Уравнение неразрывности движения потока

При обтекании тела частицы воздуха совершают сложное движение: поступательное, вращательное и деформационное (меняется форма и объем). С этим связаны типы обтекания: безвихревое (ламинарное) и вихревое (турбулентное) [20].

Уравнение неразрывности движения потока в математическом смысле представляет собой закон сохранения массы (основной закон природы) [20].

Это значит, что масса m в объеме W неизменна, то есть

, или: . (2.12)

Однако каждая составляющая ρ и W могут при этом изменяться:

. (2.13)

Последнее выражение и есть общее уравнение теории неразрывности движения потока жидкой среды (воздух, вода и т.п.). Частный случай общего уравнения – это установившееся движение, когда . Это относится и к несжимаемой жидкости.

Рассмотрим течение жидкости через отдельную струйку.

Рис. 2.4. Течение жидкости через струйку

Количество жидкости, поступающее в единицу времени в объем через торцевое сечение I площадью S₁ и равное ρ₁v₁S₁, будет таким же, как масса жидкости ρ₂v₂S₂, вытекающая через противоположное сечение II площадью S₂, то есть:

или (2.14)

Последнее уравнение представляет собой уравнение массового расхода жидкости (воздуха), секундный расход. Для контроля определим размерность уравнения массового расхода:

– размерность массы в технических единицах. Для несжимаемой жидкости v₁S₁ = v₂S₂, когда , а .

Рассмотренная гипотеза практически используется при обосновании характера обтекания тела в потоке, при обосновании формулы подъемной силы крыла, флюгарки ДАУ.

2.5. Подъемная сила. Теорема Николая Егоровича Жуковского [17, 18, 20, 21]

На рисунке 2.5 представлено крыло в потоке воздуха, расположенное к оси потока под углом атаки α. Здесь Y – подъемная сила, Q – лобовое сопротивление, которое в 20 – 25 раз меньше подъемной силы Y.

Рис. 2.5. Крыло в потоке воздуха

В 1906 году Н.Е. Жуковский для крыла бесконечного размаха доказал теорему о том, что на такое тело (при наличии циркуляции Г вокруг него) действует подъемная сила Y. Закон основан на применении закона количества движения к массам жидкости, обтекающего крыло.

Рис. 2.6. Геометрические характеристики крыла: bкорн – корневая хорда; bконц – концевая хорда; bСАХ – средняя аэродинамическая хорда

Н.Е. Жуковский рассматривал крыло бесконечного размаха, у которого отношения корневой хорды (b_корн) к концевой хорде (b_конц) равно бесконечности, то есть при b_конц ≈ 0 или: b_корн/ b_конц ≈ ∞ [17, 18, 20, 21].

Теорема Жуковского формулируется следующим образом: если поток, имеющий в бесконечности скорость v_∞ и плотность ρ_∞, обтекает цилиндрическое тело (крыло) и циркуляция скорости вокруг этого тела равна Г, то на тело со стороны жидкости будет действовать сила Y, перпендикулярная направлению скорости v_∞ и равная произведению циркуляции на плотность и скорость потока в бесконечности [17].

Математически теорема Жуковского может быть записана формулой:

, (2.15)

где l – длина части крыла бесконечного размаха, подъемную силу которой хотят определить.

Рис. 2.7. Геометрические параметры профиля крыла: 1 – средняя линия; 2 – хорда; 3 – кривизна абсолютная

Величина циркуляции была предложена Жуковским в виде

, (2.16)

где b – хорда профиля крыла, α – угол атаки крыла в радианах, – относительная кривизна профиля крыла (т.е. отношение кривизны к хорде).

Подставив последнее выражение (2.16) в предыдущее (2.15) получим:

. (2.17)

Положив bl = S (площадь крыла), в радианах, с учетом того, что суммарный угол обычно не превышает 15˚ ≈ 0,26 радиана, будем иметь:

. (2.18)

Как показала дальнейшая практика определения подъемной силы, выведенная теоретическая зависимость не полностью отражает действительность. Связано это с тем, что при выводе не был учтен пограничный слой вокруг крыла. В начале зарождения теории полета практика обгоняла теорию.

