Погрешности косвенных измерений

Задача ставится так: пусть искомая величина z определяется через другие величины a, b, c, ..., полученные при прямых измерениях

z = f (a, b, c,...) . (1.11)

Необходимо найти среднее значение функции и погрешность ее измерений, т.е. найти доверительный интервал

(1.12)

при надежности a и относительную погрешность .

Что касается , то оно находится путем подстановки в правую часть (1.11) вместо a, b, c,... их средних значений

. (1.13)

Абсолютная погрешность косвенных измерений является функцией абсолютных погрешностей прямых измерений. Если величины a, b, c, ... в функцию z = f (a, b, c,...) входят в виде сомножителей в той или иной степени, т. е. если

(1.14)

(кроме случаев, когда показатель равен –1), то сначала удобно вычислить относительную погрешность

, (1.15)

а затем абсолютную

. (1.16)

Формулы для Dz и e_z часто приводятся в справочной литературе.

Примечания.

1. При косвенных измерениях в расчетные формулы могут входить известные физические константы (ускорение свободного падения g, скорость света в вакууме с и т. д.), числа типа дробные множители 1/3, 1/6 ... . Эти величины при вычислениях округляются. При этом, естественно, в расчет вносится погрешность - погрешность округления при вычислениях, которая должна учитываться.

Принято считать, что погрешность округления приближенного числа равна половине единицы того разряда, до которого это число было округлено. Например,p = 3,14159... . Если взять p= 3,1, то Dp = 0,05, если p = 3,14, то Dp = 0,005 ... и т.д. Вопрос о том, до какого разряда округлять приближенное число, решается так: относительная ошибка, вносимая округлением, должна быть того же порядка или на порядок меньше, что и максимальная из относительных ошибок других видов. Таким же образом оценивается абсолютная ошибка табличных данных. Например, в таблице указано r=13,6 ·10³ кг/ м³, следовательно,Dr = 0,05·10³ кг/м³.

Ошибки значений универсальных постоянных часто указываются вместе с их средними значениями: с = м/c, т.е. Dс = 0,3×10³ м/c.

2. Иногда при косвенных измерениях условия опыта при повторных наблюдениях не совпадают. В этом случае значение функции zвычисляется для каждого отдельного измерения, а доверительный интервал вычисляется через значения z так же, как при прямых измерениях (все погрешности здесь входят в одну случайную погрешность измерения z). Величины, которые не измеряются, а задаются (если они есть), должны быть указаны при этом с достаточно большой точностью.

Например, при определении вязкости жидкости методом Стокса (лабораторная работа № 2) при использовании нескольких шариков разного диаметра абсолютная погрешность будет (см. (1.4))

(1.17)

где i- номер опыта, n - число опытов.

В качестве итога всего, сказанного выше, приведем порядок обработки результатов измерений.

Порядок обработки результатов измерений

Прямые измерения

1. Вычислить среднее значение для n измерений: .

2. Найти погрешности отдельных измерений .

3. Вычислить квадраты погрешностей отдельных измерений и их сумму: .

4. Задать надежностьa (для наших целей принимаем a= 0,95) и по таблице определить коэффициенты Стьюдента t_a,n и t_a,¥..

5. Произвести оценку систематических погрешностей: приборной Dх_пр и ошибки округления при измеренияхDх_окр =a D/2 (D- цена деления прибора) и найти полную погрешность результата измерений (полуширину доверительного интервала):

.

6. Оценить относительную погрешность

100 % .

7. Окончательный результат записать в виде

% при a = ...

Косвенные измерения

1. Для каждой величины, измеренной прямым способом, входящей в формулу для определения искомой величины , провести обработку, как указано выше.

2. Определить среднее значение искомой величины z = f (<a> ,<b>, <c>, ...).При этом если среди величин a, b, c, ... есть табличные константы или числа типа p, е, ... , то при вычислениях округлять их следует так (если это возможно), чтобы вносимая при этом относительная ошибка была на порядок меньше наибольшей относительной ошибки величин, измеренных прямым способом.

3. Если зависимость z от a, b, c,... имеет вид , где k, l, m - любые действительные числа, то относительную ошибку вычисляют так:

,

а затем вычисляют абсолютнуюошибку .

4.Окончательный результат следует записать в виде

z = <z> ± D z ,%приa = … .

Примечание.

При обработке результатов прямых измерений нужно следовать следующему правилу: численные значения всех рассчитываемых величин должны содержать на один разряд больше, чем исходные (определенные экспериментально) величины.

При косвенных измерениях вычисления производить по правилам приближенных вычислений.

В окончательной записиабсолютной погрешности следует оставлять только одну значащую цифру. Если этой цифрой окажется 1 или 2, то после нее сохраняют еще одну цифру.

Среднее значение округляется до того же результата, что и абсолютная погрешность.

Например: V = см = см ,

I = (5,530±0,013) A , A = Дж.

Порядок выполнения работы