внимание на то, что ребята действовали с разными группами предметов, что они объединяли эти группы в одну совокупность, которая и становилась результатом действия. Далее происходит смена мастера, вида сладостей и их заменителей (моделей). Игра продолжается до тех пор, пока дети не усвоят основных моментов действия, о которых говорилось выше, и пока учитель не почувствует, что учащиеся готовы к обобщению. Тогда учитель демонстрирует серию сюжетных картинок (3-5шт.), на каждой из которых изображено действие, представляющее собой объединение двух групп предметов того или иного рода в одну совокупность. Учитель: - Чем отличаются картинки между собой? - Дети дают словесное описание происходящему, отражённому на каждой из картинок, например: ребята составляют из двух букетов цветов один букет; буфетчица, уложив в вазу яблоки, кладёт туда и груши; мальчик в аквариум с золотыми рыбками выпускает телескопов и т.п. Учитель: - Чем похожи все действия, изображённые на этих картинках? Дети (высказывают мысль, пользуясь доступными им языковыми средствами, а учитель, обобщая их ответы, формулирует): - На всех картинках нарисовано, как две группы предметов объединяли в одну группу. Учитель: - Это действие в каждом отдельном случае вы называли с помощью специально придуманного для этого слова: на этой картинке – «составляли», здесь – «положила», «добавил» и другие. В математике тоже есть специально придуманные знаки, но они такие, что могут рассказать не об одном действии, а обо всех этих действиях сразу. - Математик, рассматривая эти картинки, заговорил бы о действии, которое выполняют не с группами предметов, а с числами, которые обозначают количества предметов в группах. Это действие называется «сложение». Его записывают с помощьюзнака «+», который тоже имеет свое название – «плюс». - Учитель, сообщая эту информацию, прикрепляет на магнитную доску карточки со знаком «+» и словами «плюс» и «сложение». Учитель: - А числа, с которыми это действие совершается, он обозначил бы цифрами. - Вместе с этими словами учитель выставляет слева и справа от знака плюс карточки с цифрами, но так, что они оказываются повёрнутыми к классу обратной стороной. В результате дети видят запись: ■ + ■. Учитель: - Я начну предложение, а вы закончите: знак плюс обозначает на письме действие …, а цифры - … Дети (соответственно): - Сложение! …Числа! Учитель: - Молодцы! Подумайте, какие цифры я спрятала от вас, если эта математическая запись сделана к первой картинке? Дети: - 3 и 5. Учитель: - Как вы догадались? - Учитель переворачивает карточки с цифрами так, чтобы дети увидели запись: 3 + 5. Дети: - У мальчика 3 цветка, а у девочки 5. Учитель: - Кто может прочесть эту математическую запись? - Учитель, если это необходимо, помогает вызвавшимся читать запись ученикам. Он показывает в нужный момент на соответствующую карточку со словом или произносит начало высказывания, давая детям возможность завершить его. Дети: - Три плюс пять. Учитель: - А ещё как можно её прочесть? Дети: - Число три сложить с числом пять. К трём прибавить пять. Три складывают с числом пять. Учитель: - Молодцы! Что надо изменить, а что нет, чтобы переделать эту запись в математическую запись, подходящую ко второй картинке? Дети: - Надо изменить цифры, а знак плюс оставить. Учитель: - Почему вы так думаете? Дети (пример полного ответа): - Цифры изменятся, потому что числа другие: в вазу положили 4 яблока, а не 3, и 2 груши, а не 5. А знак плюс останется, потому что числа сложили, так как яблоки объединили с грушами. Учитель: - Составьте из карточек, которые у вас на партах, математическую запись ко второй картинке. - Учащиеся составляют запись у себя на партах, а учитель, подождав немного, смотрит, что у них получилось. Учитель: - Проверим, научились ли вы делать математические записи к картинкам. Прочитайте свою запись (4 + 2) по-разному. Прочитайте по-разному и эти записи. - Он заранее сделал их на картах и теперь выставил на магнитной доске: 7+1, 6+3, 5+3. Учитель: - Какая из этих записей подходит к третьей картинке? Дети: - 5 + 3. Учитель: - Почему? Дети: - Потому что в аквариуме плавало 5 золотых рыбок, а мальчик выпустил туда ещё 3-х телескопов. - Учитель убирает с доски всё, кроме карточек с новыми терминами и выражениями: 7+1 и 6+3. Он просит двух учеников сесть за стол, стоящий позади детских парт, и поработать с демонстрационным материалом: фигурами и индивидуальными наборными полотнами. А остальных – выполнить задание на своих партах, пользуясь фигурами из пенала с дидактическим материалом. Учитель: - С помощью фигур, покажите, что обозначает запись. Задание для первого варианта: 7+1; задание для второго варианта: 6+3. - Дав время на самостоятельную работу, учитель организует её проверку путём обсуждения вещественных моделей, составленных учениками, работавшими с демонстрационными материалами. После проверки самостоятельной работы и соответствующих организационных действий он предлагает учащимся поучиться делать математические записи в рабочих тетрадях. Сначала ребята обводят образцы записей, а потом пытаются записывать их самостоятельно. После чего на строчках, заранее отмеченных учителем точками, ребята выполняют следующее задание учителя. Учитель: - Обведите красным карандашом 5 клеточек, а зелёным – 4 клеточки. - Ждёт исполнения. Учитель: - Подумайте, какую математическую запись можно сделать под тем, что мы нарисовали? Дети: - Можно написать цифру 9. Учитель: - О чём будет рассказывать эта цифра? Дети: - Что мы обвели 9 клеточек. Учитель: - Запишите цифру 9 возле моей точки под рисунком с клеточками. Ждёт исполнения. Учитель: - А какая математическая запись может показать, что вся группа клеточек состоит из красных и зелёных клеточек? Дети: - 5+4. Учитель: - Сделайте эту запись возле следующей ниже точки. - Выполнение последних записей может производиться и в другой последовательности. После этой работы учитель подводит итог. Учитель: - О каком действии с числами мы сегодня узнали? Дети: - Мы узнали о сложении. Учитель: - Покажите карточку со знаком, которым сложение обозначается на письме? - Дети показывают карточку со знаком «+». Учитель: - О каких случаях из жизни, например, воробьёв, цветов на клумбе или наседки с цыплятами и что может рассказать нам запись: 1+ 6? Дети (примеры ответов): - В кормушку прилетел сначала один воробышек, а потом ещё шесть. - На клумбе расцвели разные цветы: 1 тюльпан и 6 нарциссов. - У наседки вылупился 1 цыплёнок, а потом ещё 6. Учитель: - Молодцы! Вы успешно сегодня потрудились.

