Тема 1. Взаимное расположение плоскостей
ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра технологии и профессионально-педагогического образования
Методические указания
По начертательной геометрии к практическим и
Контрольным работам для студентов-заочников
Южного федерального университета
Введение.
Начертательная геометрия изучается студентами – заочниками ЮФУ Психолого-педагогической академии в объеме программы по начертательной геометрии и черчению с учетом утвержденной.
Самостоятельная работа студентов – заочников по курсу начертательной геометрии складывается из проработки теоретического материала и выполнения контрольных работ по индивидуальным заданиям.
Вариант задания определяется двумя последними цифрами номера зачетной книжки.
При работе над курсом начертательной геометрии студенты должны использовать «методические указания», в которых приводится рабочая программа курса, даются общие методические указания, налагается содержание контрольных работ и указания к их выполнению, а также приводится перечень (таблица) самих заданий, всех 100 вариантов.
Кроме того, для студентов читается курс лекций (установочных и обзорных), проводятся практические занятия, обеспечиваются регулярные консультации и обязательные встречи с преподавателями для защиты работ.
Настоящее пособие отличается тем, что здесь вводится система обозначений Четверухина Н. Ф.
Предлагаемая система обозначений прилагается в конце методических указаний в составе таблицы условных обозначений (таблица 8).
Рекомендуемая программой учебная литература: учебники Фролова С.А. «Начертательная геометрия» 1963г. и Бубенникова. А.В. «Начертательная геометрия» 1985г. Гордона О.В. 1988г.
Студенты изучают начертательную геометрию на I курсе. Изучение дисциплины заканчивается защитой контрольной работы и экзаменом.
Рабочая программа
Таблица I
Номер темы Содержание работы форматы листов
№1 Взаимное расположение А3 х I
плоскостей
№2 Способы преобразования А3 х I
чертежа
№3 Сечение тел плоскостью А3 х I
№4 Пересечение поверхностей А3 х I
Общие методические указания
Работа над учебником.
Изучение курса следует проводить в указанной рабочей программе последовательности. Рекомендуется первым прочтением параграфов, относящихся к той или иной теме, составить как бы общее представление о предмете и выявить наиболее трудные места. Затем, путем тщательной проработки материала учебника, уяснить основные положения и выводы.
Контрольные работы.
Каждая работа состоит из двух чертежей. Для чертежей используется специальная чертежная бумага – ватман, размерами 297 х 420мм (формат А3 по ГОСТ 2.301 – 69 ЕСКД). Все построения выполняются карандашом с помощью чертежных инструментов в масштабе I:I. Необходимо следовать правилам Государственных стандартов на линии и шрифты (ГОСТ 2.303 – 68 и 2.304 – 81 ЕСКД). Основная надпись чертежа – по ГОСТ 2.04 – 68.
Завершенная работа представляется на рецензирование в полном объеме. Работа защищается при личной встрече с преподавателями на кафедре в отведенные для этих целей специальные часы.
Экзамен по курсу.
Экзамен принимается после зачтения(защиты) всех обязательных контрольных работ.
Темы курса обязательные для изучения:
Тема 1.
Центральное и параллельное проецирование и его свойства. Точка, прямые, плоскости и многогранники общего и частного положения на ортогональном чертеже. Позиционные задачи. Взаимная принадлежность точек, прямых и плоскостей. Пересечение прямых и плоскостей. Следы линий и плоскостей. Взаимная параллельность прямых и плоскостей. Теорема о проецировании прямого угла, перпендикуляр к плоскости, взаимно – перпендикулярные плоскости.
Тема 2.
Метрические задачи. Определение расстояний, углов и форм плоских фигур. Способы преобразования чертежа. Замена плоскостей проекций. Вращение вокруг проецирующих прямых и прямых уровня. Совмещение. Плоско – параллельное перемещение.
Тема 3.
Кривые линии, поверхности, геометрические тела на ортогональном чертеже. Кинематический и каркаский способы задания поверхностей. Принадлежность точек и линий какой – либо поверхности. Пересечение прямой и плоскости с поверхностью. Развертки многогранников, цилиндрических и конических поверхностей.
