Оценивание погрешностей при прямых однократных измерениях

В случае пренебрежения случайной составляющей погрешности измерения суммарная неисключенная систематическая погрешность измерения оценивается по формуле 1, если каждая из суммируемых систематических погрешностей задается своими границами

(1)

где — границы неисключенной систематической погрешности измерения;

— число неисключенных систематических погрешностей;

— коэффициент, зависящий от доверительной вероятности P и числа m (Приложение 1).

Если каждая из неисключенных систематических погрешностей измерения задана доверительными границами, то суммарная неисключенная систематическая погрешность оценивается по формуле

(2)

где — доверительная граница j-ой неисключенной систематической погрешности, соответствующая доверительной вероятности ;

— коэффициент, зависящий от выбранной доверительной вероятности и закона распределения.

В рассмотренном случае за погрешность измерения принимается неисключенная систематическая погрешность, вычисленная по формулам 1 или 2. Окончательный результат измерения физической величины может быть представлен в виде:

Пример 1
оценивания погрешности однократного измерения

Измерение падения напряжения на участке измерительной цепи сопротивлением R = 4 Ом осуществляется вольтметром класса точности 0,5 с верхним пределом диапазона измерений 1,5 В. Стрелка вольтметра остановилась против цифры 0,95 В. Измерение выполняется в сухом отапливаемом помещении с температурой 30 ˚С при магнитном поле до 400 А/м. Сопротивление вольтметра 1000 Ом.

Основная погрешность вольтметра указана в приведенной форме. Следовательно, при показании вольтметра 0,95 В предел допускаемой относительной основной погрешности вольтметра на этой отметке шкалы равен:

Дополнительная погрешность из-за влияния магнитного поля дополнительная температурная погрешность обусловлена отклонением температуры от нормальной на 10 ˚С и равна

В рассматриваемом случае основная и дополнительные систематические погрешности заданы своими границами и поэтому суммарная неисключенная систематическая погрешность измерения вычисляется по формуле

При доверительной вероятности Р = 0,95 и числе неисключенных систематических погрешностей m = 3 коэффициент
k = 1,1 (Приложение 1).

Следовательно, в абсолютной форме

Оценим теперь методическую погрешность измерения. Эта погрешность определяется соотношением между сопротивлением участка цепи R и сопротивлением вольтметра . Методическая погрешность в абсолютной форме может быть вычислена по формуле

Оцененная методическая погрешность является систематической составляющей погрешности измерения и должна быть
внесена в результат измерения в виде поправки. Поэтому окончательный результат должен быть представлен в виде:

В случае оценивания погрешности измерения, состоящей из систематической и случайной составляющих погрешности, можно рекомендовать следующий порядок проведения расчетов.

Суммарная неисключенная систематическая составляющая погрешности измерения оценивается по формулам

Оценивание СКО случайной составляющей погрешности измерения проводят по формуле

(3)

где — СКО случайных составляющих погрешностей измерения (метода, оператора и т.п.);

m — число случайных составляющих погрешностей измерения.

Доверительные границы случайной составляющей погрешности измерения оцениваются по формуле

(4)

где — коэффициент, зависящий от доверительной вероятности и закона распределения.

В рассматриваемом случае за погрешность измерения принимается погрешность, вычисленная по формуле

(5)

где — неисключенная систематическая составляющая погрешности измерения, вычисленная по формулам 1 или 2;

— коэффициент, выбираемый из таблицы в зависимости от доверительной вероятности и отношения
(Приложение 2).

Окончательный результат измерения физической величины может быть представлен в виде

Пример 2
оценивания погрешности однократного измерения

Измерение падения напряжения на участке цепи осуществляется вольтметром В3-49 с диапазоном измерения от 10 мВ до 100 В. Стрелка вольтметра остановилась против цифры 40 В. Основная погрешность вольтметра в процентах от показания прибора не превышает

Температурная погрешность и погрешность от нестабильности напряжения и частоты не превышают половины основной. Среднее квадратическое отклонение не превышает одной пятой основной погрешности.

Оценить суммарную погрешность измерения падения напряжения при доверительной вероятности P = 0,95.