2.1.2.

Определите, какое понятие формируется у младших школьников в тот момент их обучения, когда им предлагается выполнить задание, вида:

1.

2+2+2+2+2+2+2+2= 2·8=

7+7+7+7+7+7= 7·6=

25+25+25+25= 25·4=

Объясни, что означает каждое число в записи со знаком умножения. Вычисли значения этих выражений. [25]

2.

Выбери выражение, которое соответствует каждому рисунку:

☺

☺

☺

☺

☺

☺

☺

☺

☺

☺

☺

☺

☻

☻

☻

☻

☻

☻

☻

☻

☻

☻

☻

☻

☻

☻

☻

☻

☻

☻

☻

5+6

6+4

2+7

3+7

5+5[26]

3.

Реши примеры на деление, пользуясь примерами на умножение

55·10=550 

380·10=3800 

ΨΣΥ·10=ΨΣΥ0 

550:10= 550:55=

3800:10= 3800:10=

ΨΣΥ0:10= ΨΣΥ0: ΨΣΥ=[27]

Найдите среди них задание, способствующее переходу учащихся со ступени чувственного познания на ступень рационального познания, с уровня эмпирического мышления на уровень теоретического. Обоснуйте свой ответ.

2.1.3.

На доске изображены окрашенные в разные цвета фигуры: угол, квадрат, прямоугольник, не являющийся квадратом, и пятиугольник. Под ними столбиком написаны термины:

а) прямоугольник;

б) квадрат;

в) четырёхугольник;

г) треугольник;

д) многоугольник.

Учащимся предлагается выбрать названия для каждой фигуры.[28]

Какому этапу познания соответствует данное задание для младших школьников? Почему?

2.1.4.

Учащимся предлагается (система Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова) записать равенства, заменив сумму разрядных слагаемых числом:

30(5)+3(5)=

ΨΟ(*)+Ψ(*)=

500(6)+20(6)+4(6)=

ΩΟΟ(*)+ΣΟ(*)+Ψ(*)=

400(5)+30(5)=

ΣΟΟ(*)+ΩΟ(*)=[29]

Можно ли утверждать, что данное задание способствует переходу младших школьников со ступени эмпирического, на ступень теоретического мышления? Почему?

2.1.5.

Возьмите учебники по математике для начальной школы любого автора или авторского коллектива и найдите в них задания, отвечающие следующим требованиям:

задания должны быть направлены на формирование одного и того же математического понятия;

каждое из заданий должно соответствовать очередному этапу познания:

I. Чувственное познание.

II. Рациональное познание:

a) эмпирическое мышление;

b) теоретическое мышление.

Результаты работы внесите в таблицу:

Задания для учащихся (выписать и указать источник)

Этап познания

Обоснование

2.2.1.

Дети разрезали бумажную модель квадрата на 4 треугольника, которые получились в результате проведения диагоналей. Учащимся предложили составить из этих треугольников какие-нибудь известные им многоугольники, не являющиеся квадратами. Дети приступили к поиску.

По мере того, как кто-то из учеников получал новый вид многоугольника у себя на парте, учитель просил его составить такую же фигуру из демонстрационных треугольников (полученных тем же способом) на доске. Каждый из этих учащихся с воодушевлением и уверенностью шёл к доске, но, приступив к выполнению задания, внезапно останавливался, приходя в замешательство. Он вдруг обнаруживал, что не может воссоздать свою фигуру сразу. Учитель, заметив это, предлагал ученику вернуться к парте и посмотреть, как он это делал.

Ребёнок подходил в своей парте, взглянув, возвращался и быстро составлял из треугольников фигуру, подобную той, что была у него парте.

