Теоретические сведения. Леонардом Эйлером в 1755 г

Леонардом Эйлером в 1755 г. были получены дифференциальные уравнения равновесия жидкости

(2.1)

где – градиенты давления в направлении соответствующих координатных осей; X, Y, Z – проекции единичных массовых сил на соответствующие оси; r – плотность.

После незначительных преобразований данную систему уравнений можно представить в виде уравнения:

(2.2)

Полученное уравнение (2.2) выражает приращение давления dp при изменении координат на dx, dy, dz в общем случае равновесия жидкости.

Поверхность жидкости, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью равного давления, или поверхностью уровня. Для поверхности равного давления , а с учетом, что , уравнение (2.2) примет вид

(2.3)

Уравнение (2.3) устанавливает связь между координатами свободной поверхности и действующими на жидкость массовыми силами, единичные проекции которых равны X, Y, Z.

Поверхности уровня жидкостей, соприкасающиеся с газообразной средой (чаще атмосферной), называются свободными поверхностями.

Комбинация массовых сил, действующих на жидкость, может быть разной. Если жидкость покоится в сосуде, неподвижном относительно Земли (т. е. вращением жидкости вместе с Землей можно пренебречь), то такое равновесное состояние жидкости можно назвать абсолютным покоем. При абсолютном покое жидкость находится под действием лишь одной массовой силы – силы тяжести.

Если сосуд с жидкостью находится в неравномерном или непрямолинейном движении, то на жидкость кроме сил тяжести действуют силы инерции.

Силы инерции могут быть постоянны по времени, поэтому равновесие жидкости в этом случае называется относительным покоем.

При относительном покое свободная поверхность жидкости, или поверхность уровня, принимает другие формы по сравнению с формой при абсолютном покое.

Рассмотрим формы поверхности равного давления и свободные поверхности жидкости при разных комбинациях массовых сил.

Случай 1. Жидкость находится под действием только силы тяжести.

При условии, что ось z направлена вертикально вверх, проекции силы тяжести на ось x Х = 0; на ось y Y = 0; на ось z Z = – g.

Дифференциальное уравнение (2.3) в этом случае примет вид

(2.4)

или после интегрирования

. (2.5)

Уравнение (2.5) является уравнением горизонтальной плоскости, форму которой имеют все поверхности равного давления и свободная поверхность, когда на жидкость действует только сила тяжести (рис. 2.1).

Случай 2. Жидкость находится в сосуде, который движется прямолинейно, равномерно ускоренно. На жидкость в этом случае действуют не только силы тяжести, но и силы инерции, которые характеризуются ускорением а и направлены противоположно движению. Проекции этих единичных сил на соответствующие координатные оси равны:

.

Дифференциальное уравнение (2.3) примет вид

(2.6)

или после интегрирования

(2.7)

Уравнение (2.7) является уравнением наклонной плоскости (рис. 2.2), угол наклона которой к горизонту b определяется отношением

(2.8)

Случай 3. Жидкость находится в сосуде, который равномерно вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью w (рис. 2.3).

В этом случае на жидкость действуют помимо силы тяжести и центробежные силы. Проекции ускорения этих сил на координатные оси соответственно равны: X = w² x, Y = w² y, Z = – g.

Дифференциальное уравнение (2.3) примет вид

, (2.9)

или после интегрирования

; (2.10)

(2.11)

С учетом того, что

(2.12)

окончательно получим

(2.13)

Уравнение (2.13) является уравнением параболоида вращения, кото­рый в сечении вертикальными плоскостями дает параболы, а в горизонтальной плоскости – окружности.

Положение любой точки свободной поверхности, например точки В (рис. 2.4), определяется координатой

(2.14)

где r_B – радиус точки В.

Самой высокой точкой свободной поверхности является точка на стенке резервуара D (рис. 2.4).

Ее координата соответственно будет равна

(2.15)

где R – радиус резервуара.

Рис. 2.4. Определение координат свободной поверхности

Одновременно координата z_D является высотой параболоида вращения. По отношению ко дну точка D как самая высокая точка свободной поверхности находится на расстоянии

(2.16)

Самой низкой точкой параболоида вращения является точка О на оси цилиндра (начало координат). Точка О соответствует максимальному понижению свободной поверхности по оси резервуара относительно статического уровня Н. Ее расстояние от дна резервуара

(2.17)

Следовательно, при вращении жидкость поднимается у стенки и опускается по оси резервуара по отношению к статическому уровню на одну и ту же величину . При большой угловой скорости вращения возможно оголение дна, а при недостаточной высоте стенки – переливание жидкости через нее.

Значение избыточного давления внутри жидкости при вращении согласно уравнению (2.13) определится по формуле

(2.18)

где r_i – радиус рассматриваемой i-й точки; z_i – расстояние от начала координат до рассматриваемой i-й точки (рис. 2.4).

Самое малое избыточное давление на дно будет по оси вращения в центре резервуара:

. (2.19)

Самое большое избыточное давление на дно возникает у стенки:

(2.20)

Эпюра избыточного давления на дно и стенки резервуара приведена на рис. 2.5.

Рис. 2.5. Эпюры давления