Основная погрешность в данном случае равна:

в относительной форме

в абсолютной форме

Дополнительные погрешности от непостоянства температуры, напряжения питания и частоты равны:

Суммарная неисключенная систематическая погрешность измерения равна:

Доверительные границы случайной составляющей погрешности измерения для доверительной вероятности 0,95 равны:

Погрешность измерения падения напряжения вольтметром ВЗ-49 равна:

Коэффициент , т.к. и доверительная вероятность P = 0,95 (Приложение 2).

Окончательный результат может быть представлен в виде:

4.4. Оценивание погрешностей при прямых
многократных измерениях

При прямых многократных измерениях погрешность измерения физической величины складывается из суммарной неисключенной систематической составляющей и случайной составляющей погрешности измерения.

Суммарная неисключенная систематическая составляющая погрешности измерения рассчитывается по формулам

или

Прежде чем оценивать СКО случайной составляющей погрешности измерения, следует проверить наличие результатов наблюдений, искаженных грубыми погрешностями, и если они есть — исключить из дальнейшей обработки. Проверку следует проводить в соответствии с приведенным далее критерием.

При рассмотрении результатов наблюдений, полученных при измерении физической величины в виде ряда иногда обнаруживается, что крайние члены (наименьший результат и наибольший ) значительно отличаются от ближайших членов. В этом случае можно предположить, что крайние члены искажены грубыми погрешностями, и возникает вопрос: не следует ли отбросить эти результаты.

Если в ходе эксперимента не было причин, заставляющих усомниться в правильности проведенных измерений, то считать эти крайние результаты промахами, основываясь только на субъективной оценке, не следует.

Правила оценки результатов наблюдений, содержащих грубые погрешности, устанавливают следующий порядок обработки результатов наблюдений.

Сначала определяют среднее арифметическое значение результатов наблюдений по формуле

Затем вычисляют оценку СКО результатов наблюдений:

Чтобы оценить результаты наблюдений находят отношения и по формулам

и

Найденные значения и сравнивают с величиной , которую выбирают из таблицы (Приложение 3) по числу наблюдений и уровню значимости

Если , считают, что результат содержит грубую погрешность и должен быть исключен. Оценка результата производится аналогичным образом.

Оценку СКО случайной составляющей погрешности измерения находят по формуле

(6)

где — i-й результат наблюдения;

— среднее арифметическое значение;

— число результатов.

Доверительные границы случайной составляющей погрешности измерения вычисляются по формуле

Границы погрешности результата измерения находят по формуле

, (7)

где

— доверительные границы случайной составляющей погрешности измерений, вычисленные по формуле 4;

— суммарная неисключенная систематическая составляющая погрешности измерения, вычисленная по формулам 1 или 2;

— оценка СКО случайной составляющей погрешности измерения, вычисленная по формуле 6;

— число составляющих неисключенных систематических погрешностей измерений;

— j-я неисключенная систематическая составляющая погрешности измерения.

Окончательный результат измерения физической величины может быть представлен в виде:

Пример оценивания погрешности
при прямых многократных измерениях

Многократные (n = 100) измерения падения напряжения
на участке электрической цепи осуществляются вольтметром
ВК7-10А/1. В рабочем диапазоне от 0 до 10 В основная
погрешность вольтметра вычисляется по формуле Дополнительная погрешность за счет временной нестабильности характеристик прибора за один час работы равна

Дополнительная погрешность, вызванная изменением напряжения питания сети на 10 % равна

Необходимо оценить погрешность измерения и записать окончательный результат в принятой форме при вероятности

После предварительной обработки измерительной информации были получены следующие результаты:

Первоначально вычислим значение основной погрешности вольтметра:

Вычислив отношение l = 0,005/0,00221 = 2,3, по графику (Приложение 1) находим коэффициент k = 1,3.

Оценим границы неисключенной систематической составляющей погрешности измерения:

Теперь оценим граничные значения случайной составляющей погрешности измерения:

Границы погрешности результата измерения следует вычислять по формуле

где при этом числитель (30,8) подкоренного выражения — сумма квадратов неисключенных систематических погрешностей

Окончательный результат измерения падения напряжения на участке электрической цепи может быть представлен в виде:

4.5. Оценивание погрешностей при косвенных
измерениях с однократным измерением аргументов

При косвенных однократных измерениях случайную составляющую погрешности измерения не рассматривают. В этом случае суммарная систематическая погрешность измерения вычисляется по формуле

(8)

где — первая частная производная от функции по –му аргументу, вычисленная в точке ;

— границы неисключенной систематической погрешности;

— коэффициент, зависящий от доверительной вероятности и числа составляющих (Приложение 1).

