Расчёт скоростей и ускорений

Прямая задача о скоростях и ускорениях состоит в определении абсолютных величин линейных скоростей и ускорений точек звеньев манипулятора и абсолютных угловых скоростей и ускорений звеньев, при заданных относительных величинах.

Рисунок 3 –

Относительные кинематические параметры

четырёхзвенного манипулятора.

В состав кинематической цепи манипулятора (рисунок 3) входят четыре подвижных звена, вращательные В, E и поступательные А,С кинематические пары V класса. Их положение в пространстве, а также положение точки D схвата характеризуется длинами звеньев, линейными и угловыми обобщенными координатами (расчетные значения), известны линейные и угловые относительные скорости и ускорения звеньев руки (таблицы 1).

Определим угловые скорости всех звеньев руки манипулятора, а также линейные скорости и ускорения точек А, B, C, Е, D.

Известны линейные и угловые относительные скорости и ускорения звеньев: ; ;

; ;

; ;

; ;

1. Проекции единичных векторов и соответствующих осей шарниров B и E на оси системы координат описываются матрицами:

(10)

2. Определим угловые скорости и ускорения звеньев.

Для 2 звена определяем векторы угловой скорости и углового ускорения и записываем соответствующие матрицы:

(11)

Для 3 звена угловую скорость и ускорение определяем с помощью векторных уравнений:

(12)

Следовательно

Векторы относительной угловой скорости и относительного углового ускорения, характеризующие закон вращения звена 4 относительно звена 3, определяют по формулам:

(13)

Запишем соответствующе матрицы для и , воспользовавшись уравнением (13) и данными из таблицы 1.

;

;

Для определения угловой скорости и углового ускорения четвертого звена составляем векторные уравнения:

; (14)

; (15)

Определяем угловую скорость 4 звена.

Абсолютное значение

Определяем угловое ускорение 4 звена.

Абсолютное значение

Планы угловых скоростей и ускорений представлены на рисунках 4 и 5

Рисунок 4 – План угловой скорости

Рисунок 5 – План угловых ускорений.

3. Определим линейных скоростей и ускорений кинематических пар и схвата.

Для этого, сначала, определим проекций векторов на оси координат .

Запишем соответствующие матричные уравнения:

(16)

;

(17)

Подставив определяем проекцию вектора :

; (18)

(19)

(20)

Определяем проекцию вектора :

Определим линейные скорости кинематических пар:

Для определения скорости точки С используется векторное уравнение:

;

Скорость точки D найдем из векторного уравнения:

; (21)

Здесь . Далее определяем :

Подставив все получаем линейную скорость кинематической пары:

Для определения скорости точки E используется векторное уравнение:

(22)

Затем находим линейное ускорение точки E

Вычислим абсолютные значения линейных скоростей кинематических пар:

Рассчитаем ускорения кинематических пар и схвата.

Ускорение точки B:

Ускорении точки С:

Ускорение точки D найдем из уравнения:

(23)

где ;

Определим ускорение точки D:

Найдем ускорение точки E:

(24)

Ускорение Кориолиса так как угол между векторами и равен 0.

Получаем ускорение точки D

Вычислим абсолютные значения линейных ускорений:

Планы линейных скоростей и ускорений представлены на рисунках 6, 7

Рисунок 6 – План линейных скоростей

Рисунок 7 – План линейных ускорений.