Погрешности прямых измерений

Рассмотрим ситуацию, наиболее типичную при выполнении физического эксперимента. Допустим, многократным прямым измерением получены n значений постоянной величины x :

x₁, x₂, ….., x_i,......, x_n . (3.1)

Все отдельные измерения выполнены одним методом с одинаковой степенью тщательности (их называют равноточными), но результаты имеют разброс, т.е. измеренные значения величины отличаются друг от друга. Хотя не исключено, что среди них могут оказаться и одинаковые. Набор данных (3.1) подлежит совместной обработке для определения окончательного результата многократного измерения и оценивания его погрешности.

Прежде всего должны быть выявлены промахи, а соответствующие им результаты отброшены. С этой целью бывает достаточно внимательно просмотреть таблицы результатов, обращая внимание на «неестественные» значения измеряемой величины, которые резко отличаются от других.

Следующим этапом обработки является выявление систематических погрешностей, которые вычисляют и учитывают в виде поправок к результатам.

Когда промахи и систематические погрешности устранены, в данных (3.1) остается учесть только случайные и приборные погрешности. Перейдем к изучению правил работы с ними.

Случайные погрешности

Случайные погрешности, как уже отмечено, проявляются в разбросе результатов отдельных измерений постоянной величины. Для определения разброса (и оценивания погрешности результата отдельного измерения), необходимо вычислить среднее квадратичное отклонение. С увеличением количества измерений n оценка значения величины s практически перестает зависеть от n, а это означает, что значение s известно точнее, а значит, в итоге уменьшается неточность при оценивании погрешности отдельного измерения.

Связь среднего квадратичного отклонения s( ) окончательного результата (другими словами, погрешности определения среднего значения) и среднего квадратичного отклонения s отдельного измерения задает соотношение

. (3.2)

Важным практическим выводом из (3.2), который относится к многократным измерениям, содержащим только случайные ошибки, является заключение о возможности уменьшить погрешность окончательного результата при увеличении количества n отдельных измерений. Однако также следует помнить, что повышение точности никогда не дается бесплатно. Так, чтобы узнать дополнительную цифру в , т.е. повысить точность в 10 раз, количество измерений необходимо увеличить в 100 раз!

Приборные погрешности

Возникновение приборных погрешностей обусловлено свойствами используемых измерительных приборов. Погрешность каждого конкретного прибора является систематической, но ее значение обычно неизвестно, а значит, ее невозможно исключить введением в результат измерения соответствующей поправки. В паспорте прибора принято указывать предел допустимой погрешности q, означающий максимально возможную погрешность при рекомендованных условиях работы прибора.

Для электроизмерительных стрелочных приборов принято указывать класс точности, записываемый в виде числа, например, 0,05 или 4,0. Это число дает максимально возможную погрешность прибора, выраженную в процентах от наибольшего значения величины, измеряемой в данном диапазоне работы прибора. Так, для вольтметра, работающего в диапазоне измерений 0 – 30 В, класс точности 1,0 определяет, что указанная погрешность при положении стрелки в любом месте шкалы не превышает

0,3 В. Соответственно, среднее квадратичное отклонение s _приб составляет 0,1 В.

Относительная погрешность результата, полученного с помощью указанного вольтметра, зависит от значения измеряемого напряжения, становясь недопустимо высокой для малых напряжений. При измерении напряжения 0,5 В погрешность составит 20% . Как следствие, такой прибор не годится для исследования процессов, в которых напряжение меняется на 0,1 – 0,5 В.

Обычно цена наименьшего деления шкалы стрелочного прибора согласована с погрешностью самого прибора. Если класс точности используемого прибора неизвестен, за погрешность s_приб всегда принимают половину цены его наименьшего деления. Понятно, что при считывании показаний со шкалы нецелесообразно стараться определить доли деления, так как результат измерения от этого не станет точнее.

Указанным образом необходимо работать с линейками и шкалами других приборов, в том числе с сеткой на экране осциллографа. Например, на экране осциллографа нанесена сетка с размерами клетки 10x10 или 5x5 мм, а для отсчета малых делений имеется дополнительная миллиметровая сетка. Погрешность отсчета по сетке составит не менее 0,5 мм. Если размеры наблюдаемых изображений порядка 5 – 10 мм, им соответствует погрешность 5-10% и осциллограф нельзя использовать для более точных измерений.

Предел допустимой погрешности цифрового измерительного прибора рассчитывают по паспортным данным, содержащим формулу для расчета погрешности именно данного прибора. При отсутствии паспорта за оценку погрешности s_приб принимают единицу наименьшего разряда цифрового индикатора. Так, при наблюдаемой на индикаторе частоте 161,2 кГц погрешность частотомера оценивают как 0,1 кГц.

Суммарная погрешность

Окончательный результат многократного измерения содержит в себе как случайную, так и приборную погрешности. Случайная погрешность уменьшается с увеличением количества отдельных измерений, а приборная погрешность не меняется, оставаясь в пределах ±q. При выполнении многократного измерения желательно получить столько отдельных измерений, сколько необходимо для выполнения соотношения

(Dx)_случ<< q

В таком случае погрешность окончательного результата будет целиком определена лишь приборной погрешностью. Однако чаще встречается ситуация, когда случайная и приборная погрешности близки по значению, а поэтому обе влияют на окончательный результат. Тогда их необходимо учитывать совместно и за суммарную погрешность принимают

. (3.3)

Поскольку случайную погрешность обычно оценивают с доверительной вероятностью 0,68 , а q - оценка максимальной погрешности прибора, то можно считать, что выражение (4.7) задает доверительный интервал также с вероятность не меньшей 0,68. При выполнении однократного измерения оценкой погрешности результата служит Dx = q/3, учитывающая только предельно допустимую приборную погрешность.

Встречаются ситуации, когда случайную и приборную погрешности удается сравнить без вычислений (Dx)_случ. Это возможно, если результаты отдельных измерений не выходят за пределы допустимой приборной погрешности:

(x_max- x_min) <=2q ,

где x_min, x_max - наибольшее и наименьшее значения измеряемой величины. Повышение точности многократного измерения в таком случае невозможно, а погрешностью окончательного результата будет q/3 .