Инженерная геодезия и ее задачи при изысканиях

Атрошко, Е.К.

А92 Курс инженерной геодезии :учеб.-метод. пособие для студентов строительных специальностей БелГУТа. В 2 ч. Ч. I / Е. К. Атрошко, М. М. Иванова, В. Б. Марендич ; М-во образования Респ. Беларусь, Белорус. гос. ун-т трансп. – Гомель : БелГУТ, 2010. – 140 с.

ISBN 978-985-468-757-5 (ч. I)

Рассмотрены основные сведения по геодезии, топографические карты и планы, теория погрешностей измерений. Особое внимание уделено геодезическим приборам и измерениям, теодолитным съемкам местности.

Предназначено для студентов I курса строительных специальностей БелГУТа.

УДК 528.48 (075.8)

ББК 26.12

ISBN 978-985-468-757-5 (ч. I)© Атрошко Е. К., Иванова М. М.,

ISBN 978-985-468-756-8 Марендич В. Б., 2010

© Оформление. УО «БелГУТ», 2010

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящее время в связи со значительным увеличением объемов строительства промышленных, гражданских и агропромышленных комплексов, созданием современных высотных и уникальных сооружений особую роль приобретают инженерно-геодезические работы, которые являются составной частью технологического процесса строительства. Поэтому хорошая геодезическая подготовка студентов строительных специальностей позволит повысить качество строительно-монтажных работ.

Инженер-строитель должен знать основные виды геодезических измерений, уметь работать на современных оптических и электронных геодезических приборах, выполнять топографические и исполнительные съемки и использовать их при изысканиях и строительстве инженерных сооружений.

Учебно-методическое пособие «Курс инженерной геодезии» разработано в соответствии с типовой и рабочей программами дисциплины «Инженерная геодезия» и предназначено для студентов строительных специальностей БелГУТа как дневной, так и заочной форм обучения, а также может быть использовано студентами других специальностей изучающих геодезию.

Пособие состоит из 2 частей. В первой части рассмотрены общие сведения по геодезии, которые включают понятие о форме и размерах Земли, системы координат и ориентирование направлений, топографические карты и планы, основы теории погрешностей, а также геодезические приборы, включая самые современные и методику измерений углов, расстояний, превышений и высот. Приведен раздел государственные опорные геодезические сети, их классификация, методы и схемы построения с использованием элементов спутниковых технологий. В заключение первой части рассмотрена глава «Теодолитная съемка местности», в которой приведены полевые и камеральные работы при проложении теодолитных ходов и построение планов теодолитной съемки.

Во второй части пособия изложены топографические съемки местности: тахеометрическая, мензульная, нивелирование поверхности и фототопографическая. Особое внимание уделено вопросам инженерно-геодезических работ при изысканиях, проектировании и строительстве дорог и других транспортных и промышленных сооружений.

Авторы выражают благодарность рецензенту заведующему кафедрой «Строительство и эксплуатация дорог» кандидату технических наук П. В. Ковтуну и ассистенту И. П. Драловой за помощь в подготовке и оформлении учебно-методического пособия.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ГЕОДЕЗИИ

1.1 Предмет и содержание геодезии

Геодезия– это наука об измерениях на земной поверхности. В переводе с греческого языка слово „геодезия“ означает землеразделение („гео“ – земля, „дезио“ – делить).Такое название вошло в науку, потому что первоначально геодезия применялась при размежевании (делении) участков обрабатываемой земли. Этот термин сохранился и до наших дней, несмотря на то, что современная геодезия использует результаты измерений при изучении формы и размеров Земли, для составления карт, планов и профилей земной поверхности, а также при изысканиях, строительстве и эксплуатации инженерных сооружений.