Верно ли, что причиной описанного поведения младших школьников явилась их ориентация на представление? Обоснуйте свой ответ.

2.2.2.

На доске изображены две фигуры:

«Можно ли назвать прямоугольник квадратом?» - спросила учительница детей, указывая на левую фигуру. «Нет», - хором ответили ученики. «Но ведь у него, как и у квадрата, четыре прямых угла, есть равные стороны», – возразила учительница. Но ребят это не смутило, и они продолжали настаивать: «Всё равно нельзя, потому что у квадрата все стороны равны, а у прямоугольника не все, а только противоположные». «Хорошо. Вы доказали, что правы», – сказала учительница и задала новый вопрос: «А можно квадрат назвать прямоугольником?» Дети тут же ответили: «Нет!»

В чем причина последнего ответа учащихся?

2.2.3.

Возьмите учебники по математике для первоклассников разных авторов, например, учебник М..И.Моро, М.А.Бантовой, Г.В.Бельтюковой и др., учебник В.В.Давыдова, С.Ф.Горбова, Г.Г.Микулиной и др., учебник Н.Б.Истоминой или учебники иных авторов. Найдите в них страницы, предназначенные для организации «до числового» периода обучения. Установите, какие житейские понятия из области математических знаний выявляются у первоклассников с помощью размещённых на них заданий. Результат анализа этих материалов оформите в таблице.

Учебник

Страница

Понятие

Обоснование

2.2.4.

Возьмите учебники по математике для первоклассников разных авторов (не менее трех), например, учебник М..И.Моро, М.А.Бантовой, Г.В.Бельтюковой и др., учебник В.В.Давыдова, С.Ф.Горбова, Г.Г.Микулиной и др., учебник Н.Б.Истоминой или учебники иных авторов. Найдите в них страницы, предназначенные для организации знакомства маленьких школьников с понятием: а) натуральное число; б) сложение; в) вычитание.

Выделите на этих страницах материалы, предназначенные для выявления житейских знаний, и те из них, что способствуют их превращению в научные понятия. Результат анализа оформите в таблице.

Учебник	Страница	Материалы	Обоснование
		по выявлен. житейск.зн.	(краткое описание)
по превращен. в научн. зн.	(краткое описание)

2.2.5.

Найдите в учебниках по математике Н.Б.Истоминой материалы, посвящённые рассмотрению

а) объёма понятия «числовое выражение»;

б) объёма понятия «дробь».

Результаты работы занесите в таблицы:

Класс и стр.

Описание этапа изучения понятия

Новое знание об объёме понятия

Примеры (числовых выражений или дробей)

Приведите примеры числовых выражений и дробей, которые не встречаются в этих учебниках по математике для начальной школы.

2.2.6.

Найдите в учебниках по математике Л.Г.Петерсон материалы, посвящённые рассмотрению

а) объёма понятия «числовое выражение»;

б) объёма понятия «дробь».

Результаты работы занесите в таблицы:

Класс и стр.

Описание этапа изучения понятия

Новое знание об объёме понятия

Примеры (числовых выражений или дробей)

Приведите примеры числовых выражений и дробей, которые не встречаются в этих учебниках по математике для начальной школы.

2.2.7.

Найдите в учебниках по математике М.И.Моро, М.А.Бантовой, Г.В.Бельтюковой и др. и учебниках Н.Б.Истоминой (с 1-го по 4-й класс), страницы, где вводятся новые термины. Результаты отразите в таблице:

Термин понятия	Сведения об учебнике	Страницы
…	М.И.Моро…
Н.Б.Истомина…

2.2.8.

Найдите в учебниках по математике (с 1-го по 4-й класс) В.В.Давыдова, С.Ф.Горбова, Г.Г.Микулиной и др. или Э.И.Александровой (по системе Д.Б.Эльконина-В.В.Давыдова) страницы, где вводятся новые термины. Результаты отразите в таблице (см. № 2.2.7.).

2.2.9.

Возьмите учебники по математике для начальной школы разных авторов, например, учебники М..И.Моро, М.А.Бантовой, Г.В.Бельтюковой и др., учебники Н.Б.Истоминой. Найдите в них все страницы с материалами, посвященными понятию о натуральных числах. Проследите, в какой последовательности учащимся предлагаются новые для них знания о натуральных числах. Результат анализа занесите в таблицу:

Сведения об учебнике	Сведения о натуральных числах	Страницы
О термине	О содержании	Об объёме
М..И.Моро…
Н.Б.Истоминой…

2.2.10.

Возьмите 2 комплекта учебников по математике разных авторов для начальной школы. Найдите в них страницы с материалами, рекомендуемыми для организации знакомства учащихся с арифметическим действием. Результат этой работы оформите в виде таблицы:

Сведения об учебнике	Виды арифметических действий	Страницы
сложение	вычитание	умножение	деление
с ост.	без ост.
	(Что узнают дети о термине, содержании и объеме понятия?)

2.2.11.

Даны определения:

· Квадрат – плоская, замкнутая, ограниченная четырьмя равными сторонами фигура, все углы которой прямые.

· Квадрат – четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны.

· Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

· Квадрат – ромб с равными диагоналями.

