Полиномиальная интерполяция

Интерполирование функций

Постановка задачи

В некоторой ограниченной области значений на плоскости (x,y) заданы n+1 точка: {x₀, y₀; x₁,y₁; … x_n,y_n}, (где x_i расположены в порядке возрастания) отражающие в дискретном виде функциональную зависимость y от x. Эти точки называются узлами интерполяции. Решить задачу интерполирования, это значит найти значение y(x) для промежуточных значений x. Задача интерполирования решается путем построения интерполяционной функции F(x), такой, что , , … , . Иначе говоря – проходящей через все узлы интерполяции. После этого искомое значение y(x) вычисляется как значение F(x).

Если приближенное значение зависимости ищется за пределами области, т.е. при , то это называют экстраполирование.

Полиномиальная интерполяция

Если в качестве интерполяционной функции строится алгебраический многочлен – полином, то говорят о полиномиальной интерполяции. Согласно теореме единственности, через точку можно провести только один полином n-ой степени. Этот полином может иметь различную форму записи. Различают записи с помощью формул Ньютона и Лагранжа.

Полином Лагранжа. Наиболее общим вариантом интерполяционного полинома является полином Ланранжа. Он может быть получен при переменном шаге по x между узлами интерполяции. Не допускается лишь совпадение x-координат узлов.

Для построения интерполяционного полинома Лагранжа используется базис, составленный из полиномов n-ой степени: (x) (i=0,n), удовлетворяющих условиям: ; при . P_i(x) имеет следующий вид:

.

Интерполяционный полином Лагранжа строится в виде:

,

Нетрудно показать, что он проходит через все узлы интерполяции: .

Полином можно записать в общем виде:

.

Иногда его записывают как

, где ,

.

В следующем примере приведены вычисления с помощью формулы Лагранжа (неравноотстоящие узлы) функции в точке .

Произведение последнего столбца таблицы дает . Вычисление приведено ниже.

Окончательно .

В случае равноотстоящих узлов интерполяционную формулу Лагранжа можно преобразовать к следующей форме:

,

где , , .

Интерполяционные полиномы Ньютона. Полиномиальная интерполяция по Ньютону производится при равноотстоящих по x узлах интерполяции. Первая интерполяционная формула Ньютона строится в виде:

,

где коэффициенты определяются из соотношения , ( ).

При нахождении коэффициентов используется понятие конечной разности. Для функции :

- первая конечная разность,

- вторая конечная разность. В узловых точках имеем:

, .

Аналогично для конечных разностей высших порядков .

Итоговая формула, которая называется первой интерполяционной формулой Ньютона (в случае равноотстоящих узлов) имеет вид:

,

где , h - шаг (расстояние между соседними точками). При малых q членами высоких порядков в формуле можно пренебречь, поэтому первую формулу Ньютон обычно используют в случае, когда x близка к х₀.

Ниже в таблице приведен пример таблично заданной функции и ее конечных разностей (до третьего порядка). Используя данную таблицу и формулу Ньютона (ограничиваясь членами третьего порядка по q) можно вычислить функцию, например, в точке .

i	xi	yi	Dyi	D2yi	D3yi
	1,5	3,247495	1,6618	0,27737	0,0761
		4,909297	1,93917	0,35347	0,11198
	2,5	6,848472	2,29265	0,46545	0,12044
		9,14112	2,7581	0,58588	0,09941
	3,5	11,89922	3,34398	0,68529	0,05404
		15,2432	4,02927	0,73933	-0,0046
	4,5	19,27247	4,76861	0,73478	-0,062
		24,04108	5,50338	0,67274
	5,5	29,54446	6,17612
		35,72058

Тогда , .

Примечание. При вычислениях, в качестве х₀ лучше выбирать ближайшую точку к х. Например, для точки удобней выбрать

, тогда соответственно , …

При вычислениях значений функции, близких к концу таблицы, первая формула Ньютона может оказаться мало пригодной из-за того, что члены высоких порядков велики и их нельзя сократить. В этом случае используют вторую формулу Ньютона, которая получается, если полином искать в виде:

Вторая интерполяционная формула Ньютона имеет вид:

,

где .

Вычислим функцию в точке , тогда , , , , …

и, в результате (с точностью до третьего порядка по q) .