В связи с этим современная геодезия делится на ряд самостоятельных н а у ч н ы х д и с ц и п л и н:

- высшую геодезию, занимающуюся изучением формы и размеров Земли, ее внешнего гравитационного поля и определением положения отдельных точек на земной поверхности, составляющих государственную геодезическую сеть;

- картографию, изучающую методы составления и издания карт для территории земной поверхности свыше 20 километров с учетом кривизны Земли;

- топографию, изучающую способы составления топографических планов для небольших участков земной поверхности (менее 20 километров) без учета кривизны Земли;

- фотограмметрию, изучающую способы составления карт и планов на основе фотоснимков местности;

- космическую геодезию, определяющую местоположение искусственных спутников Земли для изображения ее поверхности с помощью глобальных навигационных систем;

- морскую (подводную) геодезию, изучающую морское дно и береговую линию морей, океанов и водоемов;

- инженерную (прикладную) геодезию, которая изучает геодезические работы при изысканиях, строительстве и эксплуатации сооружений, а также монтаже технологического оборудования и наблюдениями за деформациями инженерных объектов. Специальный вид инженерно-геодезических работ под землей (в метро, тоннелях, шахтах и т. д.) называется маркшейдерией.

Ориентирование линий

При изображении участков местности на бумаге необходимо всегда указывать их положение относительно сторон света (направлений север – юг, восток – запад). Определение направления линии относительно сторон света называют ориентированием линии. Исходными направлениями для ориентирования линий в геодезии служат: 1 – северное направление истинного (географического) меридиана (И.М.), 2 – северное направление магнитного меридиана (М.М.) (меридиана проходящего через ось магнитной стрелки компаса), 3 – северное направление осевого меридиана (О.М.), или направление, параллельное ему (рисунок 2.8).

Ориентирование линий местности относительно исходных направлений осуществляется с помощью следующих ориентирных углов: истинного азимута (А_И), магнитного азимута (А_М), дирекционного угла (α).

И с т и н н ы м а з и м у т о м называют угол между северным направлением истинного меридиана и направлением заданной линии АВ местности, отсчитываемый по ходу часовой стрелки. Истинный азимут в зависимости от направления линии АВ может изменяться от 0 до 360^о.

М а г н и т н ы м а з и м у т о м называют угол между северным направлением магнитного меридиана и заданной линией АВ местности, отсчитываемый по ходу часовой стрелки от 0 до 360^о.

Д и р е к ц и о н н ы м у г л о м называется угол между северным направлением осевого меридиана и заданной линией АВ местности, отсчитываемый по ходу часовой стрелки от 0 до 360^о.

Из рисунка 2.8 видно, что

А_И = α + γ; (2.1)

А_И = А_М + δ. (2.2)

Приравняв (2.1) и (2.2), получим:

α = А_М + δ – γ; (2.3)

А_М = α + γ – δ. (2.4)

Формулы (2.1) – (2.4) определяют зависимость между истинным азимутом, дирекционным углом и магнитным азимутом данной линии АВ местности. В этих формулах γ – сближение меридианов. Сближением меридианов называется угол между направлением географического меридиана и направлением, параллельным осевому меридиану в данной точке А земной поверхности. Если точка А расположена на осевом меридиане или на экваторе, то γ = 0. В общем случае

γ = ΔL· sin В, (2.5)

где ΔL – разность долгот географического меридиана точки А и осевого ме-

ридиана зоны;

В – широта точки А.

Сближение меридианов отсчитывается всегда от истинного меридиана к осевому и может быть восточным, если осевой меридиан отклоняется к востоку от истинного (см. рисунок 2.8), или западным, если осевой меридиан отклоняется к западу от истинного. Восточному сближению меридианов приписывают знак плюс, а западному – минус. Как видно из формулы (2.5), наибольшее значение сближение меридианов достигает на полюсах (В = ±90^о), где для шестиградусных зон в проекции Гаусса – Крюгера γ = ±3^о.

Угол δ в формулах (2.1) – (2.4) называют склонением магнитной стрелки и определяется как угол между направлениями географического и магнитного меридиана в данной точке А поверхности Земли. Магнитное склонение отсчитывают от истинного меридиана к магнитному. Восточному склонению приписывают знак плюс, а западному – минус. Магнитное склонение зависит как от места на поверхности Земли, так и от времени, и имеет вековые, годичные и суточные периодические изменения. Суточные изменения могут достигать 15'. Сведения о магнитном склонении можно получить на метеостанциях или выбрать из схемы, приведенной под южной рамкой топографической карты.

r = α – 1800

r = 1800 – α

r = 3600 – α

r=α

На практике иногда для ориентирования линий на местности вместо азимутов и дирекционных углов пользуются румбами. Р у м б о м л и н и и называют острый угол между ближайшим концом меридиана и данной линией.

