Потери напора по длине при ламинарном режиме движения

Рассмотрим установившееся ламинарное движение жидкости в цилиндрической трубе радиусом r₀ (рис. 6.2).

Совместим ось X с осью трубы, а ось Z направим по радиусу трубы. Тогда u – скорость движения слоя жидкости dr на расстоянии r от оси трубы; u_max – максимальная скорость движения по оси трубы; v – средняя скорость потока; t – касательные напряжения по радиусу r; t₀ – касательные напряжения на стенке трубы.

Рис. 6.2. Распределение касательных напряжений и скоростей

При ламинарном режиме слои жидкости движутся параллельно друг другу. Стенки труб, вдоль которых происходит движение, за счет сил межмолекулярного сцепления будут покрываться прилипшими к ним частицами жидкости. Первый пристенный движущийся слой жидкости будет скользить по частицам, прилипшим к стенке. Так как теория ламинарного движения основывается на законе Ньютона о трении внутри жидкости и трение между слоями движущейся жидкости является единственным источником потерь энергии, то величину касательных напряжений можно определить по зависимости Н. П. Петрова

, (6.1)

где m – коэффициент динамической вязкости; – градиент скорости.

Знак минус принят потому, что u уменьшается с увеличением r. Вместе с тем величину касательных напряжений можно определить из основного уравнения равномерного движения

, (6.2)

где r – плотность жидкости; I – гидравлический уклон; R – гидравлический радиус; g – ускорение свободного падения.

Приравняем правые части уравнений (6.1) и (6.2):

. (6.3)

Гидравлический радиус для цилиндрической трубы равен , подставляя его в уравнение (6.3), получим

. (6.4)

Из уравнения (6.4) выразим

, (6.5)

после интегрирования уравнения (6.5) получим

. (6.6)

Постоянная интегрирования C определяется из условия равенства нулю скорости u у стенок трубы при r = r₀:

. (6.7)

Окончательно, подставив значение C в уравнение (6.6), получим уравнение, выражающее закон распределения скоростей при ламинарном режиме,

, (6.8)

где n – коэффициент кинематической вязкости.

Уравнение (6.8), известное как формула Стокса[4], представляет собой уравнение параболы, имеющей максимум при , т. е. по оси трубы

. (6.9)

Зная закон распределения скорости по живому сечению трубы, получим зависимость для определения расхода

. (6.10)

Зависимость (6.10), определяющая расход, носит название формулы Пуазейля[5].

Так как , получаем

, (6.11)

т. е. средняя скорость в трубе при ламинарном режиме равна половине максимальной скорости, наблюдаемой на оси. Преобразуем зависимость (6.11)

, (6.12)

откуда , (6.13)

где h_l – потери напора по длине.

Зависимость (6.13), определяющая величину потерь напора при ламинарном режиме движения, показывает, что потери напора при ламинарном режиме пропорциональны первой степени средней скорости, зависят от рода жидкости, обратно пропорциональны площади сечения трубы и не зависят от шероховатости стенок трубы.

Преобразуем зависимость (6.13), умножив числитель и знаменатель на и перегруппировав сомножители:

.

Учитывая, что , и обозначив , окончательно получим

, (6.14)

где l – коэффициент гидравлического трения.

Зависимость (6.14) называется формулой Дарси – Вейсбаха. Коэффициент l при ламинарном режиме является функцией только числа Re и с увеличением Re l уменьшается. Если в логарифмических координатах по вертикальной оси откладывать коэффициент гидравлического трения l, а по горизонтальной оси – число Re, то зависимость выразится в виде прямой ниспадающей линии.

6.2.3. Потери напора по длине при турбулентном режиме
движения воды

Для турбулентного режима характерно не только продольное перемещение частиц жидкости в направлении основного течения, но и поперечное движение в направлении, нормальном основному течению. Поэтому в турбулентном потоке имеет место непрерывный процесс перемешивания. Скорость течения в отдельных точках изменяется при этом как по величине, так и по направлению, сохраняя за достаточно долгий промежуток времени постоянную величину и направление. Это явление называется пульсацией скорости. Если в фиксированной точке потока измерить и записать пульсации скорости во времени, то можно увидеть, что скорость хаотично колеблется около некоторого осредненного по времени значения.

