Оценивание параметров линейной зависимости
Одним из важных методов современной физики является модельное описание. Модель позволяет получить количественную информацию об исследуемом объекте или процессе. Физические величины, определяющие результаты эксперимента, выступают в роли переменных и параметров некоторой функциональной зависимости, теоретически получаемой в рамках модели. После экспериментальной регистрации зависимости ее сравнивают с теоретической. Путем сравнения можно не только численно определить, т.е. измерить, значения физических величин, не измеряемых другим способом, но и вывести заключение об адекватности применения модели к эксперименту.
Обработка экспериментально полученной зависимости состоит в проведении по зарегистрированным точкам теоретической кривой, рассчитанной для заданного набора численных значений параметров. Варьируя параметры, добиваются наилучшего совпадения теоретической кривой с экспериментальными данными. Достижению такого совпадения помогает обязательное требование: теоретическая кривая должна отражать все особенности поведения экспериментальной зависимости, а, тем более, не давать повода для сомнений в совпадении с ней. Полученный набор параметров расценивают как результат их одновременного измерения, выполненного на основе используемой модели. В эксперименте часто проверяют линейную зависимость двух величин вида
y = ax + b , (1.1)
где x, y – измеряемые величины, a, b – параметры зависимости. Даже если из модельного описания непосредственно не получается линейная зависимость величин, теоретическую зависимость стремятся преобразовать к линейной. Объясняется это тем, что линейная зависимость выделена по отношению к другим формам функциональной связи двух величин. Во-первых, в силу психологических причин восприятие человека обладает свойством распознавать прямые линии, как встречающиеся в повседневной жизни, так и построенные в виде графиков. Визуально удается достаточно точно восстановить из графика всю прямую, даже в той области, где информация о ней частично отсутствует. Это означает, что проводимая «на глаз» прямая, которая проходит по точкам, содержащим экспериментальный разброс, оказывается удивительно близкой к оптимальной, построенной с помощью методов математической статистики. Собственно, возможности статистики применительно к линейной зависимости определяют второе обстоятельство ее частого использования. Дело в том, что параметры линейной зависимости и их погрешности могут быть надежно оценены на основе метода, называемого методом наименьших квадратов. Ниже, помимо этого метода, рассмотрены варианты графической и простой статистической (метод парных точек) обработки линейной зависимости.
Линеаризация зависимостей
В силу указанных выше причин экспериментатор должен стремиться свести нелинейную зависимость двух величин друг от друга к линейной, а затем обработать ее наилучшим образом. Как правило, многие функционально сложные зависимости допускают преобразование координат, приводящее к искомому результату. Примеры подобных преобразований помещены в табл.1.1. В ней использованы следующие обозначения: v, u – преобразуемые функция и ее аргумент, y, x – новые функция и аргумент (после преобразования). По завершении обработки данных, то есть после определения средних значений и погрешностей параметров преобразованной зависимости, полученные результаты используют для пересчета к первоначальным параметрам. Пересчет выполняют по правилам, используемым для обработки результатов косвенных измерений.
Таблица 1.1.Примеры линеаризации зависимостей.
№ п/п | Вид нелинейной зависимости | Получаемая линейная зависимость | y | x | a | b |
v=k uz | ln v=z ln u + ln k | ln v | ln u | z | ln k | |
v=k ezu | ln v=z u + ln k | ln v | u | z | ln k | |
v= k ez/u | ln v=z u-1 + ln k | ln v | u-1 | z | ln k | |
v=u/(k+zu) | v-1=k u-1 + z | v-1 | u-1 | k | z |
Метод парных точек
В некоторых физических экспериментах основной интерес представляет только угловой коэффициент (параметр а) зависимости (1.1). Для оценивания значения коэффициента и определения его погрешности удобен метод парных точек. Он заключается в следующем.
После нанесения на график экспериментальных точек из них выбирают пары, в которых точки отстоят друг от друга примерно на одинаковое расстояние. Желательно, чтобы это расстояние было максимально возможным. Через каждую пару проводят прямую, а затем согласно (1.2) вычисляют угловые коэффициенты всех прямых. Из получившегося набора коэффициентов по правилам обработки данных прямых измерений определяют среднее значение коэффициента и его погрешность. Их принимают за результат измерения искомого параметра зависимости (1.1).
Следует отметить, что аналогичным образом в зависимости (1.1) можно найти свободный член (параметр b). По парам точек согласно (1.2) вычисляют свободные члены всех полученных прямых. Затем указанным выше способом рассчитывают среднее значение и погрешность.
Рассмотрим пример конкретной обработки данных эксперимента по измерению сопротивления R участка электрической цепи. Измеренные значения тока I и соответствующие им значения падения напряжения U приведены в табл.1.2.
Таблица 1.2. Падение напряжения в зависимости от силы тока.
№ п/п | I, mA | U,В |
13,2 | 11,07 | |
16,9 | 19,09 | |
25,3 | 28,94 | |
44,3 | 36,03 | |
46,1 | 46,88 | |
62,7 | 57,31 | |
70,0 | 67,59 | |
81,1 | 76,91 |
Теоретическое описание исследуемой зависимости дает закон Ома U = R*I, где сопротивление R является угловым коэффициентом линейной зависимости, проходящей через начало координат. Значит, для его определения можно воспользоваться методом парных точек. Нанесем экспериментальные точки на график (рис.1.3) и пронумеруем их по порядку от 1 до 8. Выберем пары точек 1-5, 2-6, 3-7, 4-8 и занесем их координаты в табл.1.3, которую используем для проведения необходимых вычислений.
