ПРАКТИКА № 21 (23 мая у обеих групп)
Задача 1. Найти производную для
.
Решение. Запишем разложения в ряд Тейлора для каждой функции.
Найдём все те комбинации, которые дают 6 степень.
=
, что надо приравнять к
.
=
.
.
Ответ. .
Задача 2. Приближённо найти значение интеграла с точность
.
Решение. Разложим функцию под интегралом в ряд.
=
=
=
Видно, что даже второе слагаемое меньше, чем
, то есть может повлиять лишь на 7 знак после запятой. Третье, с учётом знаменателя, меньше, чем
.
Тогда .
Ответ. .
Задача 3. Разложить в ряд Тейлора по степеням
и найти
.
Решение. В этой задаче сначала надо разложить на простейшие, чтобы в каждой дроби в знаменателе была только сумма или разность двух объектов.
=
=
, тогда
система
. Тогда функция имеет вид
.
Точки разрыва и
, поэтому наибольший круг с центром в нуле может быть радиуса 1. Итак, ряд будет существовать в круге
. При этом очевидно, что
, поэтому автоматически выполнено и условие
, т.е.
. Поэтому во второй дроби можно выносить 3 за скобку для формирования структуры суммы прогрессии вида
. Итак,
=
=
=
. Можно объединить эти две суммы в одну.
.
Теперь найдём коэффициент при 4 степени, чтобы найти .
Приравняем коэффициент из этого ряда и тот его вид, который следует из теории. тогда
=
=
=
.
Ответ.Ряд ,
=
.
Задача 4. Разложить в ряд Тейлора: по степеням
.
Решение. Разложение на простейшие сначала производится точно так же, как в задаче 8: . Но здесь центр круга не в 0, а в точке
потому что
. Точки разрыва
и
. Поэтому расстояние до ближайшей точки разрыва равно 2, и круг здесь имеет вид
. Он показан на чертеже:
В выражении сначала надо прибавить и отнять константы, чтобы в знаменателе явно был выделен блок
.
=
теперь скобку вида
мы не будем раскрывать вплоть до ответа, можно даже переобозначить её через
(но не обязательно).
Выносим за скобку константу 2 в каждой из дробей.
. В круге
получается, что верно
то есть там как раз получается такое
, как и надо для сходящейся геометрической прогрессии. Тогда далее
=
.
Здесь в 2 частях индексы меняются синхронно, их можно объединить.
Ответ. .
Задача 5. Разложить в ряд Тейлора: по степеням z.
Решение. Сначала надо разложить на простейшие дроби.
=
=
система
. Итак, функция имеет вид:
.
Теперь оценим, в каком круге будет разложение. Центр в 0, так как по степеням z. Точки разрыва ,
. Расстояние от центра до ближайшей точки разрыва равно 1. Поэтому разложение в ряд будет в круге
.
=
теперь то, что следует в знаменателе после единицы, уже и так удовлетворяет условию
, то есть выносить за скобки никакие константы уже не надо. Можно уже использовать формулу суммы прогрессии.
=
=
, что при более подробной записи первых слагаемых выглядит так:
Ответ.
Задача 6. Найти кольцо сходимости ряда Лорана:
Решение. Сначала исследуем правильную часть.
, по признаку Даламбера
=
сократим на 3n числитель и знаменатель.
=
, тогда
.
Теперь рассмотрим главную часть . Можно задать индексацию натуральными числами, если сделать замену
и после этого уже применять обычный признак Даламбера.
=
=
.
Тогда =
=
, тогда
.
Ответ. - кольцо сходимости.
Задача 7. Разложить в ряд Лорана по степеням z
Решение. Точки разрыва и
, центр кольца в 0, значит, кольцо определяется условием
.
=
=
=
. Можно ещё произвести сдвиг индекса в главной части, чтобы не был индекс 0 в двух частях сразу:
но фактически и так было видно, что главная часть начинается с -1 степени.
Ответ. .
Задача 8.Разложить в ряд Лорана по степеням
в кольце.