Румбы отсчитывают как от северного, так и от южного концов меридиана по ходу или против хода часовой стрелки и изменяются от 0 до 90^о. Обозначение румба начинают с указания четверти (рисунок 2.9): I четверть – СВ (северо-восток); II – ЮВ (юго-восток); III – ЮЗ (юго-запад); IV – СЗ (северо-запад). Затем записывают числовое значение угла. Например, r_АВ = СВ:35^о20'.

В зависимости от исходного меридиана румбы могут быть истинными, магнитными и осевыми. На рисунке 2.9 показана зависимость между дирекционными углами и осевыми румбами по четвертям. Для перехода от дирекционных углов к румбу и обратно можно пользоваться таблицей 2.3.

Таблица 2.3 – Связь между дирекционными углами и румбами

Номер четверти	Величина дирекционного угла, град	Название румба	Определение румба по дирекционному углу	Определение дирекционного угла по румбу
I II III IV	0–90 90–180 180–270 270–360о	СВ ЮВ ЮЗ СЗ	r = α r = 180о – α r = α – 180о r = 360о – α	α = r α = 180о – r α = 180о + r α = 360о – r

Прямые и обратные дирекционные углы и румбы. Для каждой линии местности различают прямое и обратное направление. Например, для линии АВ (рисунок 2.10, а) направление от А к В считается прямым, а направление от В к А – обратным, и наоборот.

Из рисунка 2.10, а видно, что дирекционные углы прямого α_АВ и обратного α_ВА направлений связаны соотношениями α_ВА = α_АВ + 180^о, т. е. прямой и обратный дирекционные углы отличаются друг от друга на 180^о. В общем виде можно записать, что

α_обр = α_пр ± 180^о. (2.6)

Из рисунка 2.10, а следует также, что прямой и обратный осевые румбы данной линии равны между собой, но противоположны по названию.

Зная дирекционные углы двух линий, можно определить угол, составленный этими линиями. Например, угол β между линиями АВ и AD (см. рисунок 2.10, б) определяется по формуле

β = α_АD – α_АB, (2.7)

т. е. горизонтальный угол между линиями равен разности их дирекционных углов. Из формулы (2.7) видно, что

α_АВ = α_AD – β; α_AD = α_АВ + β, (2.8)

т.е. дирекционный угол линии равен дирекционному углу другой линии плюс или минус горизонтальный угол между этими линиями.

Приборы для ориентирования на местности. Наиболее простым способом ориентирования на местности является определение магнитного азимута линии с помощью буссоли. Б у с с о л ь ю называется прибор для измерения магнитных азимутов. Буссоли могут применяться как самостоятельные инструменты или входить в комплект к другим геодезическим приборам, например к теодолитам (ориентир-буссоли). На рисунке 2.11 изображена ручная буссоль, которая представляет собой круглую коробку с градусным кольцом и магнитной стрелкой, вращающейся в центре кольца. Деления на кольце буссоли нанесены через 1^о. Счет делений идет от 0 до 360^о против хода часовой стрелки. Ручная полевая буссоль, применяемая как самостоятельный инструмент, снабжена глазным и предметным диоптрами. Глазной диоптр имеет узкую щель, а предметный диоптр состоит из прорези, посередине которой натянута нить. Для определения азимута линии визируют через щель глазного и нить предметного диоптров вдоль заданной линии, а по кольцу буссоли отсчитывают угол между северным концом магнитной стрелки и заданным направлением линии, который и является магнитным азимутом.

При работе с буссолью необходимо принять меры к тому, чтобы вблизи не находились железные и стальные предметы. Есть места, называемые магнитными аномалиями, где пользоваться буссолью вообще нельзя (например, Курская магнитная аномалия). Исходя из указанных причин, ориентирование линии при помощи буссоли производится только в отдельных случаях при съемке небольших участков земной поверхности.