Разность между фактической мгновенной скоростью u и осредненной скоростью u_ср в данной точке называется пульсационной добавкой, или скоростью пульсации, величина которой изменяется во времени от максимального отрицательного до максимального положительного значения (рис. 6.3).

Процесс непрерывного перемешивания в турбулентном потоке вызывает дополнительное трение между отдельными частицами, которое оказывается во много раз больше, чем трение при ламинарном режиме движения жидкости.

При исследовании турбулентного режима было установлено:

1) скорости на поверхности стенки равны нулю вследствие прилипания частиц к стенке;

2) на весьма малом расстоянии от поверхности стенки (в пределах пограничного слоя) наблюдается резкое увеличение скорости;

3) по мере приближения к оси трубопровода скорость нарастает медленнее, подчиняясь различным законам распределения в зависимости от турбулентности потока.

На основании результатов экспериментальных исследований и теоретических предположений Прандтля[6], Кармана, Никурадзе было установлено, что при турбулентном режиме большая часть потока занята турбулентным ядром, а у стенок трубы имеется тонкий, так называемый пограничный, слой (рис. 6.4).

В части этого слоя непосредственно у стенки имеет место ламинарный режим движения, поэтому эту часть пограничного слоя называют ламинарной пленкой. Непосредственно за ламинарной пленкой располагается тонкий слой жидкости, который представляет собой переходную зону от ламинарного режима к турбулентному. Таким образом, пограничный слой – это совокупность ламинарной пленки и переходной зоны.

В пограничном слое возникают вихри, которые проникают в турбулентное ядро, увеличивая интенсивность перемешивания отдельных частиц жидкости, вызывая поперечные токи. Гашение энергии, заключенной в вихрях, вызывает образование дополнительных потерь напора. При турбулентном режиме движения в отличие от ламинарного, кроме напряжения сил трения, обусловленных физическими свойствами жидкости, возникают еще дополнительные напряжения, определяемые турбулентностью потока. Однако необходимо отметить, что для турбулентного режима не существует достаточно строгой и точной теории ввиду сложности турбулентного течения и трудностей его аналитического исследования.

Согласно теории Прандтля, суммарное напряжение трения в турбулентном потоке определяется по формуле

, (6.15)

где – турбулентные касательные напряжения; l – длина пути перемешивания.

При турбулентном режиме t₂ оказывается много больше t₁, поэтому преимущественное значение имеют потери напора, возникающие в результате перемешивания.

Л. Прандтль предположил, что длина пути перемешивания пропорциональна расстоянию от стенки, т. е. . Тогда касательное пульсационное напряжение t₂ принимает вид:

. (6.16)

Из уравнения (6.16) выразим

. (6.17)

Для области потока около стенки переменное касательное напряжение t можно заменить постоянным напряжением трения на стенке t₀. Величина , имеющая размерность скорости, называется динамической скоростью, или скоростью среза, и обозначается . С учетом вышесказанного уравнение (6.17) примет вид

. (6.18)

После интегрирования уравнения (6.18) и определения постоянной интегрирования из условия, что при , имеем

. (6.19)

Если принять b = 0,4 и перейти к десятичным логарифмам, то

. (6.20)

Основной расчетной формулой для потерь напора по длине при турбулентном режиме является формула Дарси – Вейсбаха

, (6.21)

где l – коэффициент гидравлического трения при турбулентном режиме, установление значения которого составляет одну из сложнейших проблем механики жидкости, не имеющую до настоящего времени полного теоретического решения.

Согласно закону гидродинамического подобия, коэффициент гидравлического трения при турбулентном режиме, так же как и при ламинарном, является функцией основного критерия подобия напорных потоков – числа Рейнольдса. Но, как показали экспериментальные исследования, на потери напора существенное влияние оказывает шероховатость поверхности, которая оценивается высотой выступов и называется абсолютной шероховатостью D (рис. 6.5).