· Квадрат – ромб, у которого есть прямой угол.

Выполните анализ определений по вопросам:

1) Каким термином обозначается определяемое понятие?

2) Какая совокупность существенных признаков для определения принадлежности фигуры объёму этого понятия дана в каждом из представленных случаев?

3) К какому выводу приводит сравнение этих совокупностей?

4) Каково содержание понятия?

5) Какое содержание данного понятия учащиеся усваивают в начальной школе? (Для ответа на этот вопрос воспользуйтесь учебниками по математике для начальной школы.)

6) Каким объёмом обладает данное понятие: конечно или бесконечно множество, составляющее его?

7) Какими отличительными признаками могут обладать фигуры, принадлежащие объёму этого понятия? Входят ли эти признаки в состав содержания данного понятия? Почему?

2.3.1.

Даны неявные определения математических понятий:

· Как известно, записи 3+7, 24:8, 3·2-4, (25+3)·2-17 называются выражениями. Они образуются из чисел, знаков действий и скобок. Если выполнить все действия, указанные в выражении, получится число, которое называют значением числового выражения. Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти. Про такие выражения говорят, что они не имеют смысла. В записи 2a+3 буква а называется переменной, а сама запись 2а+3– выражением с переменной. В начальной школе для обозначения переменной кроме букв используются другие знаки, например, □ («окошко»).[30]

· Высказыванием называется предложение, относительно которого имеет смысл вопрос: истинно оно или ложно.[31]

· Предложение х+5=8 называют высказывательной формой. Оно порождает множество высказываний одной и той же формы.[32] Например: 3+5=8 – истинное высказывание, 4+5=8 – ложное высказывание и т.п. Задание высказывательной формы, как правило, предполагает и задание того множества, из которого выбираются значения переменной (переменных), входящей в высказывательную форму.[33]

· Пусть f и g – два числовых выражения. Соединим их знаком равенства. Получим предложение f =g, которое называют равенством. Возьмём, например, числовые выражения 3+2 и 6-1 и соединим их знаком равенства 3+2=6-1. Оно истинное. Если соединить знаком равенства выражения 3+2 и 7-3, то получим ложное числовое равенство 3+2=7-3. Таким образом, с логической точки зрения числовое равенство – это высказывание, истинное или ложное.[34]

· Пусть f(x) и g(х) – два выражения с переменной х и областью определения Х. Тогда высказывательная форма вида f(x)=g(x) называется уравнением с одной переменной.[35]

Найдите в каждом определении термин определяемого понятия, родовой признак понятия, видовое отличие и приведите свои примеры объектов (не меньше трёх), входящих в объём данного понятия. Составьте удобный вариант таблицы, внесите в нее соответствующие записи.

Попытайтесь переформулировать данные определения понятий так, чтобы их структура соответствовала следующей схеме:[36]

Определяемое понятие ó Родовое понятие + Видовое отличие

Объясните, почему в определении уравнения не следует использовать равенство в качестве родового понятия.

2.3.2.

Дано определение умножения целых неотрицательных чисел, и множество предложений, полученных при его интерпретации:

Если a, b –целые неотрицательные числа, то произведением a·b называется число, удовлетворяющее условиям: 1) a·b=a+a+…+a+a, если b>1; b слагаемых 2) a·b=а, если b=1; 3) a·b=0, если b=0.[37]

I. В данном определении а и b – любые целые неотрицательные числа: 0, 1, 2, 3 и т. д. II. Произведением двух целых неотрицательных чисел является число a·b. III. Число называется произведением a·b не всегда, а только тогда, когда соблюдается ряд условий. IV. Не всякое произведение a·b можно представить в виде суммы одинаковых слагаемых. V. Любую сумму одинаковых слагаемых можно представить в виде произведения, но не любое произведение можно представить в виде суммы одинаковых слагаемых. VI. Произведение двух чисел можно записать в виде суммы одинаковых слагаемых тогда, когда 2-й компонент действия умножения больше единицы. VII. Произведение двух целых неотрицательных чисел равно первому компоненту действия умножения, если второй компонент действия равен единице. VIII. Если второй компонент действия в произведении двух целых неотрицательных чисел равен нулю, то произведение также равно нулю. IX. При замене произведения суммой надо первый компонент действия взять слагаемым столько раз, сколько показывает второй компонент.

Установите соответствие между смысловыми элементами определения и высказываниями, построенными в процессе его интерпретации.

Дополните ряд высказываний, сформулированных в процессе интерпретации данного определения.

2.3.3.

С опорой на определение, представленное в № 2.3.2., составьте предписание алгоритмического характера, руководствуясь которым, учащиеся смогут решать задачи вида:

Замени, где это можно, сложение умножением и запиши полученные произведения:

45+54	0+0+0+0+0	1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
45+45	6+6+6+6+9	Ω+ Ω+ Ω+ Ω+ Ω+ Ω

2.3.4.

С опорой на определение, представленное в № 2.3.2., составьте предписание алгоритмического характера, руководствуясь которым, учащиеся смогут решать задачи вида:

Замени, где это можно, умножение сложением и запиши полученные суммы:

0·8	235·2	7·1
1·9	100·а	4·0

2.3.5.

