Пример 1. Постройте график функции

Решение: По свойству модуля числа . Преобразуем квадратный трехчлен:

.

Итак, нужно построить график функции . Для этого строим график функции при (во вспомогательной системе координат строим график функции и переносим оси координат соответственно на единицы влево и единиц вниз). Далее все точки полученного графика отражаем от оси (рис. 7).

Правило 8. Чтобы построить график функции , надо построить график функции , а затем всю его часть, лежащую ниже оси , отразить от оси .

Действительно, по определению модуля при данная функция имеет вид , а при - , т.е. все отрицательные значения функции должны сменить знак.

Пример 2.Постройте график функции.

Решение: Сначала строим график функции . Для этого график функции смещаем на единиц влево и растягиваем в раза вдоль оси . Далее всю часть построенного графика, лежащую ниже оси , отражаем от оси (рис. 8).

При построении графика функции вида сначала нужно воспользоваться правилом 7, а затем правилом 8.

Иногда требуется построить график функции, являющейся алгебраической суммой, произведением, частным других функций или более сложной функцией. При этом одна или несколько из составляющих функций содержат знак модуля. Тогда находят область определения заданной функции и раскрывают модуль по определению, а в более сложных случаях используют способ одновременного раскрытия модулей (способ интервалов). Он состоит в выполнении определённой последовательности действий:

1) Приравнять к нулю каждое из выражений, стоящих под знаком модуля. Решить полученные уравнения.

2) Расположить найденные корни на числовой оси.

3) Отметить на числовой оси область определения функции.

4) Найденные корни разделят область определения на промежутки. На каждом из промежутков записать функцию, раскрыв модуль.

При этом граничные точки промежутков можно включать в любой или в каждый промежуток, для которого эта точка является граничной.

5) На каждом промежутке построить график функции, соответствующей этому промежутку.

В результате данная функция представляется в виде функции, заданной на разных промежутках области определения соответствующими формулами, на основе чего строится её график.

Пример 3. Постройте график функции .

Решение: Найдём область определения данной функции. Для этого сначала решим уравнение . Учитывая, что и при любых действительных значениях , указанное уравнение равносильно системе Система не имеет решения, значит, область определения заданной функции есть всё множество действительных чисел.

Приравняем к нулю каждое из выражений, стоящих под знаком модуля, и решим полученные уравнения.

Расположим найденные корни на числовой оси:

Рассмотрим каждый из полученных промежутков. При исходная функция примет вид (это график функции , смещённый на единицу влево, отражённый от оси и сжатый в раза вдоль оси ). При имеем, что (это график функции , смещённый на единицу влево и сжатый в раза вдоль оси ). При - (это график функции , смещённый на единицу вправо и сжатый в раза вдоль оси ). График заданной функции приведён на рисунке 9.

Способ одновременного раскрытия модулей можно применять и в тех случаях, когда само выражение с модулем находится под знаком модуля. Тогда может использоваться также способ последовательного раскрытия модулей. При последовательном раскрытии модулей сначала раскрывается внутренний модуль, а затем – внешний.

Упражнения к занятию:

Постройте графики функций с помощью преобразований графиков элементарных функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) .

Занятие № 7