Шкала попарных сравнений Саати

Значение wij	Определение	Пояснение
	Территории одинаково опасные (безопасные)	Территории обладают примерно одинаковой опасностью
	Промежуточное значение
	Слабое превосходство	Эксперт считает, что опасность первой территории пары несколько выше, чем второй
	Промежуточное значение
	Сильное превосходство	Эксперт считает, что опасность первой территории пары определенно выше, чем второй
	Промежуточное значение
	Явное превосходство	Эксперт считает, что опасность первой территории пары явно выше, чем второй и статистика это подтверждает
	Промежуточное значение
	Абсолютное превосходство	У эксперта нет никаких сомнений относительно того, что опасность первой территории пары значительно выше, чем второй

2) оценка согласованности мнений экспертов с целью определения возможности использования полученных результатов. Для этого вычисляют коэффициенты вариации

где w_ij(l) - элементы матрицы W(l), полученной от l-го из z экспертов; - их усредненные значения. Согласованность считают удовлетворительной при " ij и хорошей при " ij. В случае неудовлетворительной согласованности экспертам предлагается критически оценить результаты сравнений территорий и, при необходимости, внести коррективы. После этого повторяется обработка вновь заполненных матриц попарных сравнений и оценивается согласованность.

В результате экспертного оценивания получим z матриц попарных сравнений, которые в общем случае не являются транзитивными.

Обработка матриц попарных сравнений. В качестве весов, полученных в результате экспертного оценивания, принимают компоненты максимального собственного вектора матрицы попарных сравнений W, для вычисления которых используют точный и приближенный способы.

Точный способ. Пусть - максимальный собственный вектор матрицы W. С целью вычисления его компонент решим уравнение

, (14)

где - собственное число матрицы W.

Перепишем (14) в координатной форме:

. (15)

С учетом того, что при , представим (15) в виде системы однородных уравнений:

, (16)

или, в матричной форме, , где - единичная матрица -го порядка. Известно, что система однородных линейных уравнений имеет ненулевое решение только в случае, когда определитель соответствующей матрицы равен нулю:

(17)

Разложив этот определитель, получим характеристическое уравнение -й степени относительно . Решение этого уравнения даст значений . Затем необходимо найти компоненты собственного вектора матрицы , соответствующего , для чего требуется решение системы однородных уравнений .

Пример 1. Пусть имеется матрица

попарных сравнений трех территорий. Определим компоненты максимального собственного вектора матрицы.

Решим уравнение (14) для в общем виде, для чего в соответствии с (5.16) представим его в виде системы однородных уравнений

(18)

Далее из уравнения (17) определим . Раскрывая определитель, получим:

(19)

Пусть . Тогда уравнение (19) принимает вид неполного кубичного уравнения

.

Его корни определяются по формулам

, (20)

где .

Анализ (19) показывает, что при невыполнении условия транзитивности матрицы и , а при выполнении этого условия и . Это соответствует утверждению о том, что для идеальной матрицы имеет место равенство , а для нетранзитивной матрицы .

Уравнение (19) при имеет один действительный корень и два сопряженных комплексных корня или при три действительных корня, по крайней мере два из которых будут равны.

Подставляя в (18) элементы матрицы , получим неполное кубичное уравнение . Обозначив , по (20) найдем: ; . Следовательно, . Подставив значение максимального собственного числа матрицы в (19), найдем компоненты максимального собственного вектора, нормированные значения которых и есть значения степеней принадлежности территорий выбранному нечеткому множеству: .

Необходимо отметить, что при попарных сравнениях четырех и более территорий приведенный способ вычисления максимального собственного вектора матрицы становится сложным для практической реализации.

Приближенный способ. Введем вектор

, (21)

компоненты которого характеризуют вес территорий, где - номер шага алгоритма. Тогда нормированный вектор определяется по формуле

, (22)

где - сумма компонент вектора .

Если - неразложимая матрица, то процедура (22) сходится, так как при , а . Вычисление компонент максимального собственного вектора осуществляют до достижения заданной точности .

Пример 2. Решим задачу примера 1 приближенным способом при . Результаты представлены в табл. 9.

Таблица 9

Значения компонент нормированного собственного вектора

qi	k
q1
q2
q3

Каждая клетка этой таблицы содержит два числа: в числителе - , в знаменателе - . Требуемая точность вычислений достигается на четвертом шаге итераций. Следовательно, с точностью компоненты собственного вектора матрицы принимают следующие значения: ; ; . Приведенный алгоритм приближенных вычислений сравнительно легко реализуем на ЭВМ и позволяет путем увеличения числа итераций достичь любой заданной точности вычислений относительных весов территорий.

При удовлетворительной согласованности мнений экспертов определяются степени принадлежности территорий нечеткому множеству , значения которых равны усредненным (или вычисленным с учетом компетентности экспертов) значениям компонент максимального собственного вектора матриц попарных сравнений, нормированных на единицу: m_A(q_j)=q_j/q₁.

Методика получения информации об относительной опасности территорий, основанная на рассмотренной нечеткой модели, состоит в следующем:

выбор сравниваемых территорий;

выбор экспертов;

выбор нечеткой переменной, наилучшим образом описывающей опасность территорий;

вычисление степеней принадлежности территорий нечеткому множеству, смысл которого формализован выбранной нечеткой переменной.

Последовательность операций при этом состоит в следующем:

вычисление относительных весов территорий на основе метода попарных сравнений с количественной оценкой предпочтения;

вычисление степеней принадлежности территорий нечеткому множеству.

Вычисление относительных весов территорий производится в следующей последовательности:

выставление оценок парам территорий членами экспертной группы (заполнение матриц попарных сравнений);

обработка матриц попарных сравнений;

объединение относительных весов территорий, полученных экспертами;

оценка согласованности мнений экспертов группы.