Б) большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются реже, чем малые
Именно из этих предположений следует, что при многократныхизмерениях величины х наиболее близким к ее истинному значению х0 являетсясреднее арифметическое значение:
Где n - число измерений.
Упомянутая выше теория погрешностей дает возможность найти величину случайной погрешности Dхсл, т.е. расхождение между хо и <x>. При этом исходят из следующих соображений:
Интервал значений (<x> ± Dxсл ) называют доверительным интервалом. Как видно, Dxсл - это полуширина доверительного интервала. Ее и принимают за абсолютную случайную погрешность. Полуширину доверительного интервала принимают за абсолютную погрешность и в других случаях, например, при косвенных измерениях.
В данных пределах и лежит искомое значение.
Относительная погрешность определяется по формуле:
Погрешности косвенных измерений
Косвенными называются измерения, результат которых получился на основании непосредственных измерений нескольких величин, связанных с искомой величиной определенной формулой. Например, длина пути S и время tпри равномерном движении измеряются непосредственно, а скорость вычисляется по формуле
При косвенных измерениях абсолютная и относительная погрешность результата измерения находятся вычислением через погрешности приближенных значений непосредственно измеренных величин. Для этого пользуются теоремами, которые приводятся здесь без доказательств.
N | Математическое действие | Абсолютная погрешность | Относительная погрешность |
x = a + b | Dx = Da + Db | δx = (Da + Db)/( a + b) | |
x = a - b | Dx = Da + Db | δx = (Da + Db)/( a - b) | |
x = a٠b | Dx = a٠Db + b٠Da | δx =Da/a + Db/ b | |
x = a/b | Dx = (a٠Db + b٠Da)/b2 | δx =Da/a + Db/ b | |
x = an | Dx = n٠an-1٠Da | δx =n٠Da/a | |
x = n√a | Dx = 1/n٠a(1/n) -1٠Da | δx = 1/n٠Da/a | |
x= Sinβ | Dx = Cosβ٠Dβ | δx = ctgβ٠Dβ | |
x = Cosβ | Dx = Sinβ ٠Dβ | δx = tgβ٠Dβ | |
x = tgβ | Dx = tgβ٠2٠Dβ/ Sin2β | δx =2٠Dβ/ Sin2β |
Оценка доверительного интервала методом верхних и нижних границ
В случае когда нет возможности или желания определять погрешности измеряемых величин методом среднего арифметического оценку доверительного интервала косвенных измерений можно произвести методом верхних и нижних границ. Предположим, что вычисляемая величина определяется формулой (1), где А и В – измеряемые величины, т.е. определяются с погрешностью (2), где DА и DВ максимальные абсолютные погрешности прямых измерений.
Максимальная абсолютная погрешность прямых измерений складывается из абсолютной инструментальной погрешности (погрешности прибора) ΔиА и абсолютной погрешности отсчета (она равна в большинстве случаев половине цены деления прибора)ΔоА.
ΔА = ΔиА + ΔоА