Ориентир-буссоль представляет собой прямоугольную коробку с магнитной стрелкой, указывающей направление север-юг. Деления на ориентир-буссоли не нанесены. Ориентир-буссоли используют как принадлежность для измерения магнитных азимутов теодолитом или для ориентирования планшета при мензульной съемке. Определение магнитных азимутов с помощью ориентир-буссоли будет рассмотрено при изучении соответствующих приборов.

ТОПОГРАФИЧЕСКИЕ ПЛАНЫ И КАРТЫ

Влияние кривизны Земли

По отметкам точек

Рельефом называют совокупность неровностей земной поверхности. Знание рельефа местности необходимо при проектировании и строительстве железных и автомобильных дорог, осушительных и оросительных систем, промышленных предприятий и т. д. Существует несколько способов изображения рельефа на топографических картах и планах. Наиболее старый способ – это изображение рельефа ш т р и х а м и, наносимым на карту по особой шкале. Рельеф местности может быть также изображен п о д п и - с я м и отметок ряда точек или о т м ы в к о й к р а с к а м и различного тона. Однако наилучшим способом оказалось изображать рельеф г о р и з о н т а - л я м и в сочетании с некоторыми условными знаками и подписями отметок характерных точек. Горизонталь – это линия, соединяющая точки земной поверхности с одинаковыми высотами.

Чтобы правильно изобразить рельеф, необходимо знать его основные формы. Существует п я т ь о с н о в н ы х ф о р м рельефа (рисунок 3.5):

- возвышенность (рисунок 3.5, а);

- котловина (рисунок 3.5, б);

- хребет (рисунок 3.5, в);

- лощина (рисунок 3.5, г);

- седловина (рисунок 3.5, д).

На рисунке 3.5 эти формы рельефа показаны в разрезе. Рассмотрим сущность изображения рельефа горизонталями. На рисунке 3.5, а показана возвышенность (холм, гора), наивысшую точку которой называют вершиной, низ – подошвой, а боковые поверхности – скатами. Для изображения возвышенности горизонталями представим себе, что эту возвышенность пересекают ряд равноотстоящих друг от друга плоскостей, параллельных основной уровенной поверхности. Линии пересечения этими плоскостями земной поверхности и будут являться горизонталями. Спроектировав их отвесными линиями на плоскость, получим на ней изображение возвышенности.

Для наглядности некоторые горизонтали подписывают, кроме того у них ставят черточки-бергштрихи, показывающие направление ската местности.

Расстояние между двумя соседними секущими плоскостями называют высотой сечения рельефа h. На картах и планах высота сечения рельефа характеризуется разностью высот двух смежных горизонталей. Например, на рисунке 3.5, а высота сечения рельефа h = 5 м.

Расстояние между горизонталями на плане или карте называется заложением. На рисунке 3.5, а заложение d = АС. Зависимость между высотой сечения рельефа h, заложением d, углом наклона υ, уклоном i и линии местности АВ можно получить из треугольника АВС (рисунок 3.5, а):

i = h / d = tg υ. (3.6)

Уклон и угол наклона линии местности являются основными характеристиками крутизны скатов. Чем больше угол наклона, тем круче скат местности. Из формулы (3.6) следует, что чем меньше заложение d или чем чаще горизонтали на плане, тем скат местности круче.

Изображение горизонталями котловины, лощины, хребта и седловины показано на рисунке 3.5. Котловина (впадина) – замкнутое углубление поверхности (см. рисунок 3.5, б). Самую низкую часть впадины называют дном, боковые поверхности – скатами, а линию слияния с окружающей местностью – бровкой.

а)	б)
в)	г)
д)

Рисунок 3.5 – Основные формы рельефа

Хребет – вытянутая в одном направлении возвышенность с двумя скатами (см. рисунок 3.5, в). Линию встречи скатов в верхней части называют водоразделом (водораздельной линией).

Лощина – вытянутое в одном направлении понижение с двумя скатами (рисунок 3.5 г). Линию встречи скатов в нижней их части называют водосливом или тальвегом (водосливной линией).

Седловина – понижение между двумя возвышенностями (см. рисунок 3.5 д). Наиболее низкую точку между возвышенностями называют перевалом.

