Роль комбинаторных задач в развитии математического стиля мышления учащихся

Среди многих проблем преподавания математики в школе есть проблема формирования у учащихся математического стиля мышления.

Математическое мышление является не только одним из важных компонентов процесса познавательной деятельности учащихся, но и таким компонентом, без целенаправленного развития которого невозможно достичь эффективных результатов в обучении системе математических знаний, умений и навыков.

Рассмотрим некоторые качества мышления, образующие математический стиль мышления.

Первое качество - гибкость мышления. Гибкость мышления характеризуется: способностью к целесообразному варьированию способов действий; легкой перестройкой системы знаний, умений и навыков при изменении условий действий; легкостью перехода от одного способа действия к другому, умением выходить за границы привычного способа действий.

Второе качество - активность мышления. Активность мышления характеризуется постоянством усилий, направленных на решение некоторой проблемы, желанием обязательно решить эту проблему, изучить разные подходы к ее решению, исследовать различные варианты постановки этой проблемы в зависимости от изменяющихся условий и т. д. Развитию этого качества мышления способствует рассмотрение различных способов решения одной и той же задачи.

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезно решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три или четыре различных задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». У.У. Сойер.

Многие задачи допускают несколько способов решения. Часто первый избранный способ бывает далеко не самым удачным. Образно говоря, решающий задачу находится в положении человека, блуждающего по незнакомой местности. Дойдя до цели, он видит, что дорогу можно выбрать более удачную. Нахождение более простых оригинальных способов решений нередко является результатом длительной и кропотливой работы.

Умение решать задачу несколькими способами является одним из признаков хорошей подготовки школьников по математике. При отыскании различных способов решения задач у школьников формируется познавательный интерес. После нахождения очередного метода решения задачи учащийся, как правило, получает моральное удовлетворение. В результате чего ученик проявляет определенную активность мышления.

Кроме того, частое использование одного и того же метода при решении задач иногда приводит к привычке, которая становится вредной. У решающего задачу развивается инертность мышления - антипод гибкости.

Исходя из выше сказанного, можно сделать вывод, что решение задач различными способами развивает активность и гибкость мышления.

Третье качество - целенаправленность. Целенаправленность мышления характеризуется стремлением осуществить выбор действий, при решении какой - либо проблемы, постоянно ориентируясь на поставленную этой проблемой цель, а также стремлением к поиску кратчайших путей решения.

С формированием целенаправленности мышления тесно связан выбор рационального метода решения задачи.

Четвертое качество -широта мышления. Это качество характеризуется способностью к формированию обобщенных способов действий, имеющих широкий диапазон переноса и применения к частным, нетипичным действиям. Оно проявляется в готовности школьников применять новые изученные факты к решению задач и делать обобщения.

Пятое качество - глубина мышления. Это качество мышления характеризуется способностью глубокого понимания каждого из изучаемых фактов в их взаимосвязи с другими фактами.

Для формирования глубины мышления служат задачи, в которых необходимо проанализировать накопленный опыт и применить его при решении.

Здесь рассмотрены не все качества мышления, которые формируются при решении задач. Такие качества, свойственные математическому стилю мышления, как ясность, точность, лаконичность речи и записи, его доказательность не нуждаются в особых комментариях.

Рассмотрим различные решения одной комбинаторной задачи, которая рассматривается перед введением правил комбинаторики: сколько существует к-значных числовых кодов, цифры которых расположены в возрастающем порядке? (Урок одной задачи, позволяющий проанализировать, как изменение данных в условии задачи ведет к изменению в способе ее решения.)

Это трудная задача. Разобьем задачу на более простые. Итак, начнем наш путь «от простого к сложному».

№1.а) Сколько существует двузначных кодов, меньших 100, цифры которых идут в возрастающем порядке?

б) Тот же вопрос для кодов, цифры которых идут в убывающем порядке.

в) Тот же вопрос для кодов, цифры которых идут в не возрастающем порядке.

Уточним условие задачи. Цифры двузначного кода идут в возрастающем порядке, когда первая цифра меньше второй.