Тема 4.
Взаимное пересечение поверхностей. Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных секущих плоскостей частного положения и концентрических сфер. Частные случаи пересечения.
Тема 1. Взаимное расположение плоскостей
По теме 1 следует выполнить решение двух задач. Каждая задача решается отдельными построениями независимо друг от друга.
Задается плоскость Σ, определяемая треугольником АВС. Координаты вершин треугольника АВС следует брать из табл.3 в соответствии с номером варианта индивидуального задания.
Задача №1: Требуется построить плоскость Ψ, параллельную плоскости треугольника АВС и отстоящую от нее на расстоянии 20 мм.
Плоскость изобразить: а) треугольником DEF или
б) следами Ψ1 и Ψ2 (см. табл. 4).
Задача №2: Требуется провести через одну из вершин треугольника АВС плоскость θ, перпендикулярную противоположной стороне и тем самым перпендикулярную плоскости треугольника. Построить линию пересечения плоскостей θ и треугольника АВС.
Вершина, через которую следует провести плоскость θ указана в табл. 3 индивидуальных заданий.
Прежде чем приступить к графическому решению задачи на эпюре, следует проанализировать ее, представить весь ход решения в пространстве и выбрать из всех возможных решений наиболее простое.
Рассмотрим один из возможных вариантов решения задачи №1 (см. рис.1).
Таблица 3.
| варианты | точки | координаты(мм) X Y Z | варианты | точки | координаты(мм) X Y Z |
| С 1 по 4 | А В С S | 10 50 10 30 10 50 90 20 20 60 90 100 | С 53 по 56 | A B C S | 0 10 50 30 50 90 50 20 65 40 80 20 |
| C 5 по 8 | A B C S | 20 60 20 60 20 60 100 40 10 90 90 70 | С57 по 60 | A B C S | 90 50 30 60 15 60 20 70 50 20 0 0 |
| С 9 по 12 | A B C S | 95 20 25 20 10 40 65 65 5 75 80 80 | С 61 по 64 | A B C S | 110 45 50 55 20 90 65 50 50 90 0 0 |
| С 13 по 16 | A B C S | 30 50 30 50 20 60 90 40 10 100 80 70 | С 65 по 68 | A B C S | 70 80 65 50 60 100 0 100 70 10 10 10 |
| С 17 по 20 | A B C S | 10 0 20 3 55 5 75 15 40 0 50 70 | С 69 по 72 | A B C S | 25 40 45 90 90 35 50 50 80 90 0 0 |
| C 21 по 24 | A B C S | 110 50 15 75 5 40 30 30 5 30 80 75 | С 73 по 76 | A B C S | 60 40 40 10 30 70 30 0 25 0 0 70 |
| С 25 по 28 | A B C S | 10 25 5 40 50 60 60 5 20 90 90 0 | C 77 по 80 | A B C S | 20 50 20 0 20 70 60 20 50 40 80 90 |
| С 29 по 32 | A B C S | 35 25 5 60 5 55 100 50 20 30 70 50 | С 81 по 84 | A B C S | 120 60 60 100 35 90 60 90 50 60 10 5 |
| С 33 по 36 | A B C S | 10 20 30 40 50 10 70 10 60 20 90 80 | С 85 по 88 | A B C S | 50 45 70 60 10 30 90 50 60 105 0 100 |
Продолжение таблицы 3
| вариант | точки | координаты(мм) X Y Z | варианты | точки | координаты(мм) X Y Z |
| С 37 по 40 | A B C S | 40 10 55 20 50 5 100 25 20 90 90 80 | С 89 по 92 | A B C S | 120 20 40 70 70 40 90 0 0 60 0 80 |
| C 41 по 44 | A B C S | 90 30 10 40 20 35 20 70 0 70 80 50 | С 93 по 96 | A B C S | 110 80 60 60 70 30 80 50 0 65 0 90 |
| С 45 по 48 | A B C S | 70 60 5 100 10 30 30 25 40 80 80 80 | С 97 по 100 | A B C S | 80 90 70 60 50 20 30 90 40 30 10 100 |
| C 49 по 52 | A B C S | 50 60 10 20 10 40 80 20 55 20 70 100 |
Таблица 4.