Бергштрихи на картах и планах обычно показывают по водораздельным и водосливным линиям. Подписи на горизонталях делают так, чтобы основание числа показывало направление ската. Горизонтали вычерчивают коричневым цветом. Каждую десятую или пятую из них вычерчивают утолщенной линией.

Из сущности горизонталей вытекают их свойства:

- горизонталь – это замкнутая кривая линия, все точки на которой имеют одинаковую высоту, кратную высоте сечения рельефа;

- горизонтали на плане не могут раздваиваться и обрываться; если горизонталь не замыкается в пределах плана, она замыкается за его пределом;

- горизонтали не должны пересекаться между собой, так как они получаются пересечением земной поверхности плоскостями, лежащими на разных высотах;

- чем чаще горизонтали на плане, тем уклон местности больше, или чем меньше заложение, тем скат круче;

- водораздельные и водосливные линии и направления максимального уклона горизонтали пересекают под прямым углом.

Высота сечения рельефа устанавливается в зависимости от масштаба плана и характера рельефа местности так, чтобы горизонтали не сливались между собой. В Республике Беларусь приняты следующие высоты сечения рельефа при масштабах съемки:

1:500 – h = 0,25; 0,5 м; 1:1000 – h = 0,25; 0,5; 1 м; 1:2000 – h = 0,5; 1; 2 м;

1:5000 – h = 0,5; 1; 2; 5 м; 1:10000 – h = 1; 2,5; 5 м.

Для более полного изображения и удобства чтения рельефа на картах и планах подписывают отметки характерных точек рельефа (вершин холмов, дна котловин, перевалов и т. д.). Например, на рисунке 3.5, б подписана отметка дна котловины 98,7 м.

Способы построения горизонталей по отметкам точек.Для проведения горизонталей на плане нужно нанести характерные точки, снятые на местности, и выписать их высоты. Те точки, между которыми земная поверхность не имеет переломов, т. е. имеет постоянный уклон, соединить линиями. Далее на каждой линии интерполированием находят точки пересечения ее горизонталями и отмечают высоты этих горизонталей. Соединив затем плавными кривыми линиями точки с одинаковыми высотами, получают изображение рельефа местности на плане. Таким образом, задача построения горизонталей на плане в основном сводится к умению находить проекции точек пересечения горизонталями линий, отметки концов которых известны, при этом высота сечения рельефа должна быть уже установлена. Эта задача называется и н т е р п о л и р о в а н и е м горизонталей, т. е. нахождением промежуточных значений высот горизонталей по отметкам точек. Интерполирование можно производить аналитическим или графическим способом.

Аналитический способ. По известным высотам точек А и В и расстоянию d между ними (рисунок 3.6, а) необходимо найти величины расстояний d₁ и d₂ от точки А до точек М₀ и N₀ c отметками Н_м и H_N, равными отметкам горизонталей.

а)

б)

Рисунок 3.6 – Аналитический способ интерполирования

Из подобия треугольников АВВ_О, АММ_О и ANN_O находим:

d₁ = dh₁ / h; d₂ = dh₂ / h,

где h = H_B – H_A; h₁ = H_M – H_A; h₂ = H_N – H_A.

На плане откладывают отрезки d₁ и d₂ и получают точки M_O и N_O, у которых подписывают их отметки. Следует отметить, что интерполирование горизонталей проводят только по линиям с равномерным скатом. На рисунке 3.6, б показан случай неправильной интерполяции между точками А и С с неравномерным скатом местности. Как видно из рисунка, вместо действительного положения точки В будет получена точка В^' и соответственно вместо Н_В будет получена неверная высота Н_В^'.

Графический способ. Интерполирование этим способом выполняют с помощью миллиметровой или прозрачной бумаги. При наличии миллиметровой бумаги ее прикладывают к линии плана АВ. По отметкам концов АВ строят профиль этой линии. Проектируя затем на линию плана точки пересечения линии профиля с линиями миллиметровой бумаги, принятыми за секущие плоскости, получают искомые точки М и N. При наличии прозрачной бумаги (восковки, кальки), на ней предварительно наносят ряд равноотстоящих друг от друга параллельных линий, которым придают отметки секущих плоскостей. Восковку накладывают на план так, чтобы конечные точки линии плана заняли положение, соответствующее их отметкам между линиями восковки (рисунок 3.7). Далее точки пересечения линии плана с линиями восковки перекалывают на план. Это и будут искомые точки на плане.

