Основные соотношения размерных цепей

Размерная цепь всегда замкнута. На основании этого свойства существует зависимость, которая связывает номинальные размеры звеньев. Для плоских размерных цепей с номинальными звеньями она имеет следующий вид:

(5.1)

где n и p — число соответственно увеличивающих и уменьшающих звеньев в размерной цепи.

Для определения зависимости, которая связывает допуски звеньев в размерной цепи, найдем вначале наибольшее значение замыкающего звена:

затем наименьшее значение:

Вычтем из и окончательно получим:

, (5.2)

где т – количество звеньев размерной цепи, включая замыкающее звено.

Из формулы (4.2) следует, что разброс размеров замыкающего звена равен сумме разбросов размеров составляющих звеньев. Поэтому, чтобы обеспечить наибольшую точность замыкающего звена, размерная цепь должна состоять из возможно меньшего числа звеньев, т. е. необходимо при конструировании машин и проектировании технологических процессов соблюдать принцип наикратчайшей размерной цепи. Аналогичным образом находятся верхние отклонения замыкающего звена:

, (5.3)

нижнее отклонение:

,(5.4)

Координата середины поля допуска замыкающего звена рассчитывается следующим образом:

. (5.5)

Если известны размеры и поля допусков, составляющих звеньев размерной цепи, то по формулам (4.1), (4.2), (4.3), (4.4) и (4.5) можно определить все параметры замыкающего звена.

Расчет размерных цепей

Обычно при конструировании возникает необходимость определить параметры составляющих звеньев размерной цепи при известном замыкающем звене. Решением данной задачи может быть большое количество вариантов сочетаний допусков и предельных отклонений составляющих звеньев, лишь бы они удовлетворяли основным соотношениям.

Обычно в прикидочных расчетах пользуются способом равных допусков, т. е.:

.

При большой разнице в номинальных размерах составляющих звеньев такой способ является некорректным, так как к большим звеньям будут предъявляться более жесткие требования по точности.

Смысл корректного расчета размерной цепи заключается в том, чтобы допуски на составляющие звеньев размерной цепи были бы одного или двух ближайших квалитетов.

Известно, что допуск есть произведение единицы допуска на коэффициент k. Это справедливо и для любого звена размерной цепи:

,

где k_j – число единиц допуска (величина постоянная для одного квалитета);

i_j – единица допуска, характеризующая ту часть допуска, которая меняется с изменением размера.

Итак, чтобы добиться одинаковых требований к точности изготовления составляющих звеньев, необходимо, чтобы коэффициенты k_j были бы одинаковыми у всех звеньев. Просуммируем допуски составляющих звеньев размерной цепи:

,

. (5.6)

Подставим полученную зависимость в формулу (5.2.2):

откуда

. (5.7)

Значение k характеризует точность, с какой следует получать все составляющие звенья размерной цепи. Рассчитанное по формуле значение k в общем случае не будет соответствовать строго определенному квалитету, поэтому для назначения допусков на соответствующие звенья выбирают ближайшие квалитеты по таблице 5.1.

Обеспечить заданную точность замыкающего звена можно несколькими методами (ГОСТ 16320—80).

Метод полной взаимозаменяемости. Метод, при котором требуемая точность замыкающего звена размерной цепи получается при любом сочетании размеров составляющих звеньев. При этом предполагают, что в размерной цепи одновременно могут оказаться все звенья с предельными значениями, причем в любом из двух наиболее неблагоприятных сочетаний (все увеличивающие звенья с верхними предельными размерами, а уменьшающие с нижними, или наоборот). Такой метод расчета, который учитывает эти неблагоприятные сочетания, называется методом расчета на максимум — минимум.

Метод неполной взаимозаменяемости. Это метод, при котором требуемая точность замыкающего звена размерной цепи получается не при любых сочетаниях, а при ранее обусловленной части сочетаний размеров составляющих звеньев.

Сборка осуществляется без пригонки, регулировки и подбора звеньев.

Метод исходит из предположения, что сочетание действительных размеров составляющих звеньев в изделии носит случайный характер, и вероятность того, что все звенья с самыми неблагоприятными сочетаниями окажутся в одном изделии, весьма мала.