Однако дальнейшие исследования выявили, что на величину сопротивления существенно влияет характер расположения выступов и их форма. Поэтому было введено понятие о гидравлически эквивалентной шероховатости

, (6.22)

где j – коэффициент, зависящий от характера расположения выступов и их формы.

В настоящее время используют понятие относительной шероховатости и . Когда шероховатость трубы не влияет на ее сопротивление, т. е. когда толщина ламинарной пленки у стенки больше абсолютной шероховатости, трубу называют гидравлически «гладкой», и l является функцией лишь числа Рейнольдса . Относительная шероховатость сказывается только на размерах области, в пределах которой труба считается гидравлически «гладкой».

Существует ряд эмпирических и полуэмпирических формул, выражающих эту функцию для турбулентного режима в области гидравлически «гладких» труб.

Это формула Конакова . (6.23)

Формула Прандтля . (6.24)

Формула Блазиуса . (6.25)

С увеличением числа Re ламинарная пленка становится тоньше, неровности начинают «обнажаться», труба становится гидравлически «шероховатой». В этом случае l является функцией не только числа Re, но и относительной шероховатости .

Для «шероховатых» труб коэффициент гидравлического сопротивления определяется:

по формуле Альтшуля ; (6.26)

формуле Кольбрука . (6.27)

И, наконец, при больших числах Re толщина ламинарной пленки очень мала, выступы шероховатости обтекаются турбулентным потоком с вихреобразованием за каждым выступом. Коэффициент гидравлического трения в этом случае не зависит от числа Рейнольдса, а определяется только относительной эквивалентной шероховатостью. Потери напора пропорциональны скорости во второй степени.

Для этих условий коэффициент гидравлического трения определяется:

по формуле Никурадзе ; (6.28)

формуле Шифринсона (6.29)

и другим.

Наиболее полные исследования по определению зависимости коэффициента l от числа Рейнольдса и от относительной шероховатости были выполнены И. Никурадзе.

И. Никурадзе испытал ряд труб с искусственно созданной шероховатостью на их внутренней поверхности. Шероховатость была получена путем приклейки песчинок определенного размера, полученных просеиванием через сита. Такая шероховатость называется равномерно зернистой. Испытания были проведены при широком диапазоне относительных шероховатостей , а также чисел Рейнольдса .

Данные опытов И. Никурадзе изобразил на графике, где по оси абсцисс откладывались логарифмы величин Re, а по оси ординат – логарифмы 100 l при различных значениях относитель­ных шероховатостей (рис. 6.6).

Рис. 6.6. График Никурадзе

При Re < 2300 (lgRe < 3,36) – прямая 1 – имеет место ламинарный режим и l зависит только от числа Рейнольдса и не зависит от шероховатости стенок.

При – участок 2 – наблюдается быстрый переход от ламинарного режима к турбулентному. Далее начинается прямая 3, характеризующая зависимость l от числа Рейнольдса для гидравлически «гладких» труб, у которых величина выступов шероховатостей меньше толщины ламинарной пристенной пленки. Далее кривые зависимости l от Re расходятся. Участки кривых 4 характеризуют собой переход от гидравлически «гладких» труб к гидравлически «шероховатым» трубам 5, т. е. в зоне 4–5 коэффициент гидравлического трения l зависит как от шероховатости, так и от Re.

Последняя область 5 представлена линиями, параллельными оси абсцисс, что свидетельствует о том, что здесь коэффициент гидравлического трения зависит только от шероховатости. Эту область обычно называют областью квадратичного сопротивления, так как потери напора по длине пропорциональны квадрату скорости.

Для труб с естественной шероховатостью закон изменения l от Re получается несколько иным, без подъема кривых после отклонения их от линии гладких труб. Различие объясняется тем, что в трубах с естественной шероховатостью выступы шероховатости имеют различную высоту и при увеличении числа Рейнольдса начинают выступать за пределы ламинарного слоя не одновременно, а при разных Re. Поэтому переход от линии «гладких» труб к горизонтальным прямым, соответствующим квадратичному закону, происходит более плавно, без провала кривых, что наглядно представлено на графике Г. А. Мурина (рис. 6.7).

Рис. 6.7. График Мурина