| № варианта | Тема 1 | Тема 2 | |||
| Задача №1 | Задача №2 | Задача №1 | Задача №2 | Задача №3 | |
| Плоскость Ψ задать | Плоскость θ провести через вершину | Применить способ вращения или совмещения | Найти угол наклона к плоскости проекций | Найти угол между гранями или расстояние между ребрами | |
| №1 | ∆DEF | A | Вокруг горизонтали | П1 | Грани SAB и АВС |
| №2 | Следами | В | Вокруг фронтали | П2 | Ребра SA и BC |
| №3 | ∆DEF | C | Совместить с пл. пр. П1 | П2 | Грани SАС и АСВ |
| №4 | Следами | А | Совместить с пл. пр. П2 | П1 | Ребра SB и АС |
| №5 | ∆DEF | A | Вокруг фронтали | П2 | Ребра ВС и АВ |
| №6 | Следами | В | Вокруг горизонтали | П1 | Грани SBC и АСВ |
| №7 | ∆DEF | С | Совместить с пл. пр. П2 | П1 | Ребра SA и ВС |
| №8 | Следами | А | Совместить с пл. пр. П1 | П2 | Грани SAB и АВС |
| №9 | ∆DEF | А | Вокруг горизонтали | П1 | Ребра SB и АС |
| №10 | Следами | В | Вокруг фронтали | П2 | Грани SAC и АВС |
| №11 | ∆DEF | С | Совместить с пл. пр. П1 | П1 | Ребра SC и АВ |
| №12 | Следами | А | Совместить с пл. пр. П2 | П2 | Грани SBC и АСВ |
| №13 | ∆DEF | А | Вокруг горизонтали | П2 | Грани SAB и АВС |
| №14 | Следами | В | Вокруг фронтали | П1 | Ребра SA и ВС |
| №15 | ∆DEF | С | Совместить с пл. пр. П1 | П2 | Грани SAC и АСВ |
| №16 | Следами | А | Совместить с пл. пр. П2 | П1 | Ребра SB и AC |
| №17 | ∆DEF | В | Совместить с пл. пр.П1 | П2 | Грани SCB и АВС |
| №18 | Следами | А | Совместить с пл. пр.П2 | П2 | Грани SAC и АВС |
| №19 | ∆DEF | C | Вокруг горизонтали | П1 | Ребра SC и ВА |
| №20 | Следами | А | Вокруг фронтали | П1 | Ребра SB и АС |
| №21 | ∆DEF | А | Вокруг горизонтали | П2 | Грани SAB и АСВ |
Продолжениетаблицы 4.
| № варианта | Тема 1 | Тема2 | |||
| Задача 1 | Задача 2 | Задача 1 | Задача 2 | Задача 3 | |
| №22 | Следами | В | Вокруг фронтали | П1 | Ребра SA и ВС |
| №23 | ∆DEF | С | Совместить с пл. пр.П1 | П2 | Грани SCB и АВС |
| №24 | Следами | С | Совместить с пл. пр. П2 | П1 | Ребра SB и АС |
| №25 | ∆DEF | А | Вокруг фронтали | П2 | Грани SAB и АВС |
| №26 | Следами | В | Совместить с пл. пр.П2 | П1 | Ребра SC и ВС |
| №27 | ∆DEF | С | Вокруг горизонтали | П1 | Грани SAC и SAB |
| №28 | Следами | В | Совместить с пл.пр. П1 | П2 | Ребра SA и ВС |
| №29 | ∆DEF | А | Совместить с пл. пр. П1 | П1 | Грани SBC и SBA |
| №30 | Следами | В | Вокруг горизонтали | П2 | Ребра SB и АС |
| №31 | ∆DEF | С | Вокруг фронтали | П2 | Грани SAB и SAC |
