В соревнованиях по легкой атлетике стартовало 15 участников. На финиш пришло 13 участников. Какова погрешность приближения?
х » a; х = 15; a = 13 - приближенное значение с недостатком;
х - a = 15 - 13 = 2; х - a = 2; х - a > 0 .
Вывод:
- Погрешность приближения может быть и положительной, и отрицательной.
- Пусть х » a .
Если a £ х, то а - приближенное значение с недостатком величины х.
Если a ³ х, то а - приближенное значение с избытком величины х.
Замечание: При вычислениях чаще не важно больше приближенное значение точного или меньше, а важно, только, на сколько они отличаются друг от друга. Поэтому на практике чаще определяют не погрешность, а абсолютную погрешность приближения.
Определение: Абсолютной погрешностью приближенного значения величины называется модуль разности между точным и приближенным значениями этой величины.
х » a - a приближенное значение х.
D x = | х - a | -абсолютнаяпогрешность приближения.
Вывод:
1. Абсолютнаяпогрешность приближения всегда положительна, то есть D x > 0.
2. Абсолютнаяпогрешность приближения всегда измеряется в тех же единицах, что и сама величина, то есть абсолютнаяпогрешность является размерной величиной.
Пример:
1. х =
D x = | х - a |
a = - 0,333 D x =
D x = ? D x =
2. p = 3,1415926… D p = | 3,1415926… - 3,14 |
p » 3,14 D p = 0,0015926…
D p = ?
Абсолютнаяпогрешность приближения может быть громоздкой, неудобной для вычислений (пример 1). Более того, абсолютнуюпогрешность приближения нельзя определить, если неизвестно точное значение величины (пример 2).
Вывод: Если абсолютнуюпогрешность приближения нельзя определить или абсолютнаяпогрешность приближения громоздка, то в каждом конкретном случае можно указать положительное число, которое больше или равно самой абсолютнойпогрешности.
Определение: Границей абсолютной погрешности приближения называется такое положительное число h , которое больше или равно самой абсолютнойпогрешности.
D x = | х - a | £ h
Пример: При покупке часов клиент получает свидетельство, в котором завод-изготовитель гарантирует точность суточного хода часов в пределах ± 45 секунд, что означает: часы не должны уходить вперед или отставать в сутки более чем на 45 секунд. Если при проверке купленных часов с сигналами точного времени, даваемыми по радио, обнаружилось, что часы уходят вперед в сутки на 20 секунд, то 20 секунд - абсолютная погрешность суточного хода данных часов. А число 45 секунд - граница абсолютной погрешности приближения.
Замечание:
1. В отличие от абсолютной погрешности граница абсолютной погрешности не определяется однозначно. Поэтому на практике в качестве границы абсолютной погрешности берется число, мало отличающееся от абсолютной погрешности и удобное для вычислений.
2. Если задана граница абсолютной погрешности h , то говорят, что a есть приближенное значение числа x с точностью до h , и пишут x = a ± h.
x = a ± h Û a - h £ x £ a + h ,
a - h - нижняя границачисла x ,
a + h - верхняя границачисла x .
Пример:
1. Определить границу абсолютной погрешности приближенного значения 2,7 числа е = 2,718281828459045… .
D x = | х - a | ;
D е = | 2,718281828459045… - 2,7 | = 0,018281828459045… £ 0,02; h = 0,02;
е = 2,7 ± 0,02.
2. Электрическая сеть выдерживает напряжение U = 220 ± 3 B. Что означает эта запись? Укажите границы возможного напряжения в сети.