Рис.1.3. Зависимость падения напряжения от силы тока в цепи.
Таблица 1.3.Обработка данных методом парных точек.
Пары точек | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
1-5 | 32,9 | 35,81 | 12,8 | ||
2-6 | 45,8 | 38,22 | -141 | 19,9 | |
3-7 | 44,7 | 38,65 | -110 | 12,1 | |
4-8 | 36,8 | 40,88 | 18,5 |
= 975 Ом,
= 63,3*103 Ом2
=
= 72,6 Ом.
Окончательный результат
R=(0,98±0,09)*103 Ом. Точность измерения сопротивления невелика, что свидетельствует о наличии значительных экспериментальных погрешностей.
Метод наименьших квадратов
Этот метод является одним из наиболее распространенных приемов статистической обработки экспериментальных данных, относящихся к различным функциональным зависимостям физических величин друг от друга. В том числе, он применим к линейной зависимости и позволяет получить достоверные оценки ее параметров a и b, а также оценить их погрешности. Рассмотрим статистическую модель эксперимента, в котором исследуют линейную зависимость. Пусть проведено n парных измерений величин x и y : xi, yi, где i = 1, ... , n. По экспериментальным данным необходимо найти оценки параметров a и b, а также оценки их дисперсий sa2 и sb2. О природе экспериментальных погрешностей сделаем следующие предположения.
1. Значения xi известны точно, т.е. без погрешностей.
Конечно, в реальном эксперименте такое предположение вряд ли выполнено. Скорее всего, погрешности Dxi распределены нормально и могут быть пересчитаны в погрешности Dyi . Это вызовет увеличение дисперсии s2 распределения величин yi, что должно учитываться в процессе обработки данных методом наименьших квадратов. Как показано ниже, так и произойдет, а значит, не будет ошибкой полагать xi известными точно.
2. Распределения величин yi взаимно независимы, имеют одну и ту же дисперсию s2 и отвечают нормальному закону. Распределения yi имеют средние значения , которые совпадают с точным значением функции axi+b. Это предположение иллюстрирует рис.1.4.
Рис.1.4. Иллюстрация модели метода наименьших квадратов.
Распределение плотности вероятности величины yi вокруг точного значения axi + b задает выражение:
.
Плотность вероятности реализации полученных экспериментальных данных L(y1, y2, ….., yn) , называемую функцией правдоподобия, определяют через произведение плотностей вероятностей распределений отдельных измерений, так как распределения yi независимы:
Натуральный логарифм этой функции:
.
Оценками a, b, s2 будет правильным считать значения, при которых L и lnL максимальны, т.е. реализуется наибольшая вероятность получения набора экспериментальных данных. Экстремум функции lnL находят дифференцированием:
,
,
.
После дифференцирования система уравнений относительно искомых параметров примет вид:
,
ns 2 = .
Два первых уравнения в (8.5) есть ни что иное, как условие минимума выражения ,
(8.6)
составленного из суммы квадратов отклонений экспериментальных данных от точной линейной зависимости, в связи с чем описываемый метод и получил название метода наименьших квадратов. Решив (8.5), находим
,
(8.7)
Согласно выводам математической статистики, для получения несмещенной относительно точного значения оценки дисперсии решение, найденное из (8.5), необходимо домножить на
(8.8)
Оценим теперь дисперсии параметров. Преобразуем выражение для a:
, где.
После преобразования видно, что a получается как линейная комбинация взаимно независимых величин yj , так как коэффициенты kj заданы точно – согласно пункту 1 предположений о статистике изучаемых величин. Следовательно, параметр a распределен нормально, а его дисперсия sa2 представляет собой линейную комбинацию дисперсий величин yj с коэффициентами kj2 – это свойство сложения нормальных распределений уже встречалось при рассмотрении погрешностей косвенных измерений.
Преобразуем выражение для b:
.
Параметр b также нормально распределен. Его дисперсия:
.
Из (8.9) выразим s2 и подставим в предыдущее выражение:
,
Иногда при обработке линейной зависимости необходимо найти координату точки пересечения графиком оси x:
с = –
Соответствующая дисперсия
sc2 = с2 .
Для практических расчетов методом наименьших квадратов удобно использовать видоизмененные выражения, получаемые при введении следующих величин:
,
,
,
,
В таком случае:
,
,
(8.11)
:
sa2 = , sb2 = sa2·
.
Выражения (8.11) удобны и для прямых расчетов на калькуляторе, и для программирования вычислений при использовании компьютера. Кстати, многие прикладные компьютерные программы содержат метод наименьших квадратов. Часто после введения экспериментальных точек они строят график зависимости и тут же автоматически обрабатывают ее для определения оценок параметров и их погрешностей.
В заключение этого раздела применим выражения метода наименьших квадратов (8.11) к обработке данных, содержащихся в табл.8.2.
Получим: =44,95·10-3
= 42,98
= 2440·10-3
=2,575·10-3
=2324
a=R=916
s2=15,1
sa2=3405
sa=sR=58
t(0,68; 7)=1,1 (см. раздел 9)
DR=58·1/1=64 Ом
R=(0,92±0,06)·103 Ом
При сравнении результата метода парных точек и результата метода наименьших квадратов можно сделать вывод об их достаточно хорошем совпадении. Конечно, речь идет только о сравнении в пределах погрешности результатов, которая у метода наименьших квадратов оценена в полтора раза меньше.
[1] Система СИ – это международная система единиц, современный вариант метрической системы. СИ является наиболее широко используемой системой единиц в мире, как в повседневной жизни, так и в науке и технике.