Определение перемещений с помощью интеграла Мора и способа Верещагина

Вычисляя перемещения в балках по интегралу Мора, обычно пренебрегают влиянием поперечной силы и учитывают влияние только изгибающего момента.

Тогда интеграл Мора принимает вид:

, (5.6)

где - уравнение изгибающего момента от заданной нагрузки;

- уравнение изгибающего момента во вспомогательном (единичном) состоянии.

В случае нескольких участков нагружения, уравнения изгибающих моментов записывают для каждого участка (в заданном и вспомогательном состояниях), и, произведя интегрирования в пределах участков, результаты суммируют.

Вспомогательное состояние выбирают в зависимости от вида искомого перемещения. Если определяется линейное перемещение сечения, то во вспомогательном состоянии к балке, освобожденной от заданной нагрузки, прикладывается, в интересующем нас сечении, единичная сосредоточенная сила ( ); при определении угла поворота сечения - единичный момент ( ).

Пример. Для балки, изображенной на рисунке 5.3а, определить прогиб сечения , отстоящего на расстоянии от левой опоры.

Решение.

Задаемся вспомогательным, состоянием для определения прогиба сечения (рис. 5.3б). Записываем уравнения изгибающих моментов по участкам

I участок,

; .

II участок,

; .

III участок,

; .

Тогда искомое перемещение

б) вспомогательное состояние

а) заданное состояние

Рис. 5.3. Схема балки в заданном и вспомогательном состояниях

Знак плюс в решении указывает, что перемещение происходит по направлению единичной нагрузки, минус - против.

Примечание. Важно помнить, что каждому искомому перемещению соответствует свое вспомогательное состояние.

Для стержней с прямой осью и постоянной жесткостью интеграл по длине от произведения двух функций и (интеграл Мора) может быть заменен произведением графиков функций (эпюр) по правилу Верещагина, т.е.

,

где - площадь грузовой эпюры на i-том участке (эпюры изгибающих моментов для заданного состояния);

- ордината единичной эпюры (эпюры изгибающих моментов для вспомогательного состояния) под центром тяжести грузовой эпюры на i-том участке.

Когда площадь и положение центра тяжести эпюры на некотором участке определить затруднительно, используют формулы Корноухова-Симпсона или формулы перемножения трапеций (рис. 5.4):

- для прямолинейных (рис. 5.4а);

- для параболической и прямолинейной (рис. 5.4б),

где - ординаты единичной и грузовой эпюр соответственно;

- средние линии трапеций,

, .

а)

б)

Рис. 5.4. Виды трапеций единичной и грузовой эпюр:

а) прямолинейные;

б) параболическая и прямолинейная

Оборудование

Лабораторная работа выполняется на двухопорной балке (рис. 5.5).

Рис. 5.5. Двухопорная балка:

1 – основание; 2 – пятка; 3 – стопор; 4 – стержень; 5 – стойка подвижная; 6 – стойка индикаторная; 7 – планка направляющая; 8 – набор грузов; 9 – подвес гиревой; 10 – образец испытуемый; 11 – винт-ножка; 12 – стойка неподвижная; 13 – индикатор часового типа с ценой деления 0,01 мм

Двухопорная балка 4, поперечными размерами 6х40 мм, крепится на стойках 2 и 9 с помощью шарнирно-неподвижной 8 и шарнирно-подвижной 3 опор. Материал балки - ст.3, с модулем продольной упругости = 2×10⁵ МПа. Стойка 9 - неподвижная. Стойка 2 может перемещаться для изменения расстояния между опорами.

Нагружение балки производится грузами, устанавливаемыми на гиревые подвесы 7, которые могут перемещаться вдоль балки.

Наибольшая величина груза на каждом подвесе не должна превышать 59 Н (6 кг).

Измерение прогибов сечений балки производится с помощью индикаторов часового типа 6 с ценой деления 0,01 мм, закрепляемых на индикаторных стойках 5. Стойки могут перемещаться вдоль основания установки по направляющим и фиксироваться стопором в необходимом месте.

Измерение угла поворота опорного сечения производится непосредственно через замер перемещения конца рычага с помощью индикатора (1). Второй конец рычага прикреплен к опоре и поворачивается вместе с ней. При этом угол поворота опорного сечения определяется как отношение замеряемого перемещения к длине рычага = 150 мм (рис. 5.6).

Рис. 5.6. Схема измерения угла поворота опорного сечения

Для определения напряжений на балке наклеены тензорезисторы. Концы тензорезисторов выведены на колодки, укрепленные на корпусе установки.

Деформации тензорезисторов фиксируются цифровым измерителем статических деформаций ИДЦ-1, снабженным блоком питания, в который входит преобразователь-трансформатор с выходным постоянным напряжением 12 В.

Техника безопасности

3.1. Измеритель деформации ИДЦ-1 нельзя включать непосредственно в сеть без преобразователя.

3.2. При работе с грузами соблюдать осторожность во избежание падения грузов на ноги.