3.7 Решение инженерных задач по планам и картам

Современные топографические карты и планы дают богатый и разносторонний материал о той местности, которая на них изображена условными знаками. Зная условные знаки, при изучении карты можно получить необходимые данные о населенных пунктах, гидрографии, растительности, дорожной сети, рельефе и других объектах. Кроме того, при помощи карты можно решать ряд инженерных задач: определять географические и прямоугольные координаты точек, измерять дирекционные углы и азимуты направлений, определять высоты точек, уклоны заданных линий, водосборные площади бассейнов, строить профили земной поверхности, производить трассирование и т. д.

Рассмотрим решение этих задач более подробно.

1 Прямоугольные координаты точек на карте определяют от линии координатной (километровой) сетки, абсциссы и ординаты которых подписываются в общегосударственной системе координат.

2 На картах подписываются также широты и долготы точек пересечения параллелей и меридианов, ограничивающих данный лист. Кроме того, на обрамляющих карту рамках вычерчиваются одноминутные деления широты и долготы. Соединяя точки одноименных делений северной и южной сторон рамок, а также западной и восточной, получим на карте сетку меридианов и параллелей, пользуясь которой, можно определить широту и долготу любой точки карты.

3 Дирекционный угол или азимут линии можно измерить транспортиром непосредственно на карте, как угол между направлением линии километровой сетки или истинного меридиана и направлением заданной линии. Обычно на полях карты всегда дается для данного листа сближение меридианов и склонение магнитной стрелки, используя которые, по формулам (2.3) – (2.4) можно вычислить все углы ориентирования.

4 Высоту (отметку) любой точки, например С (рисунок 3.8, а), можно определить, если через нее провести линию ab по кратчайшему расстоянию между горизонталями.

Из подобия треугольников abb₁ и acc₁, учитывая, что h – высота сечения рельефа, d – заложение (рисунок 3.8, б), получим

cc₁ = ac bb₁ / ab или Δh = Δd h /d. (3.7)

Отметка точки Н_С будет равна отметки точки a плюс величина Δh:

Н_С = Нa + Δh.

а)

б)

Рисунок 3.8 – Определение отметки точки

В формуле (3.7) величины d и Δd измеряют на плане, а высота сечения рельефа известна на плане или карте.

5 Определяют уклон линии. Уклоном линии называется тангенс угла наклона этой линии или отношение высоты сечения рельефа к заложению (рисунок 3.8, б):

i = tg υ = h / d. (3.8)

Для определения уклона можно воспользоваться формулой (3.6) или (3.8). Из формул следует, что уклон – безразмерная величина. Его выражают в процентах (% – сотых долях) или в промилях (‰ – тысячных долях). Для определения угла наклона линии (крутизны ската) υ из формулы (3.8) можно получить:

υ = arctg i = arctg (h / d). (3.9)

Угол наклона можно также определить графически с помощью графика заложений, который обычно приведен под южной рамкой карты. При отсутствии графика заложений его можно построить. Для этого на горизонтальной прямой АВ от точки А откладывают равные отрезки произвольной величины (рисунок 3.9). Из точек отложения к прямой АВ восстанавливают перпендикуляры. Используя формулу (3.8), определяют заложение:

d = h / tg υ = h / i, (3.10)

где h – высота сечения рельефа

Подставляя в формулу (3.10) величины υ, равные 1, 2, 3^о и т. д., последовательно получают заложение для каждого из углов наклона υ и откладывают их на перпендикулярах в масштабе плана или карты. Полученные на перпендикулярах точки соединяют плавной кривой линией, а внизу подписывают углы наклона.