Как уже было сказано, для продувок аэродинамических тел в авиации служат аэродинамические трубы, в которых определяются реальные характеристики, в том числе и подъемные силы и силы лобового сопротивления конкретных тел.

Рис. 2.8. График зависимости безразмерного коэффициента подъемной силы Су от угла атаки α: 1 – несимметричное тело; 2 – симметричное тело

На рисунке 2.8 приведена зависимость коэффициента подъемной силы С_у от угла атаки. Практически подъемная сила определяется по формуле

. (2.19)

Коэффициент и зависит от многих конструктивных параметров обтекаемого тела (крыла):

, (2.20)

где λ – удлинение крыла, λ = l²/S; l – длина крыла; S – площадь крыла; η – сужение крыла, η = b_корн / b_конц, b_корн – корневая хорда, b_конц – концевая хорда крыла; χ – стреловидность крыла; М – число Маха; – относительная кривизна крыла.

Для крыла с большим удлинением (λ > 2) и сужением (крыло бесконечного удлинения) все перечисленные параметры имеют существенное влияние на величину коэффициента . Однако для крыла с малым удлинением коэффициент в основном зависит от удлинения. При этом малым удлинением считается величина .

У крыльев бесконечного размаха по опытным данным коэффициент 1/град ≈ 5,7 1/радиан. Для крыльев конечного размаха этот коэффициент меньше. Зная значение можно теоретически определить значение коэффициента подъемной силы для любого удлинения:

, (2.21)

где τ – поправочный коэффициент, равный τ ≈ 0,18.

Для точного определения значения всех коэффициентов крыло продувается в аэродинамической трубе.

Для крыла малого удлинения типа флюгарки коэффициент имеет следующую зависимость при М < 1:

. (2.22)

В таблице 2.3 со звездочкой приведены практические значения , а без звездочки по формуле (2.22).

Таблица 2.3

Λ	0,5	1,0	1,5	2,0	3,0
, рад	0,9* 0,8	1,6* 1,57	2,1* 2,35	2,6* 3,14	3,2*

Формула пересчета (2.21) мало пригодна для крыльев с малым удлинением, но хорошо приемлема для крыльев с большим удлинением (λ > 2). У крыльев с малым удлинением коэффициент значительно меньше коэффициента крыла с большим удлинением.

Рис. 2.9. Сравнение кривых Су (α) пластин больших и малых удлинений: 1 – λ > 2; 2 – λ < 2

Теорема Жуковского явилась основой теории полета и аэродинамики крыла. Она отвечает на вопрос: "Почему самолет летает?" Теорема Жуковского вместе с гипотезой о неразрывности движения потока объясняет принцип образования подъемной силы крыла самолета, особенности восприятия статического давления в ПВД и др.

На рисунке 2.10 показано крыло в потоке воздуха. Показано, что под крылом давление больше по сравнению с давлением над профилем крыла. Струи воздуха чтобы соединится в одной точке (разрыв не допустим) после прохождения крыла должны двигаться с разными скоростями, так как их пути следования разные. Верхний слой движется с большей скоростью, а значит давление над крылом меньше давления под крылом. Разность давления, умноженная на площадь крыла, создает подъемную силу.

Рис. 2.10. Характер обтекания крыла в потоке воздуха, установленного под углом атаки α к потоку: - - - - – давление над крылом; + + + + – давление под крылом

Рис. 2.11. Гофрированное тело в потоке воздуха

Рис. 2.12. Распределение избыточного давления по поверхности гофрированного тела в потоке воздуха

На переднем участке, на гладком цилиндре используется принцип Пито, когда в лобовом отверстии воспринимается полное давление Р_п, а на гладких параллельных потоку стенках прибора с отверстиями воспринимается статическое давление Р_ст.

