Лабораторная работа №5

С помощью интерполяционного многочлена Лагранжа найти приближенное значение функции при заданном значении аргумента: a) в случае равноотстоящих узлов b) в случае неравноотстоящих узлов.

1. a)	b)
2. a)	b)
3. a)	b)
4. a)	b)
5. a)	b)
6. a)	b)
7. a)	b)
8. a)	b)
9. a)	b)
10. a)	b)
11. a)	b)
12. a)	b)
13. a)	b)
14. a)	b)
15. a)	b)
16. a)	b)
17. a)	b)
18. a)	b)
19. a)	b)
20. a)	b)
21. a)	b)
22. a)	b)
23. a)	b)
24. a)	b)
25. a)	b)
26. a)	b)
27. a)	b)
28. a)	b)
29. a)	b)
30. a)	b)

Лабораторная работа №6

Используя записанную таблично функцию из предыдущей работы ( под буквой «а»), с помощью первой и второй интерполяционной формулы Ньютона найти приближенное значение функции при заданных значениях аргумента ( ).

	x1=	x2=
1.	0,14	0,53
2.	0,16	0,47
3.	0,4	0,04
4.	0,1	0,3
5.	1,15	1,65
6.	0,95	0,38
7.	0,5	-0,42
8.
9.	1,2	5,7
10.	3,55	4,55
11.	0,5	1,45
12.	0,026	0,046
13.	0,22	0,51
14.	1,1	-3,9
15.
16.	1,23	1,75
17.		5,2
18.	0,33	0,72
19.	0,77	1,37
20.		1,55
21.	0,4	-0,42
22.	0,9	0,7
23.	19,5	1,25
24.		0,16
25.	0,39	1,74
26.		7,5
27.
28.		10,5
29.	0,8	-1
30.	0,25	-0,55

Сплайн интерполяция

Сплайн функция - сплайн - кусочно-полиномиальная функция, проходящая через заданное множество узлов интерполяции и имеющая в данной области некоторое количество непрерывных производных.

В вычислительной практике распространено использование кубических сплайнов. Приближение функции с помощью кубического сплайна должно удовлетворять следующим условиям: 1) функция - многочлен третьей степени; 2) функции , , непрерывны на заданном отрезке ; 3) , согласно условию интерполирования.

Для любого задается функция в виде многочлена третьей степени:

,

где коэффициенты, подлежащие определению.

С учетом выше перечисленных условий, а так же двух дополнительных (для концов заданного отрезка) , , коэффициенты записываются:

, ;

, , ;

,

, .

Здесь , .

В образованной системе уравнений, коэффициенты можно определить из последней строки методом прогонки. Остальные коэффициенты выражаются через найденные. Рассмотрим метод прогонки для нахождения коэффициентов . Последнее уравнение системы это уравнение (при ) вида:

, ,

где , , , .

Если привести это уравнение к виду:

, , то

, , .

В двух последних строках заключена суть метода прогонки: сначала находятся все коэффициенты (необходимо знать ), затем находятся значения (необходимо знать ). Так как , а , то . С другой стороны .

Ниже приведен пример вычисления коэффициентов полинома для функции заданной таблично. Этот же пример использован при рассмотрении полиномиальной интерполяции Лагранжа.

i	xi	fi	hi
	0,05	0,05004
	0,1	0,10034	0,05
	0,17	0,17166	0,07
	0,25	0,25534	0,08
	0,3	0,30934	0,05
	0,36	0,37640	0,06

Сначала вычисляются прогоночные коэффициенты.

i	Ai	Bi	Ci	Fi	Pi	Qi
	0,01667	0,023333	-0,08	-0,01303
	0,02333	0,026667	-0,1	-0,02718	-0,29167	0,162821
	0,02667	0,016667	-0,08667	-0,03382	-0,28614	0,250848
	0,01667	0,02	-0,07333	-0,0379	-0,21087	0,343238
					-0,28646	0,460946

Затем вычисляются коэффициенты , и все остальные коэффициенты полинома.

i	ci		di	bi	ai
					0,050042
	0,1101911		0,734607	1,009533	0,100335
	0,1804469		0,334552	1,029878	0,171657
	0,2460363		0,273289	1,063996	0,255342
	0,4609463		1,432734	1,099345	0,309336
			-2,56081	1,127002	0,376403

Для того, чтобы вычислить функцию в точке , необходимо вычислить полином

в этой точке.

, что с точностью до трех знаков после запятой совпадает с раннее вычисленным значением по интерполяционной формуле Лагранжа.

Ниже этот же пример решен с помощью системы MathCAD.