Для определения угла наклона по графику заложений с помощью циркуля-измерителя измеряют величину заложения на плане (ab) и прикладывают раствор измерителя к графику заложений так, чтобы одна игла измерителя находилась на основании графика, а вторая располагалась параллельно вертикальным линиям графика, и перемещают измеритель по горизонтальной линии основания вправо или влево до совпадения верхней иглы с кривой графика. По росписи графика заложений отсчитывают крутизну ската. Например, на рисунке 3.9 при заложении ab крутизна ската υ = 1,4^о. По графику заложений можно решать и обратную задачу, т. е. по заданной крутизне ската определять величину заложения на плане.

6 Для построения по заданному направлению АВ на плане профиля линии местности при помощи полоски бумаги линия с плана переносится на миллиметровую бумагу с отметками всех точек пересечения линии с горизонталями. Далее в заданном вертикальном масштабе по вертикальным линиям откладывают отметки точек, и все вершины перпендикуляров соединяют прямыми линиями. Получают профиль местности по заданному направлению (рисунок 3.10).

7 Для проведения на карте или плане линии заданного уклона по графику заложений или, исходя из формулы (3.10), определяют величину заложения соответствующего уклона. Затем циркулем-измерителем откладывают это заложение в масштабе плана и, начиная от первой горизонтали, пересекающей линию, последовательно засекают смежные горизонтали. Полученная ломаная линия будет иметь заданный уклон (рисунок 3.11).

Рисунок 3.10 – Продольный профиль

8 Водосборные площади по картам и планам определяют для вычисления расхода воды с бассейнов при строительстве плотин, мостов, труб и т. п. Водосборной площадью или бассейном водотока называют ту площадь, с которой поверхностные воды после дождя или таяния снега по условиям рельефа местности и его геологического строения стекают в данный водоток. Границами водосборной площади служат водораздельные линии и линии наибольшего ската. На карте или плане сначала намечают границы водосборной площади до створа строящегося сооружения, а затем при помощи планиметра или палетки определяют площадь в пределах установленной границы (рисунок 3.12).

Рисунок 3.11 – Линия заданного клона	Рисунок 3.12 – Определение границы водосборной площади

Решение практических задач на планах и картах подробно изложено в учебно-методических пособиях по выполнению расчетно-графических и лабораторных работ по геодезии.

3.8 Определение площадей по картам и планам

При решении многих вопросов, связанных с использованием земельной территории, необходимо знать площади тех или иных участков. Площади участков могут быть определены или по результатам обмера участка в натуре или по планам и картам. Существует три основных способа определения площадей: г р а ф и ч е с к и й, когда площадь вычисляется по данным, взятым графически с плана или карты; а н а л и т и ч е с к и й, когда площадь вычисляют непосредственно по результатам полевых измерений или по их функциям – координатам вершин участка; м е х а н и ч е с к и й, когда площадь определяется по плану при помощи специальных приборов, называемых планиметрами.

Часто эти способы применяются комбинированно. Например, общая площадь участка определяется аналитическим способом, а площадь внутренних контуров – графическим или механическим. Рассмотрим каждый из вышеуказанных способов более подробно.

Графический способ определения площадей. Сущность этого способа состоит в том, что данный участок на плане разбивают прямыми линиями на ряд простейших геометрических фигур (обычно треугольники, реже – прямоугольники, квадраты или трапеции) и с помощью циркуля-измерителя и масштабной линейки определяют в каждой фигуре размеры тех элементов, которые необходимы для вычисления площади фигуры. Вычислив по известным формулам геометрии площади фигур и взяв их сумму, находят общую площадь участка. Ошибка определения площади графическим способом равна примерно 1:100 – 1:200 от величины вычисляемой площади. Для повышения точности определения площадей этим способом следует пользоваться планами наиболее крупного масштаба, а также использовать, где это возможно, данные измерений в натуре.

Площади криволинейных контуров удобно определять при помощи палеток. Палетка (рисунок 3.13) представляет собой сетку квадратов, нанесенную на восковке или прозрачной целлулоидной пластинке. Стороны квадратов могут быть от 2 до 10 мм. Пользование палеткой видно из рисунка 3.13. Для определения площади палетку накладывают на контур и считают число квадратов, поместившихся внутри контура. Доли неполных квадратов при этом оценивают на глаз. Зная в масштабе плана площадь одного квадрата, умножением на число квадратов находят общую площадь контура. Точность определения площадей палеткой несколько ниже, описанного выше графического способа. Главная ошибка при этом происходит от оценки частей неполных квадратов на глаз. Более высокую точность дают палетки с меньшей стороной квадрата.

