Обработка косвенных измерений

Теоретические сведения.

При косвенных измерениях значение искомой вели­чины получают на основании известной зависимости, связывающей ее с другими величинами, подвергаемыми прямым измерениям.

Методика обработки результатов косвенных измерений приведена в документе МИ 2083−90 «ГСИ. Измерения косвен­ные. Определение результатов измерений и оценивание их по­грешностей».

В общем случае косвенно измеряемая величина представляет собой некоторую функцию

, где j = 1 ,…, m, (3.1)

где х₁, х₂, …, х_j, …, х_m – значения, полученные при прямых измерениях, m – число измеряемых неизвестных величин.

Если величины х₁, х₂, …, х_m измерены n раз с погрешностью Δх₁, Δх₂, …, Δх_j, …, Δх_m, то искомая величина Z будет иметь погрешность, равную:

. (3.2)

Разложив правую часть уравнения в ряд Тейлора и, ограничившись членами 1-го порядка, получим:

. (3.3)

Каждая из величин х_j измерена с некоторой погрешностью ∆х_j. Полагая, что погрешности ∆х_j малы, можно заменить ∂х_j на ∆х_j:

(3.4)

Математическое ожидание М(∆_Z) и дисперсия σ²(∆_Z) погрешности ∆_Z, если величины х_j измерены со случайными погрешностями ∆_j, имеющими нулевые математические ожидания М(∆х_j) = 0 и дисперсии , принимая во внимание (3.4) определяем по формуле:

; (3.5)

, (3.6)

где r_ij – коэффициенты корреляции погрешностей всех испытаний j и i, кроме i = j.

Если погрешности ∆х_j некоррелированы (т.е. коэффициенты корреляции r_ij = 0), то согласно теореме о сложении дисперсий [1]:

. (3.7)

При ограниченном числе измерений (n ¹ ¥) оценкой истинного значения физической величины Z, определяемой как функция случайных величин (аргументов), может служить ее значение , полученное после выполнения вычислительных операций со средними арифметическими значениями аргументов в соответствии с этой функцией, т.е.

. (3.8)

При этом в соотношениях (3.6) и (3.7) необходимо использовать оценки дисперсий , т.е. формулу (3.7) можно записать в виде

. (3.9)

Систематическая погрешность результата косвенного измерения определяется систематическими погрешностями результатов измере­ний аргументов. При измерениях последние стремятся исключить. Однако полностью это сделать не удается, всегда остаются неисключенные систематические погрешности, которые рассматриваются как реализации случайной величины, имеющей равномерное рас­пределение.

Доверительные границы неисключенной систематической по­грешности результата косвенного измерения θ_Р в слу­чае, если неисключенные систематические погрешности аргумен­тов заданы границами θ_j, вычисляют по формуле

, (3.10)

где k – поправочный коэффициент, определяемый принятой дове­рительной вероятностью Р и числом m составляющих θ_j. Его зна­чения приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1

Значение коэффициента k

P	0,9	0,95	0,98	0,99
k	0,95	1,1	1,3	1,4

Доверительную границу случайной погрешности результата косвенного измерения вычисляют по формуле

. (3.11)

В выражении (3.11) коэффициент Стьюдента t_Р определяется по таблице 4 (приложение Б) для принятого или заданного значения доверительной вероятности и известного эффективного числа степеней свободы k_эф, которое определяется по формуле

, (3.12)

где n_j – число наблюдений, выполненное при измерении j-го аргумента.

При большом числе измерений (более 25–30), выполненных при нахождении каждого из аргументов, доверительную границу случайной погрешности результата косвенного измерения можно определить по формуле

, (3.13)

где z_р – квантиль нормального распределения, соответствующий выбранной доверительной вероятности Р (табл. 1, приложение Б).

Суммарная погрешность ре­зультата кос­венного измерения оценивается на основе компо­зиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей. Формулы для ее расчета в зависимости от соотношения границ не­исключенной систематической составляющей и СКО случайной со­ставляющей погрешности приведены в таблице 3.2.

Таблица 3.2