В каком определении произведения указываются признаки, которые составляют ориентировочную основу выполнения следующего задания:

1. Найди рисунок, которому соответствует произведение 3·7:

○○○ ○○○ ○○○	○○○ ○○○	○○○ ○○○ ○○○	○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○○○	○○○	○○○ ○○○ ○○○	○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
○○○ ○○○		○○○	○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

2. Запиши соответствующие произведения под другими картинками.

Выпишите это определение из источника и обоснуйте свой выбор.

2.3.6.

Найдите материалы, представленные в учебнике Н.Б.Истоминой для учащихся 3-го класса, посвященные раскрытию смысла понятия «деление натуральных чисел без остатка».

Ответьте на вопросы:

Какие определения могут использоваться в качестве теоретической основы для раскрытия смысла этого понятия младшим школьникам?

Какое определение послужило теоретической основой для разработки выделенных материалов учебника? Почему вы так думаете?

Какими языковыми средствами рекомендует пользоваться автор учебника при знакомстве третьеклассников со смыслом понятия «деление»?

2.3.7.

Теоретико-множественное определение частного гласит:

Если a=n(A) и множество A разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:

b – число элементов в каждом подмножестве, то частное a:b - число таких подмножеств;

b – число подмножеств, то частное a:b – число элементов в каждом подмножестве.[38]

В этом определении говорится, что с теоретико-множественной точки зрения деление чисел связано с разбиением конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества. Данная связь ложится в основу решения задач двух видов:

задача на деление на равные части, когда отыскивается число элементов в каждом подмножестве;

задача на деление по содержанию, которая требует найти число подмножеств.

Сформулируйте определение, отражающее теоретико-множественный смысл «деления на равные части», начиная со слов: Если a=n(A) и b – число…

Сформулируйте определение, описывающее теоретико-множественный смысл «деления по содержанию», начиная со слов: Если a=n(A) и b – число…

Найдите на данном рисунке ту его часть, которая иллюстрирует действие с множеством, связываемое с делением чисел. Опишите, что изображено на этой части рисунка, пользуясь терминами теории множеств.

			…
↑	↑	↑
■■	■■	■■
↓	↓	↓
▄▄▄▄▄	▄▄▄▄▄	▄▄▄▄▄	▄▄▄▄▄	▄▄▄▄▄	…

Назовите вид деления, соответствующий изображённому выше процессу отыскания частного, при условии, что квадраты – это апельсины, которые раскладывали на тарелки по две штуки. Перечислите все действия, которые надо выполнить при решении задачи с указанным условием практическим методом, если в ней спрашивается, сколько тарелок потребуется для полученных порций апельсинов.

Объясните, почему задача, в которой требуется узнать, сколько нужно тарелок, чтобы разложить 6 апельсинов по 2 апельсина на каждую, не может быть решена лишь делением чисел, а решается комбинированным методом, в составе которого выделяется:

а) арифметический и практический метод;

в) арифметический и логический метод: кроме деления чисел необходимо выполнить дедуктивное рассуждение.

2.3.8.

Найдите в учебнике Н.Б.Истоминой[39] страницы (или №№ заданий) с материалами, которые предназначены для ознакомления младших школьников с понятием «уравнение с одной переменной».

Выделите ту часть (или части), где содержится информация о термине, содержании и объёме понятия.

Обоснуйте своё мнение, воспользовавшись знанием видов определений понятия и их структурных элементов.

2.3.9.

В учебнике математики для студентов высших педагогических учебных заведений Л.П.Стойловой[40], которые готовят учащихся к работе в начальной школе, даётся следующее определение:

Пусть f(x) и g(x) – два выражения с переменной x и областью определения X. Тогда высказывательная форма вида f(x)=g(x) называется уравнением с одной переменной.

В учебнике для 4 класса Н.Б.Истоминой[41] уравнение с одной переменной определяется неявно: используется сочетание контекстуального способа определения с остенсивным. Наиболее важными являются следующие части текста.

1-я часть:

Маша задумала число: если его уменьшить на 12, то получится 78 (предлагается 4 варианта аналогичных условий задачи). Какое число задумала Маша?

2-я часть:

Предложение (можно) записать в виде равенства с «окошком»: □ – 12=78.

3-я часть:

Для обозначения неизвестного числа математики договорились использовать буквы: х (икс), у (игрек), а (а), b (бэ), с (цэ).

4-я часть:

Равенства с окошком можно записать так: х – 12=78.

5-я часть:

х – 12=78, а:2=45, у·5=45, с+12=102. Это уравнение.

Разбейте математическое определение на смысловые части в соответствии с материалами, извлеченными из учебника для младших школьников.

Изложите своё мнение о полноте отражения в учебнике для детей того смысла, который освещается в математическом определении уравнения с одной переменной, по плану:

Какие существенные признаки понятия и как сообщаются детям?

Что узнают ученики об объеме понятия из материалов учебника, а что нет?

С каким термином знакомит младших школьников данный учебник, и соответствует ли он тому содержанию, которое открывается детям?

2.3.10.

