Тема 4. Пересечение поверхностей.

По теме 4 следует решить две задачи на построение линий пересечения поверхностей.

К моменту выполнения задания должны быть проработаны все темы рабочей программы. Одна из задач темы 4 решается способом вспомогательных секущих плоскостей уровня, другая задача – способом сфер.

Форма и размеры геометрических тел для первой задачи выбирается по рис.7 или 3 и табл.6, а для второй задачи – по рис.9 или 10 и табл.7 в соответствии с номером варианта. Обе задачи решаются на одном листе формата А3. Размеры тел на чертежах не приводятся.

Построение линии пересечения заданных тел следует начинать с построения опорных точек искомой кривой. Такими точками являются:

1) Точки, проекции которых лежат на проекциях контурных образующих (очерках) заданных тел;

2) «крайние» точки – правые и левые, наивысшие и наинизшие, ближайшие и наиболее удаленные.

Все построенные проекции точек, принадлежащих линии пересечения, должны иметь на чертеже соответствующие обозначения.

Все линии построения опорных и промежуточных точек на чертеже необходимо сохранять и выполнять сплошными линиями.

Рассмотрим примеры решения задач, предложенных по теме 4.

Пример 1.

Построить линию пересечения поверхностей двух геометрических тел – конуса и сферы – способом вспомогательных секущих плоскостей уровня (см. рис.11)

При решении задач данным способом необходимо удачно выбрать секущие плоскости. Вспомогательные секущие плоскости следует выбирать с таким расчетом, чтобы они рассекали заданные тела по наиболее простым линиям с точки зрения графических построений (прямым или окружностям).

Построение линии пересечения следует начинать с нахождения опорных точек. Точка А (А12) является наивысшей точкой пересечения, точка В (В12) – наинизшей точкой линии пересечения. Обе эти точки могут быть найдены с помощью фронтальной плоскости Ω (Ω1) в пересечении фронтальных очерков общих поверхностей.

Точки С (С12) и С11112) определяются с помощью горизонтальной плоскости Σ (Σ2) и являются точками границы видимости линии пересечения на горизонтальной плоскости проекций. Плоскость Σ (Σ2) рассекает обе поверхности по окружности: поверхность конуса по окружности диаметра 1-11(11-111, 12-112), а поверхность сферы по окружности диаметра 4-41(41-411, 42-412). В пересечении этих окружностей и получаются точки С(С12) и С111, С12). Сначала находятся их горизонтальные проекции С1 и С11, а затем по линиям связи и фронтальные С2 и С12.

Промежуточные точки D(D1, D2), D1(D11, D12) и Е (Е1, Е2), Е111, Е12) находятся с помощью горизонтальных плоскостей θ (θ2) и Ψ (Ψ2), которые также рассекают обе поверхности по окружностям. При пересечении соответствующих окружностей получаем точки D (D1, D2), D1 (D11, D12), Е (Е1, Е2), Е111, Е12).

Полученные точки А, В, С, D, Е принадлежат линии пересечения. Они последовательно соединяются между собой на горизонтальной и фронтальной проекциях тел с учетом видимости.

Пример 2.

Построить линию пересечения поверхностей двух геометрических тел – усеченного конуса и цилиндра – способом концентрических сфер (см. рис.12).

Этот способ может быть использован лишь при наличии следующих трех условий:

1) Пересекающиеся поверхности – поверхности вращения;

2) Их оси пересекаются;

3) Поверхности имеют общую плоскость симметрии, параллельную одной из плоскостей проекций.

Рассматриваемая задача удовлетворяет всем вышеизложенным условиям.

При решении этой задачи первоначально строится фронтальная проекция линии пересечения, а затем горизонтальная, так как общая плоскость симметрии обеих поверхностей параллельна фронтальной плоскости проекций.

Построение линии пересечения поверхностей следует начинать с нахождения опорных точек.

Таблица 6.

Номер варианта
Фигура
d мм
A мм
Номер варианта
Фигура
d мм
A мм
Номер варианта
Фигура
d мм
A мм
Номер варианта
Фигура
d мм
A мм
                                                       

Таблица 7.

