Методы уточнения корней

Методы решения нелинейных уравнений

Отделение корней

Дано уравнение вида Методы уточнения корней - student2.ru . Всякое значение x, обращающее в нуль функцию f(x), называется корнем функции. Из-за сложного вида функции часто возникают трудности с аналитическим решением, и в этом случае пользуются вычислительными методами для приближенного нахождения корней. Корни требуется получить с заданной наперед точностью ε.

Приближенное нахождение действительных изолированных корней проходит в два этапа: 1) отделение корней, т.е. установление как можно более тесных промежутков, на которых содержится только один корень уравнения; 2) уточнение приближенных корней с точностью ε.

Существует два способа для отделения корней: графический и аналитический. В первом случае строится график функции и находятся точки пересечения с осью абсцисс. Часто сложную функцию f(x) разбивают на две h(x), g(x) таким образом, чтобы уравнение Методы уточнения корней - student2.ru можно было заменить на Методы уточнения корней - student2.ru . В этом случае корень функции f(x) определяется из пересечения графиков двух вспомогательных функций.

Методы уточнения корней - student2.ru

Пусть Методы уточнения корней - student2.ru , тогда Методы уточнения корней - student2.ru и Методы уточнения корней - student2.ru .

Из построенного с помощью системы MathCAD графика видно, что имеются два корня: при Методы уточнения корней - student2.ru и Методы уточнения корней - student2.ru .

Для второго способа отделения корней используется следующая теорема (Больцано-Коши):

Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [a,b], т.е. Методы уточнения корней - student2.ru , то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения. Корень будет заведомо единственным, если производная f’(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (а,b).

Рассмотрим аналитический способ отделения корней для следующего примера: Методы уточнения корней - student2.ru . Требуется найти участки, на которых производная Методы уточнения корней - student2.ru сохраняет знак. Для этого необходимо вычислить корни уравнения Методы уточнения корней - student2.ru ). В промежутках между корнями знак производной сохраняется. Решая уравнение: Методы уточнения корней - student2.ru , находим три корня: Методы уточнения корней - student2.ru , Методы уточнения корней - student2.ru , Методы уточнения корней - student2.ru . Следовательно, имеются четыре интервала: Методы уточнения корней - student2.ru , Методы уточнения корней - student2.ru , Методы уточнения корней - student2.ru , Методы уточнения корней - student2.ru , на которых знак производной не меняется. Для определения промежутков, в которых содержаться корни функции f(x) , необходимо исследовать знак функции на концах интервалов. Результат такого исследования удобно представить в таблице:



X –¥ Методы уточнения корней - student2.ru Методы уточнения корней - student2.ru Методы уточнения корней - student2.ru
Sign f(x) + + +

Из таблицы видно, что все четыре корня по одному находятся внутри отдельных интервалов. Промежутки отделения корней можно сузить путем подбора. При этом необходимо следить, чтобы на концах отрезка [a,b], внутри которого ищется корень, выполнялось бы неравенство f(a)×f(b)<0. Так интервал Методы уточнения корней - student2.ru , можно заменить на интервал Методы уточнения корней - student2.ru . Заметим, что если бы функция в точке –1/5 была отрицательна, то она имела бы всего два действительных корня в интервалах Методы уточнения корней - student2.ru и Методы уточнения корней - student2.ru . Это означало бы, что у данной функции два других корня – комплексные.

Методы уточнения корней

Метод половинного деления (метод дихотомии) предназначен для уточнения значения корня на отрезке [a,b] с заданной точностью ε. Суть этого метода заключается в том, что сначала находится середина отрезка Методы уточнения корней - student2.ru , затем определяется часть отрезка, [a,с] или [с,b], внутри которого располагается корень. Если f(a)×f(с)<0 , то корень содержится внутри отрезка [a,с] и деление можно продолжить, приняв за правый конец точку с, выполнив присваивание b=c. В противном случае, когда f(с)×f(b)<0, в точку с смещается левый конец отрезка: а=с. и т.д. Процесс половинного деления следует остановить, когда длина отрезка окажется меньше заданной точности: Методы уточнения корней - student2.ru . Любая точка внутри такого отрезка – искомое решение.

Ниже приведены результаты уточнение корня рассмотренной выше функции на интервале Методы уточнения корней - student2.ru , с точностью Методы уточнения корней - student2.ru .

Вычисления с помощью электронных таблиц можно проводить, вручную, отслеживая знак произведений f(a)×f(с) и f(с)×f(b). Процесс можно автоматизировать если Методы уточнения корней - student2.ru

использовать условную функцию «ЕСЛИ». В данном примере в ячейках третьей строки таблицы записаны следующие формулы:

A B C D
=ЕСЛИ(D2=D3;A2;C2) =ЕСЛИ(E2=E3;B2;C2) =(A3+B3)/2 =ЕСЛИ(D2*F2<0;D2;F2)
E F G
=ЕСЛИ(E2*F2<0;E2;F2) =5/4*C3^4+1/3*C3^3-5*C3^2-2*C3+1 =ABS(A3-B3)

нижние строки заполняются с помощью копирования.

  Вычисления с помощью MathCAD удобнее производить, используя программирование. Слева приведен пример такой программы. Методы уточнения корней - student2.ru Методы уточнения корней - student2.ru Методы уточнения корней - student2.ru

Наши рекомендации