Найдите в учебниках по математике для начальной школы (любого автора или авторского коллектива) примеры разных видов определений понятий:

а) пример явного определения «через род и видовое отличие»,

б) пример контекстуального определения,

в) пример остенсивного определения,

г) пример сравнения как способа, похожего на определение,

д) пример сочетания разных видов неявного определения понятия.

Обоснуйте своё мнение.

2.4.1.

Можно ли утверждать, что приведённые ниже задания побуждают учащихся к упражнению в восхождении от общего к чему-то конкретному и обратно? Почему?

1.

▲▲▲▲▲	▲▲▲▲▲	▲▲▲▲▲
Как связаны с данной картинкой математические записи: 5·3, 15:5, 15:3?

2.

ΟΟΟ ΟΟΟ ΟΟΟ ΟΟΟ	ΟΟΟΟ ΟΟΟ ΟΟΟ ΟΟΟΟ	ΟΟΟΟ ΟΟΟΟ ΟΟΟΟ
Подходит ли выражение 4·3 к каждой из этих картинок? Почему?

3.

По сумме 4+5 составь рассказы на разные темы, например: об автомобилях на стоянке, о фруктах в вазе, о спортивных успехах борца, о заполнении водой надувного бассейна и на другие подходящие и интересные тебе темы.

4.

‌‌‌

١١١ ? ──►B

١١١١١ E ────►?

? E ────►В

В

Е

Е

В

Найдите ответы на вопросы, если:[42]

	Метки-зарубки, обозначающие результат измерения
Единица измерения величины	↑ ١١١١١ ← E ───► В → ↓	Величина, которую измеряли
	Процесс измерения

5.

По словам-меткам и единицам измерения Е и Е' восстанови величины М и Т.[43]

два Е ───►M	four Е' ───►T
	Е		Е'
			•────•

2.4.2.

Приведите 3 примера заданий из любого учебника по математике для начальных классов (любых авторов), с помощью которых учащиеся усваивают связь между общим и конкретным. Объясните, что в каждом случае исполняет роль общего, а что – роль конкретного.

2.4.3.

Почему можно утверждать, что первоклассники, выполняя представленные ниже задания, обучаются практическому методу решения текстовой задачи?

1.

Мама испекла 13 пирожков. Витя съел 6 пирожков. Обозначь каждый пирожок кругом и покажи пирожки, которые остались.

Маша сделала такой рисунок:

○○○○○○○○○○○○○
	остались

Миша – такой:

○○○○○○○○○○○○○
остались

Кто правильно выполнил задание: Маша или Миша?

2.

У мальчика 9 тетрадей, из них 6 в клетку, а остальные в линейку. Обозначь тетрадь квадратом и покажи, сколько у мальчика тетрадей в линейку.

Маша:

– Можно обозначить тетради кругом, тогда получится такой рисунок:

	все тетради
	↑ ┌────────┐
в клетку	←○○○○○○ ○○○→	в линейку

Миша:

– Можно обозначить тетрадь отрезком. Получится такой рисунок:

все тетради
‌‌‌‌‌׀───׀───׀───׀───׀───׀───׀───׀───׀───׀
в клетку	в линейку

Подумай: правы ли Миша и Маша?

3.

На одной полке 9 книг, а на другой – на две книги меньше. Обозначь каждую книгу квадратом и покажи, сколько всего книг на двух полках.[44]

4.

У одной гусыни были 8 птенцов, а у другой – на 4 гусёнка меньше. Узнай, сколько всего птенцов было в гусиной семье, с помощью рисунка.

2.4.4.

Выполните задания для первоклассников:

1. В кормушку прилетело 7 птиц. 3 из них были снегири, а остальные синички. Обозначь каждого снегиря красным кружком, а синичку – синим.

2. Выбери числовые выражения, подходящие к картинке. Объясни, что они обозначают на этой картинке?

	5 + 4 6 – 4	5 + 2 7 – 5	4 + 2 6 – 2
	○○○○●●

3. Нарисуй другую подходящую к ним картинку.

Ответьте на вопросы:

1) Какие понятия усваивают дети в процессе выполнения каждого задания?

2) Можно ли утверждать, что эти задания способствуют формированию связи «мышления в понятиях» с представлениями? Почему?

2.4.5.

Можно ли утверждать, что данное задание способствует переходу учащихся от практического к логическому методу решения задач? Почему?

Учитель рассказывал первоклассникам задачу, иллюстрируя её с помощью специально изготовленных для этого дидактических материалов:

– Костя помогал маме собирать урожай слив. Он посчитал, что с одной из нижних веток дерева он сорвал 7 слив.

При этих словах учитель показывает ребятам вырезанные из плотной бумаги изображения слив, поочерёдно складывая их в корзину.

– Покажите карточку с цифрой, которой обозначается это число. Положите её на парту перед собой, чтобы не забыть это данное задачи.

– А с другой ветки Костя сорвал 8 слив.

Это сообщение учитель сопровождает аналогичными действиями и заданиями.

– Как Костя сможет узнать, сколько слив он сорвал с двух веток, если они с мамой складывали плоды в общую корзину?

2.4.6.

