Краткие теоретические сведения
Лабораторная работа № 4
По дисциплине: «Теория и практика технического эксперимента»
На тему: «Методы оценки случайных погрешностей в измерениях»
Специальность: электроснабжение промышленных предприятий
Выполнила: Оралкызы Г. Группа МЭППп-15
№ зачетной книжки: 154М009
Принял: Айткулов Н.С.
_________________ «____ » ____________ 2015 г.
Алматы 2015
Цель работы:Приобретение практических навыков по статистической обработке результатов измерений и определению минимального числа измерений.
Краткие теоретические сведения
Анализ случайных погрешностей при измерениях основывается на теории случайных ошибок. Теория случайных ошибок, дает возможность с определенной гарантией вычислить действительное значение измеренной величины и оценить возможные ошибки при ее вычислении.
Для большой выборки и нормального закона распределения оценочными характеристиками выполненных измерений являются среднее арифметическое выборки, стандартное отклонение и средняя ошибка выборки:
(1)
где
s – Среднеквадратичное отклонение (стандартное отклонение) выборки;
n – Количество выполненных замеров.
Ошибка выборки для выборочной относительной величины (доли) определяется по выражению:
(2)
В теории ошибок достаточно важными являются понятия доверительной вероятности и доверительного интервала.
Доверительной вероятностью (достоверностью) измерения называется вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в интервал, называемый доверительным интервалом.
Доверительный интервалопределяет точность измерения и называется предельной ошибкой выборки.
Предельная ошибка выборкиопределяется по формуле:
(3)
где
- гарантийный коэффициент или нормированное отклонение.
Значения t и соответствующие им доверительные вероятности приведены в справочной литературе. При числе опытов n > 30 их значения определяются по таблице Лапласа, а при n < 30 по таблице Стьюдента.
Зная предельную ошибку выборки , можно рассчитать интервал, в котором с доверительной вероятностью находится измеряемая величина А:
(4).
Если нам заранее задана предельная ошибка измерения, то по ней можно определить доверительную вероятность попадания измеряемой величины в интервал, определяемой этой ошибкой.
Пусть, например, задана предельная ошибка то для нахождения доверительного интервала по формуле (3) находят вначале нормированное отклонение
. Для найденного значения t по таблице Лапласа определяют искомую доверительную вероятность
.
Для проведения опытов с заданной точностью и достоверностью необходимо знать то количество измерений, при котором экспериментатор будет уверен в положительном исходе. В связи с этим одной из первоочередных задач при статических методах оценки является установление минимального, но достаточного числа измерений для данных условий. Задача сводится к установлению минимального объема выборки (числа измерений) , при заданных значениях предельной ошибки выборки и заданной доверительной вероятности.
Минимальный объем выборки, определяемой гарантийным коэффициентом t, который обеспечит требуемую точность результатов измерения , определяется по формуле:
(5)
В исследованиях часто используется и такая форма записи
(6)
где
- коэффициент вариации, в %; (7)
-относительная погрешность измерительного прибора, в %.
Задания к работе
Необходимо выполнить 2 задания.
Данные к заданиям учащиеся получают с помощью программы «Исходные данные к работе 4», в которой вариант задания и исходные данные задаются с помощью генератора случайных чисел. Полученные данные заверяются подписью преподавателя, и листок с заверенными данными вкладывается (вклеивается) в отчет по работе.
Задание 1
Дано:
§ Произведено n замеров силы тока в фидере;
§ Среднее значение силы тока равно , А;
§ Вычисленное значение стандартного отклонения составило s, A; Заданная предельная ошибка измерения , А.
§ Относительная погрешность прибора , %.
Требуется:
1. Определить с какой доверительной вероятностью (достоверностью) будут оцениваться результаты измерения при заданной предельной ошибки измерения .
2. Определить минимальное количество измерений, которое необходимо выполнить в данном эксперименте с доверительной надежностью = 0,95 при использовании прибора с относительной погрешностью
.
3. Определить доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью = 0,95 попадает значение измеряемой силы тока.
Исходные данные
§ Произведено n= 24 замеров силы тока в фидере;
§ Среднее значение силы тока равно =22 А;
§ Вычисленное значение стандартного отклонения составило s=2 A;
§ Заданная предельная ошибка измерения =4 А.
§ Относительная погрешность прибора =4 %.
1. Определить с какой доверительной вероятностью (достоверностью) будут оцениваться результаты измерения при заданной предельной ошибки измерения .
Решение
По формуле (1) вычисляем среднюю ошибку выборки
По формуле (3) для предельной ошибки выборки находим нормированный коэффициент
По таблице Лапласа находим, что для t=9,79 доверительная вероятность будет равна рд=0,99.
Следовательно, для заданной ошибки измерения в данный диапазон из ста замеров будет попадать только 99.
2. Определить минимальное количество измерений, которое необходимо выполнить в данном эксперименте с доверительной надежностью = 0,95 при использовании прибора с относительной погрешностью
.
Решение
Для расчета воспользуемся формулой (6)
Неизвестное значение коэффициента вариации вычисляем по формуле (7)
3. Определить доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью = 0,95 попадает значение измеряемой силы тока.
Решение
Для расчета воспользуемся формулой (3)
Следовательно, минимальное значение тока доверительного интервала будет равно , а максимальное-
.
Рисунок 1 – Результаты задания 1
Задание 2
Дано:
На ТООс электролампового завода поступило партия из n электроламп.
Для проверки качества изделий было проведено испытание 100 ламп.
Средняя продолжительность их горения составило часов со средним квадратичным отклонением S часов.
Количество электроламп горевших менее установленного лимита составило n1 штук.
Требуется:
1. Оценить качество электроламп во всей партии с доверительной вероятностью = 0,95;
2. Определить с доверительной вероятностью = 0.95 долю ламп, срок службы которых будет меньше установленного лимита.
Исходные данные:На электроламповом заводе взято для проверки 2303 ламп. Средняя продолжительность их горения оказалась 1500 ч со средним квадратическим отклонением 52,4 ч. Количество электроламп горевших менее установленного лимита - 3 штук.
1. Оценить качество электроламп всей партии с доверительной вероятностью р = 0,95.
Решение
Средняя возможная ошибка выборки:
С вероятностью 0,95 предел возможной ошибки:
С вероятностью 0,95 можно утверждать, что средняя продолжительность горения одной электролампы во всей партии будет находиться в пределах от 1497,8 до 1502,18 ч;
Следовательно, у 2187 электроламп из 2303 продолжительность горения электролампы может находиться в пределах от 1497,8 до 1502,18 ч., а 116 электроламп из 2187 могут иметь срок горения, выходящий за эти пределы. Однако нас интересуют отклонения от вычисленных пределов только в сторону ухудшения качества продукции, т.е. сокращения продолжительности горения. Меньше 1497,8 ч могут гореть 58 ламп из 2303.
На основе этого делаем вывод, что с вероятностью р = 0,95 во всей партии можно ожидать, что меньше 1497,8 ч могут гореть 2878 ламп.
2. Определить с доверительной вероятностью = 0.95 долю ламп, срок службы которых будет меньше установленного лимита.
Решение
В соответствии с условием доля некачественных ламп составила р = 0.04 или 4%.
Средняя возможная ошибка для выборочной относительной величины (доли) определяется по формуле (2):
или ± 1,9%.
С вероятностью 0,95 предел ошибки доли
, или ±3,9%.
Следовательно, во всей партии с вероятностью р = 0,95 можно ожидать долю электроламп, срок горения которых меньше установленного лимита от 6 до 10%.
Рисунок 2 – Результаты задания 2