Полиномиальная интерполяция

Интерполирование функций

Постановка задачи

В некоторой ограниченной области значений Полиномиальная интерполяция - student2.ru на плоскости (x,y) заданы n+1 точка: {x0, y0; x1,y1; … xn,yn}, (где xi расположены в порядке возрастания) отражающие в дискретном виде функциональную зависимость y от x. Эти точки называются узлами интерполяции. Решить задачу интерполирования, это значит найти значение y(x) для промежуточных значений x. Задача интерполирования решается путем построения интерполяционной функции F(x), такой, что Полиномиальная интерполяция - student2.ru , Полиномиальная интерполяция - student2.ru , … , Полиномиальная интерполяция - student2.ru . Иначе говоря – проходящей через все узлы интерполяции. После этого искомое значение y(x) вычисляется как значение F(x).

Если приближенное значение зависимости ищется за пределами области, т.е. при Полиномиальная интерполяция - student2.ru , то это называют экстраполирование.

Полиномиальная интерполяция

Если в качестве интерполяционной функции строится алгебраический многочлен – полином, то говорят о полиномиальной интерполяции. Согласно теореме единственности, через Полиномиальная интерполяция - student2.ru точку можно провести только один полином n-ой степени. Этот полином может иметь различную форму записи. Различают записи с помощью формул Ньютона и Лагранжа.

Полином Лагранжа. Наиболее общим вариантом интерполяционного полинома является полином Ланранжа. Он может быть получен при переменном шаге по x между узлами интерполяции. Не допускается лишь совпадение x-координат узлов.

Для построения интерполяционного полинома Лагранжа используется базис, составленный из полиномов n-ой степени: Полиномиальная интерполяция - student2.ru (x) (i=0,n), удовлетворяющих условиям: Полиномиальная интерполяция - student2.ru ; Полиномиальная интерполяция - student2.ru при Полиномиальная интерполяция - student2.ru . Pi(x) имеет следующий вид:

Полиномиальная интерполяция - student2.ru .

Интерполяционный полином Лагранжа Полиномиальная интерполяция - student2.ru строится в виде:

Полиномиальная интерполяция - student2.ru ,

Нетрудно показать, что он проходит через все узлы интерполяции: Полиномиальная интерполяция - student2.ru .

Полином можно записать в общем виде:

Полиномиальная интерполяция - student2.ru .

Иногда его записывают как

Полиномиальная интерполяция - student2.ru , где Полиномиальная интерполяция - student2.ru ,

Полиномиальная интерполяция - student2.ru .

В следующем примере приведены вычисления с помощью формулы Лагранжа (неравноотстоящие узлы) функции в точке Полиномиальная интерполяция - student2.ru . Полиномиальная интерполяция - student2.ru

Полиномиальная интерполяция - student2.ru Произведение последнего столбца таблицы дает Полиномиальная интерполяция - student2.ru . Вычисление Полиномиальная интерполяция - student2.ru приведено ниже.

Окончательно Полиномиальная интерполяция - student2.ru .

В случае равноотстоящих узлов интерполяционную формулу Лагранжа можно преобразовать к следующей форме:

Полиномиальная интерполяция - student2.ru ,

где Полиномиальная интерполяция - student2.ru , Полиномиальная интерполяция - student2.ru , Полиномиальная интерполяция - student2.ru .

Интерполяционные полиномы Ньютона. Полиномиальная интерполяция по Ньютону производится при равноотстоящих по x узлах интерполяции. Первая интерполяционная формула Ньютона строится в виде:

Полиномиальная интерполяция - student2.ru ,

где коэффициенты Полиномиальная интерполяция - student2.ru определяются из соотношения Полиномиальная интерполяция - student2.ru , ( Полиномиальная интерполяция - student2.ru ).

При нахождении коэффициентов используется понятие конечной разности. Для функции Полиномиальная интерполяция - student2.ru :

Полиномиальная интерполяция - student2.ru - первая конечная разность,

Полиномиальная интерполяция - student2.ru - вторая конечная разность. В узловых точках имеем:

Полиномиальная интерполяция - student2.ru , Полиномиальная интерполяция - student2.ru .

Аналогично для конечных разностей высших порядков Полиномиальная интерполяция - student2.ru .

Итоговая формула, которая называется первой интерполяционной формулой Ньютона (в случае равноотстоящих узлов) имеет вид:

Полиномиальная интерполяция - student2.ru ,

где Полиномиальная интерполяция - student2.ru , h - шаг (расстояние между соседними точками). При малых q членами высоких порядков в формуле можно пренебречь, поэтому первую формулу Ньютон обычно используют в случае, когда x близка к х0.

Ниже в таблице приведен пример таблично заданной функции и ее конечных разностей (до третьего порядка). Используя данную таблицу и формулу Ньютона (ограничиваясь членами третьего порядка по q) можно вычислить функцию, например, в точке Полиномиальная интерполяция - student2.ru .

i xi yi Dyi D2yi D3yi
1,5 3,247495 1,6618 0,27737 0,0761
4,909297 1,93917 0,35347 0,11198
2,5 6,848472 2,29265 0,46545 0,12044
9,14112 2,7581 0,58588 0,09941
3,5 11,89922 3,34398 0,68529 0,05404
15,2432 4,02927 0,73933 -0,0046
4,5 19,27247 4,76861 0,73478 -0,062
24,04108 5,50338 0,67274  
5,5 29,54446 6,17612    
35,72058      

Тогда Полиномиальная интерполяция - student2.ru , Полиномиальная интерполяция - student2.ru .

Примечание. При вычислениях, в качестве х0 лучше выбирать ближайшую точку к х. Например, для точки Полиномиальная интерполяция - student2.ru удобней выбрать

Полиномиальная интерполяция - student2.ru , тогда соответственно Полиномиальная интерполяция - student2.ru , Полиномиальная интерполяция - student2.ru

При вычислениях значений функции, близких к концу таблицы, первая формула Ньютона может оказаться мало пригодной из-за того, что члены высоких порядков велики и их нельзя сократить. В этом случае используют вторую формулу Ньютона, которая получается, если полином искать в виде:

Полиномиальная интерполяция - student2.ru

Вторая интерполяционная формула Ньютона имеет вид:

Полиномиальная интерполяция - student2.ru ,

где Полиномиальная интерполяция - student2.ru .

Вычислим функцию в точке Полиномиальная интерполяция - student2.ru , тогда Полиномиальная интерполяция - student2.ru , Полиномиальная интерполяция - student2.ru , Полиномиальная интерполяция - student2.ru , Полиномиальная интерполяция - student2.ru , Полиномиальная интерполяция - student2.ru

и, в результате (с точностью до третьего порядка по q) Полиномиальная интерполяция - student2.ru .

Наши рекомендации