В одном из учебников по математике[45] второклассникам предлагается выполнить задание, где даны два изображения прямого угла. У одного из них отрезки, моделирующие стороны углов, длиннее, а цвет, показывающий площадь, ограничиваемую сторонами угла, красный. У другого изображения соответствующие отрезки короче, а цвет – синий. Это задание имеет следующее требование:

Догадайся! Какое высказывание будет верным:

1) синий угол больше красного;

2) красный угол больше синего;

3) синий и красный углы одинаковы.

Верно ли, что данное задание способствует тому, что учащиеся постепенно перестанут опираться при решении задач на образы (представления) и станут получать ответы путём логических заключений? Почему?

2.5.1.

Вернитесь к описанию фрагмента урока математики, представленного в 2.1.1, и выполните его анализ с целью ответа на вопрос: какие виды знаков используются в описанном процессе. Результаты анализа внесите в таблицу.

№	вид знака	пример знака	предметное значение знака	смысл знака
1. 2. и т.д.

2.5.2.

Выполните анализ описанной ниже части учебного процесса по следующим вопросам:

Какова система целей данного фрагмента обучения?

Какие виды знаков включены в язык, употребляемый участниками общения?

Какие знаки математического языка уже используются учащимися в речи, а какие подлежат усвоению?

Как можно охарактеризовать уровень усвоения новых знаков математического языка учащимися?

Результат анализа поместите в таблицу, предварительно продумав названия колонок и строк.

У каждого ребёнка на парте конверт с надписью «сюрприз». Детям не терпится узнать, что в нём. Учитель предлагает выложить содержимое конверта на парту. В конвертах оказываются карточки с изображениями совокупностей предметов. Например, картинки, где нарисованы три столярных инструмента, пять различных рыбок, шесть листочков разных пород лиственных деревьев, три домашние птицы, пять учебных принадлежностей, три лесных зверя, шесть цветков, три насекомых, пять геометрических фигур.

Учитель сообщает, что это – карточки для игры, которая называется «Что мы делали, не скажем, что мы делали, покажем». Она заключается в том, чтобы, рассмотрев картинки, догадаться, по какому правилу их можно разложить рядами. О своей догадке никому сообщать нельзя, а нужно молча разложить картинки в том порядке, на который указывает найденное правило. Затем ребята будут угадывать, по какому же правилу каждый разложил свои картинки. Эта игра поможет получить настоящий «сюрприз» – новое математическое знание.

После самостоятельной работы каждый ученик пытается угадать правило, по которому разложил рядами свои картинки его сосед по парте. А затем учитель открывает заранее приготовленные им ряды картинок на доске. В основе расположения картинок лежит отношение «столько же». Выдержав небольшую паузу, чтобы ребята удовлетворили первое любопытство, учитель просит учащихся отгадать, по какому правилу он разложил картинки рядами. Дети отвечают, используя слова: одинаковое или такое же количество, столько же предметов, их поровну. Похвалив учащихся за наблюдательность, учитель поочерёдно показывает новые карточки, спрашивая при этом, какая из них в какой ряд может быть поставлена и почему. Школьники указывают месторасположение каждой новой картинки, аргументируя свое мнение. В результате в ряды помещаются новые картинки, а число рядов увеличивается в связи с появлением картинок с иным количеством предметов. Чтобы учащиеся заметили тенденцию к образованию новых рядов и включению в ряды всё новых и новых картинок, учитель спрашивает: «Можно ли продолжить полученные ряды картинок? Почему? Может ли образоваться новый ряд картинок? Почему?»

На доске появляются изображения трёх учеников. Учитель рассказывает о них: «Это Саша, Надя и Валера. Они разложили свои картинки по одному и тому же правилу. Послушайте, что об этом правиле говорит каждый из учеников, и подумайте, почему так получилось, что правило одно, а рассказ о нём звучит по-разному.

Саша:

– Я взял картинку, которая мне попалась первой. Потом я стал выбирать другие картинки, где нарисовано столько же предметов, сколько на первой, и выкладывать их в один ряд.

Надя:

– Я отбирала в каждый ряд картинки с одинаковым количеством предметов.

Валера:

– Я смотрел, сколько предметов нарисовано на картинке: если, например, три предмета, то эту карточку я выкладывал в один ряд, а если пять, то – в другой».

Выслушав ответы учащихся, учитель записывает на доске под изображением каждого персонажа слова, которыми тот предпочёл воспользоваться при описании принципа, по которому составлял ряды картинок: под изображением Саши он написал «столько же», под изображением Нади – «одинаковое количество», а под изображением Валеры – «три», «пять».

Затем учитель предлагает школьникам новое задание: «Послушайте, что рассказывают ребята о том, как они составляли первый ряд картинок. Подумайте, кто из них рассказал кратко и, в то же время, так точно, что мы можем получить ряд из тех же картинок, хотя и не видели, как он это делал.

Саша:

– Я взял одну из картинок и положил её в первый ряд. Потом стал подбирать другие картинки, на которых нарисовано столько же предметов, сколько на первой.

Надя:

– Я тоже сначала выбрала одну картинку и положила её в ряд первой. А потом я стала искать картинки с таким же количеством предметов и выкладывать их в тот же ряд.

Валера:

– Я нашёл все картинки, где было нарисовано два предмета, а потом положил их в первый ряд».

