Тема 4. Пересечение поверхностей.
По теме 4 следует решить две задачи на построение линий пересечения поверхностей.
К моменту выполнения задания должны быть проработаны все темы рабочей программы. Одна из задач темы 4 решается способом вспомогательных секущих плоскостей уровня, другая задача – способом сфер.
Форма и размеры геометрических тел для первой задачи выбирается по рис.7 или 3 и табл.6, а для второй задачи – по рис.9 или 10 и табл.7 в соответствии с номером варианта. Обе задачи решаются на одном листе формата А3. Размеры тел на чертежах не приводятся.
Построение линии пересечения заданных тел следует начинать с построения опорных точек искомой кривой. Такими точками являются:
1) Точки, проекции которых лежат на проекциях контурных образующих (очерках) заданных тел;
2) «крайние» точки – правые и левые, наивысшие и наинизшие, ближайшие и наиболее удаленные.
Все построенные проекции точек, принадлежащих линии пересечения, должны иметь на чертеже соответствующие обозначения.
Все линии построения опорных и промежуточных точек на чертеже необходимо сохранять и выполнять сплошными линиями.
Рассмотрим примеры решения задач, предложенных по теме 4.
Пример 1.
Построить линию пересечения поверхностей двух геометрических тел – конуса и сферы – способом вспомогательных секущих плоскостей уровня (см. рис.11)
При решении задач данным способом необходимо удачно выбрать секущие плоскости. Вспомогательные секущие плоскости следует выбирать с таким расчетом, чтобы они рассекали заданные тела по наиболее простым линиям с точки зрения графических построений (прямым или окружностям).
Построение линии пересечения следует начинать с нахождения опорных точек. Точка А (А1,А2) является наивысшей точкой пересечения, точка В (В1,В2) – наинизшей точкой линии пересечения. Обе эти точки могут быть найдены с помощью фронтальной плоскости Ω (Ω1) в пересечении фронтальных очерков общих поверхностей.
Точки С (С1,С2) и С1(С11,С12) определяются с помощью горизонтальной плоскости Σ (Σ2) и являются точками границы видимости линии пересечения на горизонтальной плоскости проекций. Плоскость Σ (Σ2) рассекает обе поверхности по окружности: поверхность конуса по окружности диаметра 1-11(11-111, 12-112), а поверхность сферы по окружности диаметра 4-41(41-411, 42-412). В пересечении этих окружностей и получаются точки С(С1,С2) и С1(С11, С12). Сначала находятся их горизонтальные проекции С1 и С11, а затем по линиям связи и фронтальные С2 и С12.
Промежуточные точки D(D1, D2), D1(D11, D12) и Е (Е1, Е2), Е1(Е11, Е12) находятся с помощью горизонтальных плоскостей θ (θ2) и Ψ (Ψ2), которые также рассекают обе поверхности по окружностям. При пересечении соответствующих окружностей получаем точки D (D1, D2), D1 (D11, D12), Е (Е1, Е2), Е1 (Е11, Е12).
Полученные точки А, В, С, D, Е принадлежат линии пересечения. Они последовательно соединяются между собой на горизонтальной и фронтальной проекциях тел с учетом видимости.
Пример 2.
Построить линию пересечения поверхностей двух геометрических тел – усеченного конуса и цилиндра – способом концентрических сфер (см. рис.12).
Этот способ может быть использован лишь при наличии следующих трех условий:
1) Пересекающиеся поверхности – поверхности вращения;
2) Их оси пересекаются;
3) Поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций.
Рассматриваемая задача удовлетворяет всем вышеизложенным условиям.
При решении этой задачи первоначально строится фронтальная проекция линии пересечения, а затем горизонтальная, так как общая плоскость симметрии обеих поверхностей параллельна фронтальной плоскости проекций.
Построение линии пересечения поверхностей следует начинать с нахождения опорных точек.
Таблица 6.
| Номер варианта | |||||||||||||||||||||||||||
| Фигура | |||||||||||||||||||||||||||
| d | мм | ||||||||||||||||||||||||||
| A | мм | ||||||||||||||||||||||||||
| Номер варианта | |||||||||||||||||||||||||||
| Фигура | |||||||||||||||||||||||||||
| d | мм | ||||||||||||||||||||||||||
| A | мм | ||||||||||||||||||||||||||
| Номер варианта | |||||||||||||||||||||||||||
| Фигура | |||||||||||||||||||||||||||
| d | мм | ||||||||||||||||||||||||||
| A | мм | ||||||||||||||||||||||||||
| Номер варианта | |||||||||||||||||||||||||||
| Фигура | |||||||||||||||||||||||||||
| d | мм | ||||||||||||||||||||||||||
| A | мм | ||||||||||||||||||||||||||
Таблица 7.