В рассматриваемом случае за погрешность измерения принимается неисключенная систематическая погрешность результата косвенного измерения. Окончательный результат может быть представлен в виде:

Пример оценивания погрешности
при косвенных однократных измерениях

Определить сопротивление резистора по результатам однократного измерения падения напряжения и силы электрического тока. Падение напряжения измеряется вольтметром Э 335 класса точности 1,5 с пределами измерения от 10 до 600 В. Сила электрического тока измеряется амперметром того же типа с пределами измерения от 100 мА до 50 А класса точности 1,5. Измерения проводятся в сухом отапливаемом помещении при температуре воздуха 25 ˚С.

Из паспорта средства измерения следует, что основная погрешность составляет , температурная составляет на каждые 5 ˚С и магнитная при магнитном поле до 400 А/м. Стрелка вольтметра остановилась на цифре
220 В, а стрелка амперметра — на цифре 4 А. Значение доверительной вероятности принять равным 0,95.

В рассматриваемом случае основная погрешность вольтметра равна:

Дополнительные погрешности будут равны соответственно:

и

Границы неисключенной систематической погрешности измерения падения напряжения вольтметром типа Э 335 равны

Аналогично оцениваем границы неисключенной систематической погрешности измерения силы электрического тока:

Суммарная неисключенная систематическая погрешность измерения сопротивления резистора оценивается
по формуле

Окончательный результат измерения сопротивления может быть представлен в виде:

4.6. Оценивание погрешностей при косвенных
измерениях с многократным измерением аргументов

При косвенных многократных измерениях физической величины погрешность измерения состоит из систематической и случайной составляющих погрешности измерения.

Границы суммарной неисключенной систематической составляющей погрешности измерения находят по формуле

Оценку СКО случайной составляющей погрешности косвенного измерения находят по формуле

(9)

где — СКО результатов измерения -го аргумента;

m — число составляющих аргументов.

Доверительные границы случайной составляющей погрешности косвенного измерения находят по формуле

(10)

где — коэффициент Стьюдента (Приложение 4).

В рассмотренном случае за погрешность измерения принимают погрешность, вычисленную по формуле

Окончательный результат измерения физической величины может быть представлен в виде:

Пример оценивания погрешности
при косвенных многократных измерениях
физической величины

Определить сопротивление резистора по результатам многократных (n = 100) измерений падения напряжения вольтметром ВК7-10А/1 на искомом и эталонном резисторах, включенных последовательно. Эталонный резистор класса 0,1 с номинальным значением 100 Ом.

После предварительной обработки результатов наблюдений были получены следующие данные:

Вычислим среднее арифметическое значение искомого сопротивления:

Оценка среднего квадратического отклонения результатов измерений

.

Граничные значения случайной составляющей погрешности измерения равны

Оценим теперь систематическую составляющую погрешности измерения. Для вольтметра ВК7-10А из паспорта известны следующие составляющие систематической погрешности:

Границы неисключенной систематической погрешности измерения падения напряжения равны

Границы неисключенной систематической погрешности определения сопротивления резистора равны

Так как , суммарная погрешность вычисляется по формуле

В связи с тем, что границы погрешности результата измерения резистора симметричны, окончательный результат имеет вид:

Приложение 1

Зависимость коэффициента k от доверительной
вероятности Р и числа составляющих m
неисключенных систематических погрешностей

При доверительной вероятности Р = 0,95 поправочный коэффициент k = 1,1.

При доверительной вероятности Р = 0,99 поправочный коэффициент k принимают равным 1,4, если число суммируемых составляющих m больше 4.