Такой метод расчета, который учитывает рассеяние размеров и вероятность их различных сочетаний, называется вероятностным методом расчета. Другими словами, метод допускает малый процент изделий, у которых замыкающее звено выйдет за рамки поля допусков. При этом расширяются допуски составляющих цепь размеров, и тем самым снижается себестоимость изготовления деталей.

Задачей расчета является назначение допусков на составляющие звенья, соответствующих одинаковой степени точности.

Учитывая случайный характер сочетаний действительных размеров деталей в изделии, воспользуемся уравнением для определения дисперсии суммы независимых случайных величин:

.

Допустим, что погрешность всех звеньев изменяется по закону нормального распределения, а границы рассеяния размеров для составляющих звеньев 6σ совпадают с границами полей допусков, тогда:

.

Для замыкающего звена допустим, что:

,

где t – коэффициент риска.

Тогда:

.

Обозначим через :

. (5.8)

Формула (4.8) устанавливает связь между допуском на замыкающий размер и допусками на составляющие звенья.

Для того чтобы добиться одинаковой точности составляющих звеньев размерной цепи, воспользуемся известной формулой подставим ее в выражение (4.8). Потребуем, чтобы k всех звеньев были одинаковыми, тогда:

.

Окончательно получим:

(5.9)

Значение k характеризует точность, с которой следует изготовить все составляющие звенья размерной цепи при заданных условиях.

При обработке деталей разброс размеров у них может распределяться и не по закону Гаусса. В этом случае можно также воспользоваться формулой (4.9), только при этом следует поставить другие значения .

Если предполагается, что рассеяние размеров близко, например, к закону Симпсона, то .

При неизвестном характере рассеяния размеров рекомендуется принимать закон равной вероятности с .

На основании предельных теорем теории вероятностей независимо от характера рассеяния размеров, составляющих звеньев разброс размеров замыкающего звена размерной цепи будет близок к закону нормального распределения.

Метод пригонки. Это метод, при котором требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается изменением размера компенсирующего звена путем снятия с компенсатора слоя металла. Его суть состоит в том, что допуски на составляющие звенья назначаются по экономически приемлемым квалитетам, например по 12…14-му квалитетам. Получающийся после этого у замыкающего звена избыток поля рассеяния при сборке устраняют за счет компенсатора.

Смысл расчета заключается в определении припуска на пригонку, достаточного для компенсации величины превышения предельных значений замыкающего звена и вместе с тем наименьшего для сокращения объема пригоночных работ.

Роль компенсатора обычно выполняет деталь, наиболее доступная при разборке механизма, несложная по конструкции и неточная, например прокладки, шайбы, проставочные кольца и т. п.

Метод регулирования с применением неподвижного компенсатора. Это метод, при котором требуемая точность замыкающего звена размерной цепи достигается изменением компенсирующего звена без снятия слоя металла.

Его суть состоит в том, что избыток поля рассеивания замыкающего звена устраняют путем подбора компенсатора из некоторого количества компенсаторов, заранее изготовленных с различными размерами.

Смысл расчета заключается в определении наименьшего количества компенсаторов в комплекте.

Задание 5 и порядок его выполнения

5.4.1. Решение обратной задачи методом полной взаимозаменяемости (максимума – минимума).

При сборке узла, согласно техническим требованиям, необходимо обеспечить осевой зазор мм между торцом крышки и наружным кольцом подшипника (рисунок 5.2). Осевой зазор необходим для компенсации тепловых деформаций деталей, возникающих во время работы узла. Требуется назначить допуски и отклонения на составляющие звенья для обеспечения 100% годности собираемых механизмов при любом сочетании размеров составляющих звеньев.

Определение номинальных размеров составляющих звеньев.

Номинальные размеры стандартных деталей, например, подшипников качения, находят по соответствующим стандартам. Остальные размеры составляющих звеньев, кроме звена ,берутся из задания.

Для нахождения номинального размера воспользуемся зависимостью (5.1):

;

;

;

мм.

Определение средней точности размерной цепи.

По формуле 4.7. найдем значение k:

;

.