Номер варианта
Фигура
d
A      
Номер варианта
Фигура
d
A
Номер варианта
Фигура
d
α0
Номер варианта
Фигура
d
d1
Номер варианта
Фигура
d
A
Номер варианта
Фигура
d
α0
Номер варианта
Фигура
d
d1
Номер варианта
Фигура
d
d1

Точка А (А1, А2) является высшей точкой линии пересечения; точка В (В1, В2) - наинизшей точкой линии пересечения. Эти точки могут быть найдены с помощью фронтальной плоскости Ω (Ω1), которая и является общей плоскостью симметрии. Первоначально определяются фронтальные проекции этих точек А2 и В2 в пересечении фронтальных очерков обеих поверхностей, а затем по линиям связи и их горизонтальные проекции А1 и В1. Промежуточные точки, принадлежащие линии пересечения, находятся с помощью вспомогательных секущих сфер. Центр этих сфер располагается в точке О (О1, О2).

Проводится сфера (см. рис.12) минимального радиуса О-1, его фронтальная проекция О2-12: так, чтобы она касалась одной из поверхностей – поверхности конуса (в данном случае) и пересекала бы другую поверхность – поверхность цилиндра.

Эта сфера, будучи соосной с поверхностями конуса и цилиндра, пересекает по окружностям: конус рассекается по окружности диаметра 1-11 (11-111, 12-112), а цилиндр – по окружности диаметра 6-61 (61-611, 62-612). В пересечении этих окружностей получаются точки С (С1, С2), С1 11, С12), принадлежащие линии пересечения. Сначала находятся их фронтальные проекции С12 и С2, а затем с помощью лини связи и горизонтальной плоскости Ψ (Ψ2), заключающей в себе окружность диаметром 1-11 (11-111, 12-112), находятся горизонтальные проекции С1 и С11 точек С и С1.Аналогично находятся точки D (D1, D2) и D1(D11, D12) с использованием следующей сферы.

Эта сфера рассекает конус по окружности диаметра 2-21(21-211, 22-212), а цилиндр – по окружности диаметра 5-51(51-511, 52-512). В пересечение этих окружностей и получаются точки D и D1. Промежуточные точки Е и Е1 находятся подобным же образом с помощью третьей сферы.

Точки М и М1 являются также опорными, так как принадлежат горизонтальному очерку цилиндра. Порядок их нахождения ясен из рис.12.

Найденные точки последовательно соединяются между собой плавной линией на фронтальной и горизонтальной проекциях тел с учетом их видимости.

Приложение

Условные обозначения Таблица 8.

№ п/п   По учебнику Четверухина Н.Ф. и принимаемые в методических указаниях По учебнику Гордона В.О. (до 1998г.)
Плоскости проекций горизонтальная фронтальная профильная   П1 П2 П3   Н V W
Оси проекций на чертеже X12, Y1, Y3, Z23 X, YH, YW, Z
Оси проекций при замене Плоскостей проекций Х24, Х45, … Х1, Х2
Точки в натуре А, В, С, … 1, 2, 3, … А, В, С, … 1, 2, 3, …
Проекции точек горизонтальные фронтальные профильные   А1, В1, С1, … А2, В2, С2, … А3, В3, С3, …   a, b, c, … a1, b1, c1, … a11, b11, c11, …
Прямые линии в натуре и отрезки прямых a, b, c, … AB, CD, MN, …   AB, CD, MN, …
Проекции прямых и отрезков прямых горизонтальные фронтальные профильные     a1, b1, A1, B1, … a2, b2, A2, B2, … a3, b3, A3, B3, …     ab, cd, … a1b1, c1d1, … a11, b11, c11d11, …
Плоскости и поверхности прописные буквы греческого алфавита θ, Σ, Ψ, …  
Последовательность точек А1, А2, А3, … А1, А2, А3, …
Следы прямой горизонтальной фронтальной профильной   Н (Н1, Н2, Н3). F (F1, F2, F3). P (P1, P2, P3).   H (h, h1, h11). V (v, v1, v11). W (w, w1, w11).
Следы плоскости горизонтальный фронтальный профильный   Σ1, θ1, Ψ1, … Σ2, θ2, Ψ2, .. Σ3, θ3, Ψ3, …   PH, QH, RH, … PV, QV, RV, … PW, QW, RW, …
Длины уровня горизонтальные фронтальные профильные   h (h1, h2, h3) f (f1, f2, f3) p (p1, p2, p3) как любые прямые
Углы α, β, γ, … α, β, γ, …

Рекомендуемая литература

1. Фролов С.А., Начертательная геометрия. – М.: Машиностроение. 1983.

2. Гордон В.С., Семенцов – Огиевский Т.А. Курс начертательной геометрии. – М.: Наука. 1999.

3. Бубенников А.В. Начертательная геометрия. – М.: Высшая школа. 1995.

Наши рекомендации