Решение обратных геодезических задач - 1

Пункты P Ti	XP, м	YP, м	tgr
XTi, м	YTi, м	r	β
∆Xi, м	∆Yi, м	α	Si, м
P	+ 45 587.500	+ 35 640.700	+ 0.374 993
Т1	+ 49 052,900	+ 36 940,200	CB: 20°33'20.46"	0°00'00,00"
	+ 3 465,400	+ 1 299,500	20°33'20.46"	3 701.040
P	+ 45 587.500	+ 35 640.700
Т2	+ 45 587.500	+ 35 640.700		0°00'00,00"
	0.000	0.000		0.000
P	+ 45 587.500	+ 35 640.700	- 0.620 446
Т3	+ 49 326.100	+ 33 321.100	СЗ: 31°49'02.55"	307°37'37.00"
	+ 3 738.600	- 2 319.600	328°10'57.45"	4 399.736

Таблица 9

Решение обратных геодезических задач - 2

Пункты P' Ti	XP', м	YP', м	tgr'
XTi, м	YTi, м	r'	β
∆X'i, м	∆Y'i, м	α'	Si, м
P'	+ 48 676.473	+ 35 359.278	+ 4.199 812
Т1	+ 49 052,900	+ 36 940,200	CB: 76°36'24.93"	0°00'00,00"
	+ 376.427	+ 1 580.922	76°36'24.93"	1 625.119
P'	+ 48 676.473	+ 35 359.278	- 0.091 105
Т2	+ 45 587.500	+ 35 640.700	ЮВ: 5°12'20.06"	98°11'15,00"
	- 3 088.973	+ 281.422	174°47'39.93"	3 101.766
P'	+ 48 676.473	+ 35 359.278	- 3.137 461
Т3	+ 49 326.100	+ 33 321.100	СЗ: 72°19'17.07"	112°53'03.00"
	+ 649.627	- 2 038.178	287°40'42.93"	2 139,202

Анализ результатов вычисления в табл. 8 и 9 позволяет сделать выводы: 1) точка P' является искомой; 2) решение задачи достоверно - точка P и точка Т3 - одна и та же.

- 25 -

Оценка точности результатов полевых измерений по определению координат точки Р из обратной однократной засечки - задачи Потенота (формула 56)

При значении средней квадратической ошибки измерения горизонтальных углов, равной , м.

Приближённые координаты точки Р:

X₀ = + 48 676,473 м, Y₀ = + 35 359,278 м.

Уравнивание обратной многократной засечки

По измеренным углам параметрическим способом

Рис. 7. Сема обратной многократной геодезической засечки

Уравнительные вычисления выполняют в следующей последовательности.

Составляют параметрические уравнения поправок, которые имеют вид

; . (59)

Для вычисления коэффициентов A_i, B_i и свободных членов l_i, этих уравнений необходимо иметь приближённые дирекционные углы α_0,iлиний с определяемого пункта на опорные и соответствующие расстояния между ними S_0,i. Эти величины вычисляют из решения обратных геодезических задач в таблице 11. Приближённые координаты X_P0, Y_P0 берут из решения задачи Потенота. Вычисления выполнять с округлением до 0,1" и 0,001 м.

- 26 -

Таблица 10

Исходные данные и измеренные величины

(взяты из предыдущего примера)

X₀ = + 48 676,473 м, Y₀ = + 35 359,278 м.

№ пунктов	XT, м	YT, м	Измеренные углы β'
T1	+ 49 326.100	+ 33 321.100	0°00'00.0"
T2	+ 51 864.400	+ 34 024.600	49 36 32.0
T3	+ 49 052.900	+ 36 940.200	148 56 12.0
T4	+ 45 587.500	+ 35 640.700	247 07 27.0

Таблица 11

Решение обратных геодезических задач

I. По приближённым координатам X₀,Y₀ определяемого пункта

Пункты P Ti	X0, м	Y0, м	tgr
XTi, м	YTi, м	r	β 0,i
∆Xi, м	∆Yi, м	α 0,i	Si, м
P	+ 48 676.473	+ 35 359.278	- 3,137 459
Т1	+ 49 326,100	+ 33 321,100	CЗ: 72°19'17.0"	0°00'00,0"
	+ 649,627	- 2 038,178	287°40'43.0"	2 139,202
P	+ 48 676.473	+ 35 359.278	- 0,418 666
Т2	+ 51 864,400	+ 34 024,600	CЗ: 22°43'02.7"	49°36'14,3"
	+ 3 187,927	- 1 334,678	337°16'57.3"	3 456,045
P	+ 48 676.473	+ 35 359.278	+ 4,199 810
Т3	+ 49 052.900	+ 36 940.200	СВ: 76°36'24.9"	148°55'41.9"
	+ 376,427	+ 1 580,922	76°36'24.9"	1 625,119
Р	+ 48 676.473	+ 35 359.278	- 0,091 105
Т4	+ 45 587,500	+ 35 640,700	ЮЗ: 5°12'20.1"	247°06'56.9"
	- 3 088,973	+ 281,422	174°47'39.9"	3 101,766