Эффект ребристой поверхности используется в авиаприборостроении для компенсации погрешностей восприятия статического давления при помощи ПВД.

Например, если в месте установления ПВД на самолете погрешность имеет плюсовой знак, то для компенсации ее нужно взять статическое давление от камеры А с отрицательной погрешностью.

Это же явление используется для повышения чувствительности измерителя приборной скорости. И в этом случае статическое давление нужно взять в камере А. Тогда динамическое давление сформируется следующим образом:

(2.23)

Рис. 2.13. График динамического давления в зависимости от скорости: 1 – кривая до компенсации; 2 – кривая после компенсации с помощью гофрированного тела

На графике 2.13 видно, что новая кривая 2 круче стандартной кривой 1.

Идеально шар в потоке не имеет подъемной силы, если он не вращается. Стоит его закрутить, как появляется подъемная сила.

Рис. 2.14. Шар в потоке воздуха

При вращении ω шар будет иметь подъемную силу, так как Р₁ > Р₂. Это объясняется тем, что в верхней точке движение потока ускоряется, а в нижней точке замедляется.

Приведенные здесь положения не действуют в свободномолекулярном потоке. Там применима теория Ньютона, ударная теория. Из этой теории следует, что образуется только сила лобового сопротивления, подъемная сила отсутствует, так как сплошности нет, гипотеза о неразрывности не действует, циркуляции вокруг тела нет. Но практически в отличие от теории Ньютона небольшая подъемная сила появляется. Аэродинамическое качество К = С_y/С_x в свободномолекулярном потоке при диффузионном отражении молекул мало. Так, при М = 1 К = 0,5, а при М = 20 К = 0,1. Это подтверждает факт того, что эффективность несущей поверхности летательного аппарата в разреженной атмосфере мала.

Основные выводы о природе образования подъемной силы

Подъемная сила независимо от направления набегающего потока всегда направлена перпендикулярно этому направлению и лежит в плоскости симметрии самолета.

Подъемная сила может быть положительной, если угол атаки положителен, и отрицательной при отрицательном угле атаки.

Симметричные профили при нулевом угле атаки не создают подъемной силы.

Формула подъемной силы является полуэмпирической и не дает возможности найти теоретически наиболее выгодные формы профиля и крыла в плане. На эти вопросы отвечает теория крыла Н.Е. Жуковского.

При отсутствии циркуляции нет разности давлений и скоростей на верхней и нижней поверхностях обтекаемого тела, а, следовательно, нет и подъемной силы. Это значит, что при наличии подъемной силы в потоке должны существовать вихри.

Циркуляция вокруг несимметричных тел в потоке возникает самостоятельно, без помощи его вращения за счет разгонного вихря [17].

Рис. 2.15. Бесциркуляционное обтекание крыла.

При обтекании, изображенном на рис. 2.15, подъемная сила на крыле не образуется, так как давления над крылом и под крылом равны. При этом предполагается, что струйки движутся с одинаковой скоростью по контуру крыла как над крылом, так и под крылом. Задняя критическая точка К₂ при этом должна оказаться на верхней стороне профиля. Но такое обтекание невозможно. При реальном обтекании точка К₂ немедленно окажется у задней кромки крыла. Появляется вихрь вокруг крыла, и обтекание будет напоминать картину, изображенную на рис 2.10.

Кармановские колебания

Все тела в зависимости от их формы и положения относительно потока обтекаются по-разному. В общем случае зависимость лобового сопротивления для самолета или его крыла в потоке под углом α известна:

.