Решение. В отличие от прошлой задачи, здесь центр смещён в 1. Это влияет и на радиусы кольца. Ближайшая точка разрыва на расстоянии 2, а более далёкая на расстоянии 5. Поэтому условие кольца . Но сначала надо прибавить и отнять 1, чтобы создать отдельное слагаемое
его мы не будет раскрывать вплоть до ответа.
=
теперь выносим за скобку либо константу, либо
с учётом того, что должно получаться 1 и второй объект, который меньше 1.
согласно условию
, каждый объект в знаменателе здесь по модулю меньше 1 и может служить знаменателем сходящейся геометрической прогрессии.
Далее, .
Ответ. .
Задача 9. Разложить в ряд Лорана во внешней области
.
Решение. Здесь , а значит атоматически и
. Поэтому выносить за скобку в знаменателе надо так, чтобы всегда получались константы, делённые на
.
=
=
Первая часть преобразуется, как и в прошлом примере, а вот вторая по-новому. Кстати, здесь можно объединить, так как обе суммы относятся к главной части, там везде отрицательные степени.
=
.
Ответ. .
ПРАКТИКА № 22. Ряды Фурье.
Задача 1. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию на (-1,1).
Решение. Так как функция нечётная, то все коэффициенты и
равны 0. Поэтому считаем только
. Учитываем, что
.
. Вычисляем интеграл по частям.
,
,
,
. Тогда
=
так как косинус чётная функция, то далее
=
=
=
. Ответ.
.
Задача 2. Разложить в триг. ряд Фурье на (-1,1)
Решение. Заметим, что функция нечётная. То есть, f это сумма нечётной и константы. Таким образом, коэффициенты
здесь тоже окажутся равны 0. Надо вычислить
и
.
=
=
,
.
. Вычисляем интеграл по частям.
,
,
,
. Тогда
=
=
=
=
=
.
Ответ. Ряд Фурье: .
Замечание. Для поиска коэффициентов можно было воспользоваться результатом, полученным в задаче 1.
=
первое слагаемое содержит интеграл, равный в итоге а второе равно 0. Тогда
=
.
Задача 3. Найти ряд Фурье для
Решение. Здесь функция не является чётной либо нечётной, поэтому надо будет искать все коэффициенты.
При этом, на левой и правой части интервала надо считать отдельно, ведь там функция задана по-разному.
=
=
,
.
. Первый интеграл вычисляется методом «по чсатям», второй просто в один шаг.
Кстати, для убодства вычислений можно раскрыть скобки и объединить так:
=
. Тогда интеграле по частям остаётся не скобка, а только
.
,
,
,
. Тогда
=
= =
=
=
=
.
=
В первом ,
,
,
. Тогда
=
=
=
Ответ. Ряд Фурье: .
Ниже показан чертёж к этой задаче, получившийся в результате работы программы. Видно, что чем больше n, тем более точно кривая огибает ломаную.
Задача 4. Разложить в тригонометрический ряд Фурье: .
Решение. Здесь функция ступенчатая, поэтому вычислять интегралы по частям не придётся, будет в 1 шаг. Но разбивать на две части надо, т.к. функция задана по-разному справа и слева от 0. Кроме того, надо учесть, что здесь.
=
= 6. Тогда
. Кстати, это и есть средняя высота графика этой функции.
=
так как синус любого угла, кратного
, есть 0. В ряде Фурье не будет косинусов. Впрочем, об этом можно было догадаться и сразу и не считать интегралы: ведь если сместить этот график вниз на 3, то получится нечётная функция.
=
=
притом здесь мы уже сразу учли чётность косинуса, что
.
Итак, =
=
=
.
Ответ. Ряд Фурье: .
Задача 5. Разложить в тригонометрический ряд Фурье на интервале (-1,1).
Решение. Сначала исследуем, что такое и как это выражение ведёт себя на разных частях интервала:
.
Поэтому здесь на левой части интеграл считать не надо, он равен 0. Остаётся только на (0,1).
,
.
интегрируем по частям:
,
,
,
.
Тогда =
=
=
.
тоже по частям,
,
,
,
.
Тогда =
=
=
.
Ответ. .