Приложение А Алгоритмы письменных вычислений в десятичной системе счисления

Алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления (алгоритм сложения «столбиком»)

1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти, записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков).

3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде , где – однозначное число; записывают в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.

4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение .

Алгоритм вычитания натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления (алгоритм вычитания «столбиком»)

1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.

3. Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е. , а цифра десятков уменьшаемого отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа число и записываем разность в разряде единиц искомого числа, далее переходим к следующему разряду.

4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, а цифры, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем из , записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.

5. В следующем разряде повторяем описанный процесс. Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого.

Алгоритм умножения многозначного числа на однозначное число y.

1. Записываем второе число под первым.

2. Умножаем цифры разряда единиц числа на число . Если про­изведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и пере­ходим к следующему разряду (десятков).

3. Если произведение цифр единиц числа х на число у больше или равно 10, то представляем его в виде , где – однозначное число; записываем в разряд единиц ответа и запоминаем – перенос в следующий разряд.

4. Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляем к по­лученному произведению число и повторяем процесс, описанный в пп. 2 и 3.

5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.

Алгоритм умножения числа на число .

1. Записываем множитель x и под ним второй множитель у.

2. Умножаем число x на младший разряд числа у и записываем произведение под числом у.

3. Умножаем число х на следующий разряд , числа у и записываем произведение , но со сдвигом на один разряд влево, что соответствует умножению на 10.

4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления .

5. Полученные произведения складываем.

Алгоритм деления «уголком» целого неотрицательного числа на натуральное число

1. Если , то частное , остаток .

2. Если и число разрядов в числах и одинаково, то частное находим перебором, последовательно умножая на , так как . Этот перебор можно ускорить, выполнив деление с остатком цифр старших разрядов чисел и .

3. Если и число разрядов в числе больше, чем в числе , то записываем делимое и справа от него делитель , который отделяем от уголком и ведем поиск частного и остатка в такой последовательности:

а. Выделяем в числе столько старших разрядов, сколько разрядов в числе или, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы они образовывали число , больше или равное . Перебором находим частное чисел , и , последовательно умножая на . Записываем под уголком (ниже ).

б. Умножаем на , и записываем произведение под числом так, чтобы младший разряд числа был написан под младшим разрядом выделенного числа .

в. Проводим черту под и находим разность .

г. Записываем разность , под числом , приписываем справа к старший разряд из неиспользованных разрядов делимого и сравниваем полученное число с числом .

д. Если полученное число больше или равно , то относительно него поступаем согласно п. 1 или п. 2. Частное записываем после .

е. Если полученное число меньше , то приписываем еще столько следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получить первое число , большее или равное . В этом случае записываем после то же число нулей. Затем относительно d₃ поступаем согласно пп. 1, 2. Частное записываем после нулей. Если при использовании младшего разряда числа окажется, что , то тогда частное чисел и равно нулю, и этот нуль записывается последним разрядом в частном, а остаток .