| №32 | Следами | А | Совместить с пл. пр.П2 | П1 | Ребра SA и АВ |
| №33 | ∆DEF | А | Вокруг горизонтали | П2 | Грани SAC и SAB |
| №34 | Следами | В | Вокруг горизонтали | П1 | Ребра SA и ВС |
| №35 | ∆DEF | С | Совместить с пл. пр.П1 | П2 | Грани SBC и SBA |
| №36 | Следами | В | Совместить с пл. пр. П2 | П1 | Ребра SB и АС |
| №37 | ∆DEF | А | Вокруг фронтали | П2 | Грани SAB и SAC |
| №38 | Следами | В | Вокруг горизонтали | П1 | Ребра SC и AB |
| №39 | ∆DEF | С | Совместить с пл. пр.П1 | П2 | Грани SAB и АВС |
| №40 | Следами | С | Совместить с пл. пр.П2 | П1 | Ребра SA и ВС |
| №41 | ∆DEF | А | Вокруг горизонтали | П2 | Грани SBC и ABC |
| №42 | Следами | В | Совместить с пл. пр. П1 | П1 | Ребра SB и АС |
| №43 | ∆DEF | С | Вокруг фронтали | П2 | Грани SAC и АВС |
| №44 | Следами | А | Совместить с пл. пр. П2 | П1 | Ребра SC и АВ |
Продолжениетаблицы 4.
| № варианта | Тема 1 | Тема 2 | |||
| Задача 1 | Задача 2 | Задача 1 | Задача 2 | Задача 3 | |
| №45 | ∆DEF | А | Вокруг горизонтали | П2 | Грани SAB и АВС |
| №46 | Следами | B | Вокруг фронтали | П1 | Ребра SA и BC |
| №47 | ∆DEF | C | Совместить с пл. пр. П1 | П2 | Грани SBC и АВС |
| №48 | Следами | B | Совместить с пл. пр. П2 | П1 | Ребра SB и АС |
| №49 | ∆DEF | A | Вокруг фронтали | П2 | Грани SAC и АВС |
| №50 | Следами | B | Вокруг горизонтали | П1 | Ребра SC и АВ |
| №51 | ∆DEF | С | Совместить с пл. пр. П2 | П2 | Ребра SA и ВС |
| №52 | Следами | С | Совместить с пл. пр. П1 | П1 | Грани SAВ и АВС |
| №53 | ∆DEF | А | Вокруг горизонтали | П2 | Грани SAC и АВС |
| №54 | Следами | В | Вокруг фронтали | П1 | Ребра SB и АС |
| №55 | ∆DEF | С | Совместить с пл. пр.П1 | П2 | Ребра SC и АВ |
| №56 | Следами | A | Совместить с пл. пр. П2 | П1 | Грани SBC и АВС |
| №57 | ∆DEF | A | Вокруг фронтали | П2 | Грани SAB и АВС |
| №58 | Следами | В | Вокруг горизонтали | П1 | Ребра SA и ВС |
| №59 | ∆DEF | С | Совместить с пл. пр. П2 | П2 | Грани SBA и АВС |
| №60 | Следами | В | Совместить с пл. пр. П1 | П1 | Ребра SB и АС |
| №61 | ∆DEF | А | Вокруг горизонтали | П2 | Грани SAC и АВС |
| №62 | Следами | В | Совместить с пл. пр. П1 | П1 | Ребра SC и АВ |
| №63 | ∆DEF | C | Вокруг фронтали | П2 | Грани SAB и АВС |
| №64 | Следами | С | Совместить с пл. пр. П2 | П1 | Ребра SA и BC |
| №65 | ∆DEF | А | Вокруг фронтали | П2 | Грани SBC и АВС |
| №66 | Следами | В | Вокруг горизонтали | П1 | Ребра SB и АС |
| №67 | ∆DEF | С | Совместить с пл. пр. П1 | П2 | Грани SAC и SBC |
Продолжение таблицы 4.
