Обработка результатов совместных измерений

В практике измерений часто возникает необходимость в экспериментальном определении зависимости между двумя или большим числом измеряемых физических величин. Предположим, что между физическими величинами x и y имеет место аналитическая зависимость, которую представим выражением

, (2.48)

где - неизвестные коэффициенты, .

В результате измерений можно получить n экспериментальных точек с координатами на координатной плоскости XOY, причем . По расположению экспериментальных точек на координатной плоскости можно сделать предположение о виде аппроксимирующей функции. Ее можно представить какой-либо конкретной функцией, например, синус, тангенс, логарифм, экспонента, арктангенс и др. или полиномом высокой степени. В общем виде аппроксимирующую функцию представим в виде

, (2.48)

где искомые коэффициенты аппроксимирующей функции, .

Необходимо определить коэффициенты , используя результаты измерений, выполненные с некоторой погрешностью. Будем считать, что погрешность измерений носит случайный характер и подчиняется нормальному закону распределения плотности вероятности случайных погрешностей. Для решения подобных задач наибольшее распространение получил метод наименьших квадратов.

Погрешности измерения, а также неточный выбор аппроксимирующей функции являются причиной возникновения погрешности между вычисленным значением функции по измеренному значению аргумента и измеренным значением функции

. (2.49)

В соответствии с методом наименьших квадратов аналитическая зависимость будет наилучшим образом описывать экспериментальную, если сумма квадратов погрешности будет минимальна.

. (2.50)

Для вычисления неизвестных коэффициентов необходимо записать систему уравнений

. (2.51)

Или после преобразований в развернутом виде

(2.52)

Приведенная система уравнений достаточно просто решается в системе MathCad. Средствами MathCad может быть организована и вся процедура вычисления коэффициентов аппроксимирующей функции по методу наименьших квадратов.

Нормирование метрологических характеристик средств

Измерений

Важнейшей метрологической характеристикой является погрешность средства измерения. Она может быть представлена в форме абсолютной ( или ), относительной ( ) или приведенной ( ). Указанные погрешности могут быть основными, когда средство измерений работает в нормальных условиях, и дополнительными, когда средство измерений работает за пределами нормальных условий. Нормирование (установка норм) основной и дополнительной погрешностей выполняется отдельно, но по одной и той же схеме.

Основной показатель средства измерения, по которому прибор допускается к применению является предел допустимой погрешности. Способы выражения предела допустимой погрешности установлены ГОСТ 8.401-80 «Классы точности средств измерений. Общие требования». Рассмотрим формы аналитического представления предела допустимой погрешности (основной и дополнительной).

Пределы допустимой абсолютной погрешности, выраженные в единицах измеряемой величины или в делениях шкалы, устанавливают в соответствии с формулами

, (2.53)

где погрешность представлена только аддитивной (не зависящей от измеряемой величины) составляющей;

, (2.54)

где погрешность представлена аддитивной и мультипликативной (пропорциональной измеряемой величине) составляющими.

Пределы допустимой относительной погрешности, выраженные в безразмерных единицах, устанавливают в соответствии с формулами

, (2.55)

где погрешность представлена выражением (2.53);

, (2.56)

где погрешность представлена выражением (2.54); - конечное значение диапазона измерений.

Пределы допустимой приведенной погрешности, выраженные в безразмерных единицах, устанавливают в соответствии с формулой

, (2.57)

где - нормирующее значение, выраженное в единицах погрешности , причем выбирают равным модулю большего из пределов измерений при нулевой метке в начале шкалы или сумме модулей пределов измерений при нулевой метке в середине шкалы.

В выражениях (2.53) - (2.57) коэффициенты - положительные числа, выбранные из предпочтительного ряда где и т.д.

Представленные формулы записи пределов допускаемой погрешности используются для установления класса точности средства измерения. Класс точности средства измерения – обобщенная характеристика средства измерения, определяемая пределами допускаемых основных и дополнительных погрешностей, значения которых устанавливаются стандартами. При нормировании относительной погрешности классы точности обозначают арабскими цифрами в виде десятичных дробей или отношения десятичных дробей. При нормировании допускаемой абсолютной основной погрешности классы точности обозначают прописными буквами латинского алфавита или римскими цифрами, при этом более высокому классу соответствуют начальные буквы или меньшие цифры. Правила и примеры обозначения классов точности измерительных приборов приведены в таблице 2.4

Таблица 2.4 – Примеры обозначения классов точности измерительных

приборов

Формула для предельной основной погрешности	Пределы допустимой основной погрешности, %	Обозначение класса точности
в документации	на измерительном приборе
		Класс точности 1,5	1,5
		Класс точности
,		Класс точности L Класс точности M	L M