После обсуждения мнений учитель подводит учащихся к итогу всей работы с помощью вопросов: «Какое слово помогло Валере сделать свой рассказ коротким, но точным? Что обозначает это слово? Знаете ли вы, ребята, другие такие же слова? Какими словами можно обозначить количество предметов на картинках каждого из рядов, что получились у вас на партах и у меня на доске?» Дети отвечают, что Валера знает слово «два», и что оно обозначает количество предметов, которое должно быть на всех картинках в составленном им ряду. Они называют известные им названия однозначных чисел и показывают соответствующие ряды картинок.

2.5.3.

Какие термины можно ввести в речь первоклассников с помощью этих заданий. Почему можно утверждать, что они способствуют организации мотивационного этапа учебной деятельности? Какой из вариантов заданий (1, 2 или 3) предназначен для организации мотивационного этапа учебной деятельности, направленной на знакомство с терминами? Какой из них имеет целью введение термина в пассивный словарь учащихся, а какой – введение термина в активный словарь младших школьников?

1.

Некоторую часть ряда чисел, которым пользуются при счете предметов, зашифровали: …, Θ, Ξ, Σ, Ψ, Ω, Ϊ, Ϋ, …

Почему верно, что:

Ξ – 1 = Θ	Σ + 1 = Ψ	Ω < Ϊ на 1	Ξ > Θ на 1
Ξ + 1= Σ	Ω – 1 = Ψ	Ϋ > Ϊ на 1	Ϊ < Ϋ на 1

2.

Покажи стрелкой, какой паре чисел подходит каждый рисунок:

1, 2	☺☺☺☺←☺
2, 3	☺←☺
3, 4	☺☺←☺
4, 5	☺☺☺←☺

Закончи записи:

1 + 1 = …

2 + 1 = …

3 + 1 = …

4 + 1 = …

Чем они отличаются? Что в них одинаковое? Что вы заметили?

Кто догадался, по какому правилу, расставлены числа в ряду, которым пользуются при счете и нумерации предметов?

Как рассказать о правиле расположения любого числа в ряду?

3.

Настя играла «В школу». Она, исполняя роль учительницы, составила для своих учеников математический диктант. Предлагаю испытать ее задания и дать им оценку: все ли слова заданий будут понятны ее ученикам, не слишком ли трудны или легки эти задания для исполнения?

Вот диктант, который придумала Настя:

Запишите (в строчку через запятую) числа, опираясь на знание числового ряда, с помощью которого считают или нумеруют предметы:

число, предшествующее семи;

число, следующее за семью;

число, которое стоит за числом восемь;

последующее числа шесть;

число, которое стоит перед числом пять;

число, которое следует за шестью;

предыдущее числа девять;

число, следующее за числом, предшествующим числу 3.

2.5.4.

Какие термины можно ввести в речь первоклассников с помощью этих заданий. Почему можно утверждать, что они способствуют организации этапа учебных действий? Какой из вариантов заданий (1, 2 или 3) предназначен для организации учебных действий, направленных на знакомство с терминами? Какой из них имеет целью введение термина в пассивный словарь учащихся, а какой – введение термина в активный словарь младших школьников?

· Кто знает ряд чисел до десяти? Умеете ли вы назвать каждое из них? Назвать по порядку? Записать? А числа до ста? До тысячи? До миллиона? До миллиарда? А числа, которые еще больше? Здесь записано несколько очень больших чисел так, как они стоят в ряду. Вы их еще не изучали и не знаете. Но вы можете проверить, правильно ли ученик 5-го класса выполнял с ними вычисления. Для этого у вас есть нужные знания. Вспомните их, и оцените решения пятиклассника.

…, 321654876, 321654877, 321654878, 321654879, 321654880, 321654881, …

321654877 – 1 = 321654876 321654877 + 1 = 321654878

321654880 + 1 = 321654881 321654880 – 1 = 321654879

· Предлагаю поиграть в робота. Я буду робот, а вы будете давать мне приказы. Но если приказ будет дан неправильно, робот ответит: «Приказ не понял». Вы должны мне указать, какое число я, робот, должен записать в результате выполнения действия.

Зашифрованная часть ряда чисел: …, Ϋ, Θ, Ψ, Ξ, Σ, Ω, Ϊ, …

Ψ + 1 = … Θ – 1 =

Ξ + 1 = Σ – 1 =

Ϋ + 1 = Ϊ – 1 =

· Найдите слова, которыми мы не называли числа раньше:

Один, десять, пять, последующее, семь, четыре, предыдущее.

· Прочитайте их по слогам: по-сле-ду-ю-ще-е, пре-ды-ду-ще-е. Так можно говорить о соседних числах в ряду. Попытайтесь произнести каждое из них.

· Вспомните алфавит. Какая буква в алфавите первая, а какая вторая? Пользуясь подсказкой, соедините стрелками каждое новое слово с теми словами, которыми можно его заменить:

А	← предыдущая		стоит перед стоит за следует за предшествует следующее за
Б	← последующая

· Из записей на карточках составлено сообщение, где говорится о правилах нахождения соседних чисел в ряду для счета. Догадайтесь, какие слова написаны на другой стороне пере