| № варианта | Тема 1 | Тема 2 | |||
| Задача 1 | Задача 2 | Задача 1 | Задача1 | Задача 3 | |
| №68 | Следами | А | Совместить с пл. пр. П2 | П1 | Ребра SC и АВ |
| №69 | ∆DEF | А | Вокруг горизонтали | П2 | Грани SAB и SBC |
| №70 | Следами | В | Вокруг фронтали | П1 | Ребра SA и ВС |
| №71 | ∆DEF | С | Совместить с пл. пр. П1 | П2 | Грани SAC и АВС |
| №72 | Следами | В | Совместить с пл. пр. П2 | П1 | Ребра SB и АС |
| №73 | ∆DEF | А | Вокруг горизонтали | П2 | Грани SBC и АВС |
| №74 | Следами | В | Вокруг фронтали | П1 | Ребра SC и АВ |
| №75 | ∆DEF | С | Совместить с пл. пр. П2 | П2 | Грани SAB и ASC |
| №76 | Следами | С | Совместить с пл. пр. П1 | П1 | Ребра SA и ВС |
| №77 | ∆DEF | А | Вокруг горизонтали | П2 | Грани SAC и SBC |
| №78 | Следами | В | Совместить с пл. пр. П2 | П1 | Ребра SB и АС |
| №79 | ∆DEF | С | Вокруг фронтали | П2 | Грани SBC и ABS |
| №80 | следами | А | Совместить с пл. пр. П1 | П2 | Ребра SC и АВ |
| №81 | ∆DEF | А | Вокруг фронтали | П1 | Ребра SA и ВС |
| №82 | Следами | В | Совместить с пл. пр. П1 | П2 | Грани SBC и АВС |
| №83 | ∆DEF | С | Вокруг горизонтали | П1 | Грани SAB и ABC |
| №84 | Следами | В | Совместить с пл. пр. П2 | П2 | Ребра SB и АС |
| №85 | ∆DEF | А | Вокруг горизонтали | П1 | Грани SAC и АВС |
| №86 | Следами | В | Вокруг фронтали | П2 | Ребра SC и AB |
| №87 | ∆DEF | С | Совместить с пл. пр. П1 | П1 | Грани SBC и ABS |
| №88 | Следами | С | Совместить с пл. пр. П2 | П2 | Ребра SA и ВС |
| №89 | ∆DEF | А | Вокруг фронтали | П1 | Грани SAB и ASC |
| №90 | Следами | В | Вокруг горизонтали | П2 | Ребра SB и АС |
Продолжение таблицы 4.
| № варианта | Тема 1 | Тема2 | |||
| Задача 1 | Задача 2 | Задача 1 | Задача 2 | Задача 3 | |
| №91 | ∆DEF | С | Совместить с пл. пр. П1 | П1 | Грани SAC и SBC |
| №92 | Следами | А | Совместить с пл. пр. П2 | П2 | Ребра SC и АВ |
| №93 | ∆DEF | А | Вокруг горизонтали | П1 | Грани SBC и АВС |
| №94 | Следами | В | Совместить с пл. пр. П1 | П2 | Ребра SA и ВС |
| №95 | ∆DEF | С | Вокруг фронтали | П1 | Грани SAB и АВС |
| №96 | Следами | В | Совместить с пл. пр. П2 | П2 | Ребра SB и АС |
| №97 | ∆DEF | А | Вокруг фронтали | П1 | Грани SAC и SBC |
| №98 | Следами | В | Вокруг горизонтали | П2 | Ребра SC и АВ |
| №99 | ∆DEF | С | Совместить с пл. пр. П1 | П1 | Грани SBC и ABS |
| №100 | Следами | А | Совместить с пл. пр. П2 | П2 | Ребра SA и ВС |
Для того, чтобы провести плоскость Ψ на расстоянии 20мм от плоскости Σ, необходимо построить точку, отстоящую от плоскости треугольника на заданное расстояние. Расстояние от точки до плоскости измеряется по перпендикуляру к этой плоскости. Следовательно, для решения задачи нужно:
1) из любой точки плоскости треугольника АВС поставить перпендикуляр;
2) найти на перпендикуляре точку, отстоящую от плоскости на 20мм;
3) провести плоскость Ψ через полученную точку.