Найденное число единиц допуска лежит в пределах стандартных значений k = 16 (7-й квалитет) и k = 25 (8-й квалитет) [3, таблица 35]. Отсюда следует, что часть звеньев должна изготавливаться по 7-му квалитету, а часть — по 8-му. При этом следует назначать допуски таким образом, чтобы допуск звена лежал в пределах между 7-м и 8-м квалитетами либо соответствовал одному из этих квалитетов.

Значения единицы допуска i выбираем по [3, таблица 36].

Предельные отклонения на составляющие звенья, кроме , рекомендуется назначать на размеры, относящиеся к валам — по h, относящиеся к отверстиям — по Н; на остальные , т. е. симметричные предельные отклонения. Результаты поэтапных расчетов внесены в таблицу 5.1.

Таблица 5.1 – Параметры к расчету размерной цепи (рисунок 5.1) методом полной взаимозаменяемости

Обозна- чение звена	Номи- нальный размер, мм	ij, мкм	Обозна- чение основного отклонения	Квалитет	Допуск Т	Верхнее отклонение	Нижнее отклонение	Середина поля допуска
мкм
	0,2	—	—	—		+ 250		+ 125
		1,31	h				– 21	– 10,5
		1,31	h				– 21	– 10,5
		1,56	h				– 39	– 19,5
		1,31	h				– 21	– 10,5
		1,31	h				– 21	– 10,5
		0,9				+ 7,5	– 7,5
		0,9	h				– 15	– 7,5
		2,52	h				– 63	– 31,5
	2,2	0,55	—	7…8		+ 108,5	+ 96,5	+ 102,5
		0,9				+ 11	– 11

Определение допуска звена .

Воспользуемся формулой (5.2):

;

мкм.

Определение предельных отклонений звена .

Из формулы (5.3):

,

;

мкм.

Из формулы (5.4):

;

;

мкм.

Проверка.

Чтобы убедиться в правильности проведенных расчетов, воспользуемся зависимостью (4.5) для координат середины полей допусков:

.

;

+125 = +125.

Это говорит о правильности проведенных вычислений.

5.4.2 Решение обратной задачи методом неполной взаимозаменяемости (вероятностный метод расчета)

При сборке узла, согласно техническим требованиям, необходимо обеспечить осевой зазор мм между торцом крышки и наружным кольцом подшипника (рисунок 5.1).Требуется назначить допуски и отклонения на составляющие звенья при Р = 0,27% и нормальном законе распределения рассеяния размеров составляющих звеньев.

Определение номинальных размеров составляющих звеньев.

Этот пункт решения задачи полностью соответствует первому пункту при расчете на максимум – минимум.

Определение средней точности размерной цепи. Воспользуемся зависимостью (5.9):

;

.

Значение коэффициента риска t выбираем в зависимости от принятого процента риска Р по[3, таблица 37].

Найденное число единиц допуска k лежит ближе к стандартному значению k = 64, что соответствует 10-му квалитету. Допуски на все звенья назначаются по 10-му квалитету.

Определение истинного процента брака. Из формулы (4.8):

;

.

что соответствует 0,693% брака (значения процента брака определяется по [3, таблица 37]).

Полагаем, что такой процент брака нас устраивает. Если же количество брака мы сочли бы чрезмерным, тогда необходимо было допуски на ряд звеньев назначить по 9-му квалитету.

Результаты поэтапных расчетов внесены в таблицу 5.2.

Таблица 5.1 – Параметры к расчету размерной цепи (рисунок 5.1) методом неполной взаимозаменяемости

Обозна- чение звена	Номи- нальный размер, мм	ij, мкм	Обозна- чение основного отклонения	Квалитет	Допуск Т	Верхнее отклонение	Нижнее отклонение	Середина поля допуска
мкм
	0,2	—	—	—		+ 250		+ 125
		1,31	h				– 84	– 42
		1,31	h				– 84	– 42
		1,56	h				– 100	– 50
		1,31	h				– 84	– 42
		1,31	h				– 84	– 42
		0,9				+29	– 29
		0,9	h				– 58	– 29
		2,52	h				– 160	– 80
	2,2	0,55	—			+36	– 4	+ 16
		0,9				+29	– 29

Определение предельных отклонений звена .

Вначале определим координату середины поля допуска звена по формуле (5.5):

;

;

мкм;

,

мкм;

,

мкм.

Тема 6