Решение системы двух нелинейных уравнений
Дана система из двух нелинейных уравнений: 
.
Точным решением системы (корнями) является пара чисел: 
, 
.
Отделение корней. Область, в которой находятся корни, можно определить графическим способом.
Если построить графики функции y(x), удовлетворяющих этим уравнениям, в плоскости x,y , то точки пересечения этих функций (т.к.  ) будут определять корни системы уравнений. Слева представлен график двух функций (построенный в системе MathCAD), с помощью которого определяются корни системы уравнений:  |    |
Уточнение корней методом итераций. При решении системы уравнений методом итераций, она представляется в виде 
. Если за начальное приближение корней принять пару 
, то итерационный процесс выглядит, как:
, 
… 
.
Если итерационный процесс сходится, т.е. существуют пределы 
, 
, то эти пределы являются решением исходной системы уравнений.
Для метода итераций справедлива следующая теорема:
Пусть в некоторой замкнутой окрестности 
имеется одна (и только одна) пара корней 
, 
. Если:
1) функции 
, 
определены и непрерывно дифференцируемы,
2) начальные приближения и все последующие приближения принадлежат окрестности R,
3) в окрестности R выполняется условие 
, 
,
то процесс итерации сходится.
Уточнение корней методом Ньютона. Для удобства обозначений перепишем систему в виде: 
. Пусть 
- приближенные значения корней системы при 
тогда для точных корней можно записать 
, 
. Используя разложение Тейлора для функции многих переменных около 
и ограничиваясь линейными слагаемыми по 
и 
, запишем:
, 
.
Если рассматривать эти уравнения, как систему линейных уравнений относительно 
и 
, то ее определитель
.
По правилу Крамера вычисляем:
,
.
В итоге итерационные формулы принимаю вид:
, 
,
где и определяются предыдущими соотношениями. Итерационный процесс продолжается до выполнения условия: 
Лабораторная работа №4
1) С помощью метода итераций решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10-6.
2) С помощью метода Ньютона решить систему нелинейных уравнений с точностью до 10-6.
1.a) 
b) 
2.a) 
b) 
3.a) 
b) 
4.a) 
b) 
5.a) 
b) 
6.a) 
b) 
7.a) 
b) 
8.a) 
b) 
9.a) 
b) 
10.a) 
b) 
11.a) 
b) 
12.a) 
b) 
13.a) 
b) 
14.a) 
b) 
15.a) 
b) 
16.a) 
b) 
17.a) 
b) 
18.a) 
b) 
19.a) 
b) 
20.a) 
b) 
21.a) 
b) 
22.a) 
b) 
23.a) 
b) 
24.a) 
b) 
25.a) 
b) 
26.a) 
b) 
27.a) 
b) 
28.a) 
b) 
29.a) 
b) 
30.a) 
b) 
Физическая задача №1
При поиске корней уравнения 
иногда ошибочно полагают, что если мало значение функции в какой то точке 
, то соответствующее значения аргумента близко к корню. Хорошим примером, иллюстрирующим ошибочность данного подхода является, например, ситуация экспоненциально затухающих электрических колебаний 
. Из формулы отчетливо видно, что на больших временах амплитуда тока очень мала, а число корней бесконечно и все они расположены через равные интервалы.
Задача поиска корня может быть весьма полезной для поиска экстремумов функции, если искать корни ее производной.
Постановка задачи. Пусть задана функция ( 
. (1)
При определенных значениях параметров функция 
описывает распределение молекул по скоростям Максвелла.
Требуется найти максимум этой функции аналитически и с помощью поиска корня 
. Поиск корня осуществить (как минимум) двумя методами. Представить график функции. Параметры индивидуального задания задаются по формуле (1) с помощью перебора целых значений k и m (от 1 до 4) и значений коэффициента b от 0.1 до 0.5.