Прямая, перпендикулярная к плоскости, будет перпендикулярна к горизонтали и фронтали этой плоскости. Выберем в плоскости треугольника любую точку. Можно использовать одну из вершин треугольника (вершину А на рис. 1), и провести через нее горизонталь (А1) и фронталь (А2). Перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали проводим горизонтальную проекцию перпендикуляра, а фронтальную – перпендикулярно фронтальной проекции фронтали. Ограничиваем перпендикуляр произвольной точкой, например точкой М (М1М2) на рис. 1. Определяем способом прямоугольного треугольника истинную величину отрезка АМ, откладываем на ней заданное расстояние (20мм) и, используя свойство параллельных проекций – отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций, строим проекции полученной точки. На рис.1 точка D (D1, D2) отстоит от плоскости ∆АВС на расстоянии 20мм. Плоскость Ψ, проведенная через эту точку параллельно плоскости ∆АВС, будет искомой. Если плоскость Ψ требуется построить в виде треугольника DEF, то хотя бы две стороны ∆DEF должны быть параллельны соответствующим сторонам ∆АВС, поскольку две плоскости будут параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости будут параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.
Если же в задании требуется плоскость Ψ изобразить следами, то через полученную точку, проводится какая – то прямая искомой плоскости, параллельная прямой треугольника АВС. Чаще всего проводят горизонталь или фронталь, но можно провести и прямую, параллельную одной из сторон ∆ АВС. Затем находят следы этой прямой и через них проводят следы искомой плоскости Ψ.
При решении задачи №2 следует воспользоваться следующим положением: две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них перпендикулярна какой – либо прямой другой плоскости. Плоскость θ будет перпендикулярна к плоскости ∆АВС, если она расположена к одной из сторон треугольника. При этом горизонтальный след θ1 плоскости θ и горизонтальные проекции всех ее горизонталей будут располагаться на эпюре перпендикулярно к горизонтальной проекции выбранной стороны, а фронтальный след θ2 и фронтальные проекции всех фронталей – перпендикулярно к фронтальной проекции сторон. Для решения задачи предлагается следующий план:
1) через заданную вершину, перпендикулярно противоположной стороне проводится горизонталь (или фронталь) искомой плоскости θ;
2) строится фронтальный след этой горизонтали (или горизонтальный - фронтали);
3) через полученный след прямой линии проводится одноименный след плоскости перпендикулярно соответствующей проекции стороны треугольника, отмечается точка схода следов плоскости, на оси Х и через нее проводится второй след плоскости θ;
4) строится линия пересечения плоскостей θ и ∆АВС.
На рис.2 плоскость θ проведена через вершину В(В1, В2) перпендикулярно стороне АС(А1С1, А2С2). Сначала через эту вершину проведена горизонталь плоскости θ перпендикулярно АС: фронтальная проекция горизонтали параллельна оси Х и проходит через фронтальную проекцию В2 точки В, а горизонтальная – перпендикулярна к А1С1 и проходит через горизонтальную проекцию (В1) точки В. Найдем фронтальный след этой горизонтали – Р(F1,F2) и через его фронтальную проекцию F2 проведем фронтальный след θ2 плоскости θ, перпендикулярно к А2С2, а затем через точку схода следов на оси Х – горизонтальный след θ1 плоскости θ, перпендикулярно к А1С1. Для построения линии пересечения плоскостей θ и ∆АВС следует воспользоваться вспомогательной плоскостью. На рис.2 проведена фронтальная плоскость Т (след Т1). Она пересекается с плоскостью треугольника АВС по фронтали АК(А1К1, А2К2), а с плоскостью θ по фронтали этой плоскости f, проходящей через точку Н, фронтальная проекция ее (f2) параллельна следу θ2. В пересечении фронтали АК треугольника АВС с фронталью f плоскости θ получена точка N(N1, N2) общая для обеих плоскостей, т.е. принадлежащая линии их пересечения. Второй точкой, принадлежащей линии пересечения будет являться вершина В треугольника АВС, через которую проведена плоскость θ. Таким образом на рис. 2 линия BN (B1N1, B2N2) является линией пересечения плоскостей θ и ∆АВС.
