Правила вычисления погрешностей

Погрешность обычно выражают одной или двумя значащими цифрами. Погрешности из­мерения указывают, какие цифры являются сомнительными в чис­ловом значении измеренной величины.

В приближенных и точных числах значащими цифрами (знаками) называют

– цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;

– цифру 0, если она стоит в середине чис­ла или на его конце.

Например, в числах 250, 205, 200500, 25, 20,5, 2,005, 20,05 все цифры являются значащими.

Нуль не яв­ляется значащей цифрой, если он стоит с левой стороны в десятичной дроби, т. к. в этом случае от него не зависит значность числа, выражающего десятичную дробь. Например, 0,27; 0,027; 0,0385; 0,0063.

Так как точность определе­ния физической величины определяется измерением, а не вычис­лением, то округление числового значения результата измерения производится до цифры того же порядка, что и значение погреш­ности.

При округлении результатов измерений необходимо помнить следующие правила приближенных вычислений.

1. Лишние цифры у целых чисел заменяются нулями, а у де­сятичных дробей отбрасываются.

Например,

Y = 123 357 ± 678 (до округления);

Y = 123 400 ± 700 (после округления),

2. Если заменяемая нулем, или отбрасываемая цифра старше­го разряда меньше 5, то остающиеся цифры не изменяются, а если указанная цифра больше 5, то последняя остающаяся цифра уве­личивается на единицу:

Например,

Y = 237,46 ± 0,13 (до округления);

Y = 237,5 ± 0,1 (после округления).

3. Если заменяемая нулем или отбрасываемая цифра равна 5 (с последующими нулями), то округление производится так: по­следняя цифра в округленном числе остается без изменения, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная.

Например,

Y = 237,465 ± 0,127 (до округления);

Y = 237,46 ± 0,13 (после округления),

или

Y = 237,5 ± 0,1 (после округления).

При представлении окончательных результатов физических из­мерений следует применять запись числовых значений в виде деся­тичной дроби, умноженной на необходимую степень числа десять.

Например,

0,0285
300000 км/с	км/с

Степень числа 10 называют порядком величины.

Приближенные вычисления следует вести с соблюдением следующих правил.

1. При сложении и вычитании приближенных чисел окон­чательный результат округляют так, чтобы он не имел знача­щих цифр в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в од­ном из приближенных данных.

Например, при сложении чисел

4,462 + 2,38 - 1,17273 + 1,0262 = 9,04093

следует сумму округлить до сотых долей, т. е. принять ее равной 9,04.

2. При умножении следует округлять сомножители так, чтобы каждый из них содержал столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель с наименьшим числом таких цифр.

Например, вместо вычисления выражения

3,723 · 2,4 · 5,1846

следует вычислять выражение

3,7 · 2,4 · 5,2.

В окончательном результате следует оставлять такое же число значащих цифр, какое имеется в сомножителях после их округления. В промежуточных результатах следует сохра­нять на одну значащую цифру больше. Такое же правило следует соблюдать и при делении приближенных чисел.

3. При возведении в квадрат или в куб следует в степени брать столько значащих цифр, сколько их имеется в основа­нии степени.

Например,

1,32² = 1,74.

4. При извлечении квадратного или кубического корня в результате следует брать столько значащих цифр, сколько их имеется в подкоренном выражении.

Например,

5. При вычислении сложных выражений следует приме­нять указанные правила в соответствии с видом производи­мых действий.

Если вычисления проводятся на карманном калькуляторе или ЭВМ, то разрядность представления чисел определяется конструк­цией калькулятора (ЭВМ). Очевидно, результат вычислений сле­дует переписывать с числом значащих цифр, соответствующих минимальному в одном из сомножителей (или аргументе функ­ции). Надо стараться избегать ошибочной практики, когда ре­зультаты вычислений переписывают с таким числом значащих цифр, которое выдает калькулятор (ЭВМ).

Например, если сомножитель (или аргумент функции) содер­жал две значащие цифры, а результат вычислений представлен на табло калькулятора (дисплее, распечатке с ЭВМ) девятью цифра­ми, то следует переписать результат только с двумя значащими цифрами.

Построение графиков

Если некоторая физическая величина является функцией одной или нескольких переменных, то для наглядного представления такой зависимости необходимо изобразить ее графически.

Как правило, графики зависимостей одних физических величин от дру­гих – это гладкие, плавные линии, без резких изломов. Экспери­ментальные точки вследствие погрешностей измерений не ложатся на гладкие кривые зависимостей для физических величин, а груп­пируются вокруг них случайным образом.

Поэтому

не следует сое­динять соседние экспериментальные точки на графике отрезками прямой и получать таким образом некоторую ломаную линию.

Графики выполняются преимущественно на миллиметровой бу­маге. Сначала нужно выбрать масштаб по осям координат. Мас­штаб выбирается таким образом, чтобы угол наклона прямых (или касательных к кривым) на графике был близок к 45°. Кривые должны занимать практи­чески все поле чертежа (т. е. должно быть соответствие между протяженностью кривой и размером чертежа).

За единицу мас­штаба величины разумно выбирать числа, кратные 1, 5, 10, 50, 100.