Решение а). Самое первое, что приходит в голову учащимся, это выписать подряд все такие коды: 01, 02, … 09, 12, 13, … ,19, 23, … ,29, 34, … ,39, … ,89 и пересчитать их. Некоторые учащиеся могут заметить, что в первом десятке кодов 9 штук, во втором - 8 штук, в третьем – 7 штук и т.д. В девятом десятке – 1 штука, а в десятом их вообще нет. Поэтому они предложат просто сложить числа 9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 или (9+1)+(8+2)+(7+3)(6+4)+5=45. Ответ: 45 кодов.

Решение б). Здесь, конечно, можно сделать точно такой же подсчет, как и в а), но учащимся сразу становится ясно, что ответ будет таким же, как и там. В самом деле, если в каждом коде, цифры которого идут в возрастающем порядке, поменять цифры местами, то получится код, цифры которого идут в убывающем порядке, и наоборот. Ответ: 45 кодов.

Решение в). К таким кодам относятся коды, цифры которых идут в возрастающем порядке, и коды, обе цифры которых одинаковы. Сколько есть кодов с возрастающим порядком, учащиеся уже знают – их 45 штук. Количество кодов с одинаковыми цифрами учащимся найти нетрудно. Их 10 штук: 00, 11, 22, 33 … 99.

Итого 45 + 10 = 55. Ответ: 55 кодов.

Решая задачи а), б) некоторые учащиеся заметят, что можно решить задачу а) еще более простым подсчетом. Двузначных кодов, обе цифры которых разные – 90 штук. Двузначные коды с двумя неодинаковыми цифрами разбиваются на два класса, состоящих из кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке и из кодов, цифры которых идут в убывающем порядке, причем тех и других одинаковое количество. Следовательно, кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке 90/2=45 штук.

Оказывается, что задачу № 1(а) можно представить геометрически. Пусть на плоскости имеется 10 точек. Сколько существует отрезков с концами в этих точках? Занумеруем 10 точек цифрами 0, 1, 2, …, 9. Рассмотрим теперь какой-нибудь отрезок с концами в этих точках. В концах отрезка стоят две разные цифры; поставив их в порядке возрастания, мы получим двузначный код с возрастающим порядком цифр. При таком соответствии двум разным отрезкам соответствуют два разных кода и двум разным кодам соответствуют два разных отрезка. Значит, отрезков будет столько же, сколько двузначных кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке. А таких кодов 45.

Решение с помощью теории графов. Вершины графа - различные цифры, ребра графа-связи между цифрами. Найдем сумму степеней вершин графа. Каждая вершина имеет степень 9 (количество ребер, выходящих из вершины), сумма степеней вершин – 90. Количество ребер в графе 90:2=45.

№2. Сколько существует трехзначных числовых кодов, цифры которых идут в возрастающем порядке?

Решение №2. Трехзначные коды, цифры которых идут в возрастающем порядке, это коды, у которых вторая цифра больше первой, а третья – больше второй. Следовательно, у таких кодов все три цифры разные. Разобьем их на классы. Если коды состоят из одних и тех же трех цифр и отличаются только порядком, в котором они поставлены, то мы их относим к одному классу. Всякий код, таким образом, попадает только в один из классов.

Покажем теперь, что в каждый класс попадает ровно шесть кодов, и, кроме того, среди них есть только один код, цифры которого идут в возрастающем порядке.

Пусть a, b, c – какие-то три разных цифры и пусть a > b > c. Тогда из них можно составить только шесть различных кодов: abc, acb, bac, bca, cab, cba и из них только у одного кода, cba цифры идут в возрастающем порядке. Отсюда мы можем заключить, что если N – количество кодов, у которых все три цифры разные, то количество классов, на которые мы их разбили, будет равно N/6. Кроме того, поскольку в каждом классе есть только один код с возрастающим порядком цифр, таких кодов будет столько же, сколько классов, то есть N/6 штук. Осталось найти N, то есть решить следующую задачу.