Аналитический способ определения площадей. Исходными данными для вычисления площадей данным способом служат координаты вершин многоугольника.

Пусть требуется вычислить площадь полигона 1-2-3-4 (рисунок 3.14), координаты вершин которого известны: 1 (X₁, Y₁); 2 (Х₂, Y₂); 3 (Х₃, Y₃); 4 (Х₄, Y₄). Из рисунка 3.14 видно, что площадь Р данного четырехугольника представляет собой алгебраическую сумму и разность площадей трапеции:

Р = 0,5 [(Х₁ + Х₂) (Y₂ – Y₁) + (X₂ + X₃) (Y₃ – Y₂) –

– (X₃ + X₄) (Y₃ – Y₄) – (X₄ + X₁) (Y₄ – Y₁)]. (3.11)

Раскрыв скобки, выполнив сокращение и приведение подобных членов, получим:

2Р = Х₁(Y₂ – Y₄) + X₂(Y₃ – Y₁) + X₃(Y₄ – Y₂) + X₄(Y₁ – Y₃)

или в общем виде для n-угольника можно записать

_n

2Р = ΣХ_i (Y_i+1 – Y_i-1). (3.12)

^{i = 1}

Подобным образом из уравнения (3.11) после преобразований можно получить:

2Р = Y₁(X₄ – X₂) + Y₃(X₁ – X₃) + Y₃(X₂ – X₄) + Y₄(X₃ – X₁)

или _n

2Р = ΣY_i (Х_i-1 – X_i+1). (3.13)

^{i = 1}

Согласно формулам (3.12) и (3.13) двойная площадь многоугольника равна сумме произведений всех абсцисс на разность ординат последующей и предыдущей вершин, или сумме произведений всех ординат на разность абсцисс предыдущей и последующих вершин.

Следует иметь ввиду, что сумма всех разностей абсцисс (или ординат) от первой до последней точки должна равняться нулю. Это свойство используется для контроля вычисления разностей в формулах (3.12) и (3.13). Погрешность вычисления площадей аналитическим способом не превышает 1:1000 вычисляемой площади.

Механический способ определения площадей. Определение площадей механическим способом производится при помощи планиметров. Наибольшее распространение получил полярный планиметр (рисунок 3.15), состоящий из полюсного и обводного рычагов.

Полюсный рычаг на одном конце имеет груз с короткой иглой (полюсом), а на другом – штифт, который соединяется с обводным рычагом. На конце обводного рычага имеется обводной шпиль (или лупа), которым обводят измеряемую площадь. На обводном рычаге расположен счетный механизм (рисунок 3.15), состоящий из счетного колеса, разделенного на 100 частей. Ось вращения колеса сопряжена при помощи червячной передачи с циферблатом, разделенным по окружности на 10 частей и снабженным указателем для снятия отсчета.

Червячная передача устроена так, что одному обороту колеса соответствует поворот циферблата на одно деление. Рядом с колесом находится верньер, по которому отсчитывают десятые доли делений колеса или тысячные доли его оборота.

Полный отсчет, выраженный в тысячных долях оборота колеса, состоит из четырех цифр, первая из которых берется по указателю циферблата, вторая и третья – по нулевому штриху верньера с ободка колесика. Четвертая отсчитывается по верньеру. Например, отсчет на рисунке 3.15 составит 3215.

При определении площади фигуры устанавливают планиметр полюсом внутри или вне контура фигуры, а обводной шпиль ставят над какой-либо точкой контура и делают отсчет по счетному механизму U₁. После этого тщательно обводят шпилем по ходу часовой стрелки контур фигуры и делают второй отсчет U₂. Площадь Р при полюсе вне фигуры вычисляют по формуле

Р = С(U₂ – U₁), (3.14)

а при полюсе внутри фигуры –

Р = С(U₂ – U₁ + g), (3.15)

Наши рекомендации