Если число суммируемых составляющих m равно 2 или 3 или 4, то поправочный коэффициент определяют из таблицы:

l		0,5
m = 2	0,90	1,21	1,27	1,21	1,16	1,12	1,09	1,07	1,05	1,04
m = 3	1,27	1,34	1,36	1,31	1,24	1,18	1,14	1,11	1,09	1,08
m = 4	1,36	1,39	1,41	1,36	1,28	1,23	1,17	1,15	1,13	1,10

где

При трех или четырех слагаемых в качестве принимают составляющую, по числовому значению наиболее отличающуюся от других, в качестве следует принять ближайшую к составляющую.

Приложение 2

Зависимость коэффициента от отношения
и доверительной вероятностиР

	0,8
k1P = 0,95	0,78	0,74	0,71	0,73	0,76	0,78	0,79	0,80	0,81
k1P = 0,99	0,84	0,82	0,80	0,82	0,82	0,83	0,83	0,84	0,85

Приложение 3

Предельные значения β при неизвестном СКО

Число наблюдений n	Предельные значения уровня значимости q
0,100	0,075	0,050	0,025
	1,15	1,15	1,15	1,15
	1,42	1,44	1,46	1,48
	1,60	1,64	1,67	1,72
	1,73	1,77	1,82	1,89
	1,83	1,88	1,94	2,02
	1,91	1,96	2,03	2,13
	1,98	2,04	2,11	2,21
	2,03	2,10	2,18	2,29
	2,09	2,14	2,23	2,36
	2,13	2,20	2,29	2,41
	2,17	2,24	2,33	2,47
	2,21	2,28	2,37	2,50
	2,25	2,32	2,41	2,55
	2,28	2,35	2,44	2,57
	2,31	2,38	2,48	2,62
	2,34	2,41	2,50	2,66
	2,36	2,44	2,53	2,68
	2,38	2,46	2,56	2,71

Приложение 4

Значение коэффициента t при разной доверительной
вероятности P (распределение Стьюдента)

Число наблюдений n	Значения коэффициента t при доверительной вероятности
0,90	0,95	0,98	0,99	0,999
	6,31	12,71	31,82	63,66	636,62
	2,92	4,40	6,97	9,93	31,60
	2,35	3,18	4,54	5,84	12,92
	2,13	2,78	3,75	4,60	8,61
	2,02	2,57	3,37	4,03	6,87
	1,94	2,45	3,14	3,71	5,96
	1,90	2,37	3,00	3,50	5,41
	1,86	2,31	2,90	3,36	5,04
	1,83	2,26	2,82	3,25	4,78
	1,81	2,23	2,76	3,17	4,59
	1,80	2,20	2,72	3,11	4,44
	1,78	2,18	2,68	3,06	4,32
	1,77	2,16	2,65	3,01	4,22
	1,76	2,15	2,62	2,98	4,14
	1,75	2,13	2,60	2,95	4,07
	1,75	2,12	2,58	2,92	4,02
	1,74	2,11	2,57	2,90	3,97
	1,73	2,10	2,55	2,88	3,92
	1,73	2,09	2,54	2,86	3,88
	1,65	1,96	2,33	2,58	3,29

СОДЕРЖАНИЕ

1. Основные сведения о погрешностях измерений …………
1.1. Классификация погрешностей измерений …………...
1.2. Характеристики погрешностей измерений …………..
1.3. Формы представления характеристик погрешностей измерений.………………………………….
2. Анализ погрешности измерений ………………………......
2.1. Инструментальная составляющая погрешности измерений …………………………..……………………….
2.2. Методическая составляющая погрешности измерений……………………………………………………
2.3. Погрешность оператора.………………………………
3. Расчет погрешности измерений..………………………......
4. Последовательность и содержание операций при проведении измерений ………………………………..
4.1. Подготовка к измерениям ……………………………..
4.2. Проведение измерений ………………………………..
4.3. Оценивание погрешностей при прямых однократных измерениях ………………………………………………….
4.4. Оценивание погрешностей при прямых многократных измерениях ………………………………...
4.5. Оценивание погрешностей при косвенных измерениях с однократным измерением аргументов…….
4.6. Оценивание погрешностей при косвенных измерения с многократным измерением аргументов…….
Приложения ……………………………………………………

Настоящее пособие рассмотрено на заседании кафедры 25 октября 2011 года и рекомендовано к использованию в учебном процессе для студентов НИТУ МИСИС, обучающихся по направлениям «Стандартизация и метрология» и «Управление качеством».