Известно также, что сопротивление всякого тела в потоке есть сумма сопротивлений от нормальных напряжений (давлений на стенки) и от касательных напряжений (напряжений трения потока о стенки), распределенные по поверхности тела [20]:

, (2.24)

или в безразмерных коэффициентах

. (2.25)

Графически это можно представить так:

Рис. 2.16. Зависимость суммарного коэффициента Cx от угла атаки α

Коэффициент C_{x давл} зависит от формы тела и может быть сведен либо до минимума, либо наоборот увеличен до максимума. Второе слагаемое C_{x тр} слабо зависит от формы тела и определяется в основном состоянием поверхности тела.

Критерием удобообтекаемости может быть отношение C_{x давл} / C_x . Чем меньше отношение, тем более удобообтекаемым является тело. Это значит, что у удобообтекаемого тела лобовое сопротивление возникает в основном от трения среды о поверхность тела (рис. 2.17).

На рисунке 2.17 пластинка является удобообтекаемым телом. Все лобовое сопротивление ее будет определяться трением воздуха о ее поверхность, а нормальные напряжения взаимно уничтожаются. Но поперечно установленная к потоку та же пластинка становится неудобообтекаемым телом (рис. 2.18). В этом случае ее лобовое сопротивление обусловлено давлением, распределенным по ее поверхности.

Рис. 2.17. Тонкая пластинка в продольно обтекаемом потоке	Рис. 2.18. Та же пластинка в поперечно обтекаемом потоке при

На рисунке 2.19 показана зависимость C_x от числа Re для удобообтекаемого тела. Зона I – зона ламинарного течения потока, II – смешанная зона (ламинарная и турбулентная), III – зона турбулентного течения. Точка А – критическая точка при Re = 9·10⁴ – 1,1·10⁵.

Рис. 2.19. Зависимость коэффициента C_x от числа Re для удобообтекаемого тела

На рисунке 2.20 показано неудобообтекаемое тело в потоке в виде шара. Зона I – при Re < 10 – зона без пограничного слоя, среда вязкая; II – 10 < Re <10³ – область, где появляется пограничный слой, начало вихрей; III – 10³ < Re < 10⁵ – область, где образуются вихри, давление за шаром резко возрастает (скорость падает).

Рис. 2.20. Зависимость коэффициента C_x от числа Re

для неудобообтекаемого тела в виде шара. Шкала Re – логарифмическая

Для целей измерительных приборов (расходомеры, счетчики) используют свойства неудобообтекаемого тела в потоке воздуха, жидкости. При этом выбирают наиболее простое с технологической точки зрения тело – цилиндр, призму, дельта-тело и др. (возможны комбинации тел) [23].

Рис. 2.21. Образование кармановской дорожки

Образование вихрей в одной дорожке мешает их образованию в противоположной стороне. В связи с этим вихри образуются поочередно. Так за миделевым сечением образуются кармановские дорожки шириной h, с отношением постоянным для конкретного тела l/h. Для шара это отношение равно 0,281.

Частота срыва вихрей согласно критерию Струхала равна

, (2.26)

где v – скорость в м/с, d – характерный размер в метрах (диаметр шара, хорда крыла), С – число Струхала.

Для определения расхода жидкости или газа предлагается зависимость:

, (2.27)

где Q – расход, S – площадь наименьшего сечения потока вокруг обтекаемого тела. Но для этого необходимо постоянство коэффициента Струхала как можно при большем Re. Для цилиндра это число может быть 10³ < Re < 10⁵.

Кармановские колебания могут использоваться для измерения скорости воздушного потока в диапазоне Re = 300 - 2·10⁵

. (2.28)

Кармановские колебания образуются, например, в потоке за флюгаркой в датчике аэродинамических углов и носят вредный характер. Под действием вихрей флюгарка колеблется, вносит дополнительную погрешность и уменьшает срок службы датчика. При необходимости можно использовать частоту колебаний флюгарки для коррекции метрологических характеристик ДАУ.

Рис. 2.22. Зависимость числа Рейнольдса для течения около круглого цилиндра

Рис. 2.23. Генераторы вихрей

Рис. 2.24. Схемы измерения частоты срыва вихрей