Теория релаксационного процесса в RC-цепи
Под релаксационным процессом в RC-цепях понимается процесс установления стационарного заряда конденсатора при подаче на него напряжения.
Для анализа процесса рассмотрим цепь, приведенную на рис. 1.
Пусть конденсатор предварительно заряжен зарядом
, как показано на рисунке 1. После замыкания ключа
конденсатор начнет разряжаться током
, протекающим через резистор
. Поскольку емкость
и резистор
включены параллельно, напряжение на них одно и то же:
. (1)
Так как и
, то из (1) получаем:
. (2)
Ток в цепи пропорционален заряду конденсатора
. Опираясь на этот факт, можно найти зависимость заряда конденсатора от времени. С течением времени заряд конденсатора уменьшается до нуля, причем скорость уменьшения заряда равна силе тока через конденсатор:
. (3)
Пусть время, за которое заряд конденсатора уменьшится в раз, равно
. Обозначим за
значение тока в цепи в момент времени
, а
– заряд конденсатора в тот же момент времени. Тогда для момента времени
имеем уравнение:
. (4)
Это уравнение, с точностью до обозначений, совпадает с уравнением (2), поэтому заряд уменьшится в
раз через тот же промежуток времени
. Продолжая рассуждения, по аналогии можно составить такую таблицу:
![]() | ![]() | 2 ![]() | ... | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ... | ![]() |
Из таблицы можно заключить, что зависимость заряда конденсатора от времени должна иметь вид:
. (5)
Значение , очевидно, равно заряду конденсатора в момент времени
, т.е. немедленно после замыкания ключа
.
В справедливости полученной формулы легко убедиться, если из уравнения (2) исключить силу тока с помощью уравнения (3). Уравнение для заряда будет выглядеть так:
. (6)
Подставляя из уравнения (5), получим:
. (7)
Отсюда следует, что уравнения (7) и (6) удовлетворяются, если:
. (8)
Величина называется постоянной времени
-цепи.
Зная заряд на конденсаторе, легко найти напряжение на нем, поделив заряд конденсатора на величину его емкости .
Напряжение на конденсаторе меняется по закону:
, (9)
где – значение напряжения на конденсаторе при
.
Поделив напряжение на величину резисторного сопротивления, можно найти зависимость тока в цепи от времени:
. (10)
Графики зависимостей силы тока и напряжения от времени приведены на рисунках 2 и 3.
Подобным образом можно найти зависимости тока и напряжения и для случая зарядки конденсатора в схеме, приведенной на рисунке 4.
Пусть до замыкания ключа конденсатор не заряжен. После замыкания ключа
в момент времени
в цепи возникает ток
, и конденсатор начинает заряжаться. При этом для контура выполняется второй закон Кирхгофа:
. (11)
Заменив и
, получаем:
. (12)
Так как сила тока равна скорости увеличения заряда конденсатора:
, (13)
то, дифференцируя (12) и подставляя из (13), получаем:
. (14)
Уравнение (14) совпадает с точностью до замены на
с уравнением (6). Поэтому решение уравнения (14) можно написать по аналогии с решением уравнения (6):
, (15)
где – значение тока в начальный момент времени, которое можно определить из уравнения (11), учитывая, что
при
. Тогда:
, (16)
а напряжение на резисторе меняется по закону:
. (17)
Напряжение на емкости можно найти из уравнений (11) и (17):
. (18)
Графики этих зависимостей приведены на рисунках 5 и 6.