В качестве осей координат следует использовать прямоуголь­ную рамку (это облегчает пользование чертежом). На осях коор­динат (левой и правой, нижней и верхней) наносят масштабные метки, соот­ветствующие цифровым значениям соответствующей величины(т.е. числам, кратным 1, 5, 10 и т. д.).

Между масштабными метками следует выбирать расстояние равное 1, 2, 4, 5, 8, 10 клеток стандартного тетрадного листа «в клетку» или миллиметровой бумаги.

Цифровые значения проставляются (на левой и нижней осях) только для крупных единиц масштаба.

Око­ло осей координат (слева и внизу) необходимо написать названия величин, которые отложены по ним, их обозначение и единицы из­мерения. Все надписи и цифровые значения должны быть крупны­ми (размер букв и цифр не менее 5 мм).

Экспериментальные точки наносятся на чертеж в виде услов­ных знаков небольшого размера (кружочки, квадратики, крестики и т. д.).

Для каждой точки на графике указываются по­грешности в виде отрезков с длиной, равной удвоенной абсолютной суммарной погрешности величины , в центре которого находится данная экспериментальная точка со значением величины х. Погрешности можно указывать для одной или двух величин (см. рис. 2.1).

Рисунок 2.1 – Пример построения графика

Гладкую кривую, соответствующую экспериментальным точкам, проводят с помощью линейки или ле­кала так, чтобы она проходила примерно в средней части всей со­вокупности экспериментальных точек и при этом пересекала все доверительные интервалы графика.

Если имеется несколько кривых, то каждой кривой присва­ивается номер, а на свободном поле чертежа указывают название, обозначение, цифровое значение и единицу измерения параметра, соответствующего этому номеру. Если имеется теоретическая кривая, то ее наносят на чертеж с указанием, по какой теории она получена. Если имеются кривые или экспериментальные точки, полученные различными методами, то желательно использовать для их построения линии и знаки разной структуры (сплошные линии, пунктир, кружочки, квадратики и т. д.).

График должен быть приемлемым с эстетической точки зрения (разные цвета для экспериментальных точек, кри­вых, осей координат и т. д.). Готовые графики подклеиваются в соответствующее место листа отчета о лабора­торной работе.

Метод линеаризации

Рассмотрим следующий пример. Пусть целью измерений является проверка закона равноускоренного движения и определение ускорения свободного падения g из соотношения

. (3.1)

При этом h – путь, пройденный телом при свободном падении; t – время, за которое пройден данный путь. Построим график . Он может иметь следующий вид – рисунок 3.1.

Видно, что график «похож» на параболу , в то же время нельзя утверждать, что полученная кривая соответствует именно закону (3.1).

Введем новые обозначения

h

t

Рисунок 3.1 – График зависимости пройденного пути от времени падения

Перепишем (3.1.) в виде

. (3.2)

Формула (3.2) представляет частный случай линейной функции

. (3.3)

График зависимости (3.3) есть прямая линия. Параметр а – угловой коэффициент графика, параметр b – свободный член линейной функции. График линейной функции – прямая линия.

y

· A

· В

b

0Dx x

Рисунок 3.2 – График линейной функции

Графически угловой коэффициент можно найти как отношение произвольного приращения Δу вдоль оси у к соответствующему приращению Δх вдоль оси х, определяемому из линейного графика

Для этого, на прямой линеаризованного графика выбирают две произвольные точки А и В. Опускают перпендикуляры на оси y и x. Определяют отрезки Δх и Δу.

Важно, чтобы величины отрезков Δу и Δх были найдены с учетом единиц соответствующих физических величин и с учетом масштабов соответствующих осей графика. Важно также, что точки А и В выбираются на прямой графика. При этом не обязательно, что все экспериментальные точки попадают на прямую.

Обычно угловой коэффициент линеаризованной зависимости связан с какой-либо физической величиной, которую нетрудно найти. Например, в рассматриваемом примере (Рис.3.2.) по угловому коэффициенту прямой (т.е. по совокупности всех результатов измерений) можно определить величину ускорения свободного падения:

Следует учитывать, что угловой коэффициент может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от направления прямой в выбранной системе отчета. Это следует из того, что если и – координаты каких-либо двух точек на прямой , то угловой коэффициент записывается в следующем виде

Угловой коэффициент прямой имеет размерность, определяемую единицами величин .

Обобщая, можно сказать, что, как правило, в исследуемой функции можно сделать такую замену переменных, чтобы в новых переменных функциональная зависимость между переменными была бы линейной. В этом случае график экспериментально установленной линеаризованной зависимости должен представлять прямую, в чем легко можно убедиться с помощью обычной линейки.

Вычисление углового коэффициента и свободного члена позволяет получить дополнительную информацию.

Требования к отчету о лабораторной работе

Содержание отчета о лабораторной работе

Отчет должен включать следующие разделы

титульный лист;

Введение;

1. Описание установки и методики эксперимента;

2. Основные расчетные формулы;

3. Результаты работы и их анализ;

Заключение.

Титульный лист

Титульный лист является первым листом отчета. Титульный лист не нумеруется. Следующая за титульным листом страница нумеруется циф­рой 2.

Введение

Введение должно кратко характеризовать исследуемое явление (процесс, закон, прибор). Во введении необходимо указать цель данной работы. Введение должно быть лаконичным и не превышать трех-пяти предложений. Введение является первым разделом отчета. Введение не нумеруется.