| Номер варианта | ||||||||||||
| Фигура | ||||||||||||
| d | ||||||||||||
| A | ||||||||||||
| Номер варианта | ||||||||||||
| Фигура | ||||||||||||
| d | ||||||||||||
| A | ||||||||||||
| Номер варианта | ||||||||||||
| Фигура | ||||||||||||
| d | ||||||||||||
| α0 | ||||||||||||
| Номер варианта | ||||||||||||
| Фигура | ||||||||||||
| d | ||||||||||||
| d1 |
| Номер варианта | |||||||||||||
| Фигура | |||||||||||||
| d | |||||||||||||
| A | |||||||||||||
| Номер варианта | |||||||||||||
| Фигура | |||||||||||||
| d | |||||||||||||
| α0 | |||||||||||||
| Номер варианта | |||||||||||||
| Фигура | |||||||||||||
| d | |||||||||||||
| d1 | |||||||||||||
| Номер варианта | |||||||||||||
| Фигура | |||||||||||||
| d | |||||||||||||
| d1 |
Точка А (А1, А2) является высшей точкой линии пересечения; точка В (В1, В2) - наинизшей точкой линии пересечения. Эти точки могут быть найдены с помощью фронтальной плоскости Ω (Ω1), которая и является общей плоскостью симметрии. Первоначально определяются фронтальные проекции этих точек А2 и В2 в пересечении фронтальных очерков обеих поверхностей, а затем по линиям связи и их горизонтальные проекции А1 и В1. Промежуточные точки, принадлежащие линии пересечения, находятся с помощью вспомогательных секущих сфер. Центр этих сфер располагается в точке О (О1, О2).
Проводится сфера (см. рис.12) минимального радиуса О-1, его фронтальная проекция О2-12: так, чтобы она касалась одной из поверхностей – поверхности конуса (в данном случае) и пересекала бы другую поверхность – поверхность цилиндра.
Эта сфера, будучи соосной с поверхностями конуса и цилиндра, пересекает по окружностям: конус рассекается по окружности диаметра 1-11 (11-111, 12-112), а цилиндр – по окружности диаметра 6-61 (61-611, 62-612). В пересечении этих окружностей получаются точки С (С1, С2), С1 (С11, С12), принадлежащие линии пересечения. Сначала находятся их фронтальные проекции С12 и С2, а затем с помощью лини связи и горизонтальной плоскости Ψ (Ψ2), заключающей в себе окружность диаметром 1-11 (11-111, 12-112), находятся горизонтальные проекции С1 и С11 точек С и С1.Аналогично находятся точки D (D1, D2) и D1(D11, D12) с использованием следующей сферы.
Эта сфера рассекает конус по окружности диаметра 2-21(21-211, 22-212), а цилиндр – по окружности диаметра 5-51(51-511, 52-512). В пересечение этих окружностей и получаются точки D и D1. Промежуточные точки Е и Е1 находятся подобным же образом с помощью третьей сферы.
Точки М и М1 являются также опорными, так как принадлежат горизонтальному очерку цилиндра. Порядок их нахождения ясен из рис.12.
Найденные точки последовательно соединяются между собой плавной линией на фронтальной и горизонтальной проекциях тел с учетом их видимости.
Приложение
Условные обозначения Таблица 8.
| № п/п | По учебнику Четверухина Н.Ф. и принимаемые в методических указаниях | По учебнику Гордона В.О. (до 1998г.) | |
| Плоскости проекций горизонтальная фронтальная профильная | П1 П2 П3 | Н V W | |
| Оси проекций на чертеже | X12, Y1, Y3, Z23 | X, YH, YW, Z | |
| Оси проекций при замене Плоскостей проекций | Х24, Х45, … | Х1, Х2… | |
| Точки в натуре | А, В, С, … 1, 2, 3, … | А, В, С, … 1, 2, 3, … | |
| Проекции точек горизонтальные фронтальные профильные | А1, В1, С1, … А2, В2, С2, … А3, В3, С3, … | a, b, c, … a1, b1, c1, … a11, b11, c11, … | |
| Прямые линии в натуре и отрезки прямых | a, b, c, … AB, CD, MN, … | AB, CD, MN, … | |
| Проекции прямых и отрезков прямых горизонтальные фронтальные профильные | a1, b1, A1, B1, … a2, b2, A2, B2, … a3, b3, A3, B3, … | ab, cd, … a1b1, c1d1, … a11, b11, c11d11, … | |
| Плоскости и поверхности | прописные буквы греческого алфавита θ, Σ, Ψ, … | ||
| Последовательность точек | А1, А2, А3, … | А1, А2, А3, … | |
| Следы прямой горизонтальной фронтальной профильной | Н (Н1, Н2, Н3). F (F1, F2, F3). P (P1, P2, P3). | H (h, h1, h11). V (v, v1, v11). W (w, w1, w11). | |
| Следы плоскости горизонтальный фронтальный профильный | Σ1, θ1, Ψ1, … Σ2, θ2, Ψ2, .. Σ3, θ3, Ψ3, … | PH, QH, RH, … PV, QV, RV, … PW, QW, RW, … | |
| Длины уровня горизонтальные фронтальные профильные | h (h1, h2, h3) f (f1, f2, f3) p (p1, p2, p3) | как любые прямые | |
| Углы | α, β, γ, … | α, β, γ, … |
Рекомендуемая литература
1. Фролов С.А., Начертательная геометрия. – М.: Машиностроение. 1983.
2. Гордон В.С., Семенцов – Огиевский Т.А. Курс начертательной геометрии. – М.: Наука. 1999.
3. Бубенников А.В. Начертательная геометрия. – М.: Высшая школа. 1995.