3.3. Работу с прибором ИДЦ-1 проводить только в присутствии преподавателя или учебного мастера.

Постановка опыта

4.1. Согласно указанной преподавателем схеме нагружения подготовить установку для выполнения опыта.

4.2. Получить разрешение преподавателя на проведение, опыта.

4.3. Ввести все индикатора в соприкосновение с балкой или рычагами при снятых гиревых подвесках.

4.4. Нагрузить балку начальной нагрузкой в виде гиревых подвесов.

4.5. Установить стрелки всех индикаторов на “0”.

4.6. Подключить прибор ИДЦ-1 с помощью переходного кабеля к колодке установки и включить его в сеть.

4.7. Опросить каналы ИДЦ-1, указанные преподавателем, и результаты внести в таблицу 5.1.

4.8. Определить величину ступени нагрузки . Давая одинаковые приращения нагрузки, произвести 3-4 нагружения балки. Наибольшая величина нагрузки для двухопорной балки не должна превышать 59 Н (6 кг) на каждый грузовой подвес.

4.9. После каждого нагружения фиксировать отсчеты по индикаторам и по каналам ИДЦ-1. Результаты вносить в таблицу 5.1.

Таблица 5.1

Результаты опыта по определению перемещений в балке

Нагрузка, Н	Показания индикатор , мм, и приращения показаний , мм
Подвес 1	Подвес 2	Индикатор 1	Индикатор 2	Индикатор 3

Примечание. Номера подвесов, индикаторов и тензорезисторов (ТР) и места их установки указать на схеме.

Обработка результатов

5.1. Подсчитать средне арифметические приращения прогибов

,

где - количество интервалов нагружения.

5.2. Подсчитать средне арифметическое приращение углов поворота

.

5.3. Определить теоретически значения прогибов и углов поворота балки в соответствии с заданной схемой одним из рассмотренных выше методов (по указанию преподавателя) от ступени нагрузки.

5.4. Результаты экспериментального и теоретического определения перемещений балки сводятся в таблицу 5.2.

Таблица 5.2

Результаты экспериментального и теоретического определения перемещений

Перемещения	Значения перемещений, мм	Расхождение, %
Экспериментальное	Теоретическое

5.5. Вычислить нормальные напряжения в местах установки тензорезисторов

,

где - продольная деформация.

5.6. Вычислить теоретически нормальные напряжения в местах установки тензорезисторов

,

где - изгибающий момент (Нмм) в сечении, где вычисляется напряжение от ступени нагрузки;

- осевой момент сопротивления сечения (мм³ ), ;

где - ширина и - высота сечения (мм).

Оформление отчета

Отчет

по лабораторной работе “Опытная проверка теория изгиба

прямого стержня”

1. Цель работы.

2. Оборудование, приспособление, инструмент.

3. Схема балки (с указанием размеров, номеров подвесов, индикаторов, тензорезисторов и мест их установки на балке) согласно задания преподавателя.

4. Постановка опыта с указанием интервала нагрузки:

5. Таблица 5.1.

6. Средние арифметические значения прогибов мм.

7. Среднее арифметическое значение угла поворота ... рад (град).

8. Теоретическое определение прогибов и углов поворота (метод начальных параметров или способ Верещагина).

9. Таблица 5.2.

10.Экспериментальные значения напряжений.

11.Теоретическое определение напряжений.

12.Выводы.

Контрольные вопросы

1. Какие типы опор применяются для закрепления балок к основанию? Покажите опорные реакции, соответствующие каждому виду опор.

2. Какие уравнения используются для определения значений опорных реакций?

3. Как проверить правильность определения опорных реакций?

4. Какие внутренние усилия возникают в поперечных сечениях стержня в общем случае действия на него плоской системы сил?

5. Что называют плоским (прямым) поперечным изгибом?

6. Какие правила знаков приняты для каждого из внутренних усилий?

7. Для приведенных балок записать выражения поперечной силы и изгибающего момента на каждом из участков

8. Что представляет собой эпюры поперечных сил и изгибающих моментов?

9. Постройте эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балок, приведение в п.7.

10. Как формулируется гипотеза плоских сечений?

11. Что представляет собой нейтральная линия? Как она расположена в балке?

12. Чему равна кривизна оси балки при чистом изгибе?

13. Что называется жесткостью сечения при изгибе?

14. По какой формуле определяются нормальные напряжения в поперечных сечениях балки при поперечном изгибе?

15. В каких точках балки материал находится в линейном напряженном состоянии?

16. Запишите закон Гука для линейного напряженного состояния.

17. Что называется моментом сопротивления сечения при изгибе и какова его размерность?

18. Какие перемещения получают поперечные сечения балок при изгибе?

19. Что представляют собой уравнения метода начальных параметров и почему они так называются?

Литература

1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1986. – 512 с.

2. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 1989. – 624 с.

3. Афанасьев А.М., Марьин В.А. Лабораторный практикум по сопротивлению материалов. М.: Наука, 1975.