Здесь же вычисляют приближённые значения измеренных углов

. (60)

В таблице 12 находят свободные члены уравнений поправок

. (61)

- 27 -

Таблица 12

Вычисление свободных членов уравнений поправок

№ пунк-тов	Прибли- женные дирекцион- ные углы α0,i	Вычислен- ные углы β0,i = = α0,i+1 - α0,i	Измерен- ные углы β'i	Свобод-ные члены li	lili
T1	287°40'43.0"	0°00'00.0"	0°00'00.0"	+ 0.00	0.00
T2	337 16 57.3	49 36 14.3	49 36 32.0	- 17.70	313.20
T3	76 36 24.9	148 55 41.9	148 56 12.0	- 30.06	903.74
T4	174 47 39.9	247 06 56.9	247 07 27.0	- 30.07	903.99
			Σ	- 77.83	2120.92

Коэффициенты для уравнения поправок A_i и B_i вычисляют в табл. 13. Для этого по аргументам α_0,i (округлённым до 1') вычисляют по формулам

; . (62)

величины (α)_i и (b)_i , затем по формулам

; (63)

Вычисляют величины a_i и b_i, а по последним, из выражений

(64)

получают коэффициенты уравнений поправок. Здесь же вычисляют контрольные суммы

(65)

и составляют контрольные равенства по столбцу

и по строке

.

- 28 -

2.2. Составляют и решают нормальные уравнения. Два нормальных уравнения при уравнивании обратной многократной засечки имеют вид

. (66)

Коэффициенты и свободные члены нормальных уравнений вычисляют в таблице 13, контролируя их с помощью равенств

(67)

и

(68)

Таблица 13

Вычисление коэффициентов поправок и нормальных уравнений

№ пунк-та		(a)	(b)	S,км	a	b	A	B	l
	287°40'	+19.65	+ 6.26	2.14	- 9.19	- 2.93	0.00	0.00	0.00
	337 16	+ 7.97	+19.03	3.46	- 2.30	- 5.51	+ 6.88	-2.58	-17.70
	76 36	- 20.07	+ 4.78	1.63	+12.35	- 2.94	+21.53	-0.01	-30.06
	174° 48'	- 1.87	-20.54	3.10	+ 0.60	+ 6.62	+ 9.79	+9.55	-30.07
						Σ	+38.21	+6.96	-77.83

(продолжение таблицы 13)

Вычисление коэффициентов поправок и нормальных уравнений

№ пунк-та	s	AA	AB	Al	As	BB	Bl	Bs
	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00
	-13.39	+ 47.36	-17.74	- 121.79	- 92.17	+6.64	+45.61	+34.51
	- 8.54	+463.71	- 0.25	- 647.36	-183.90	0.00	+ 0 .36	+ 0.10
	-10.73	+95.85	+93.50	-294.35	-105.01	+91.21	-287.15	- 102.44
Σ	-32.66	+606.92	+75.51	-1063.50	-381.07	+97.86	-241.19	- 67.82

- 29 -

В таблице 14 решают нормальные уравнения по методу определителей (детерминантов). Из выражений

(69)

Находят (с округлением до 0,001 м) поправки δ_x и δ_y к приближённым координатам X₀ и Y₀, а из выражений

; (70)

веса уравненных координат; последние имеют размерность .

Правильность решения контролируется подстановкой полученных значений δ_x и δ_y в нормальные уравнения (66).

Таблица 14

Решение нормальных уравнений

[AA] [BB]	+ 59 390.3	[AB] [Bl]	- 18 212.5	[AB] [Al]	- 80 306.7
- [AB] [AB]	+ 5 702.0	- [BB] [Al]	- 104069.8	-[AA] Bl]	- 146 381.2
D	+ 53 688.3	Dx	+ 85 857.3	Dy	+ 66 074.5
δx = + 1.599 δy = + 1.231	Px = + 548.6 Py = + 88.5

Контроль решения нормальных уравнений

I. [AA] δx + [AB] δy + [Al] = 0, I. + 606.92 δx + 75.51 δy - 1063.50 = 0,

II. [AB] δx + [BB] δy + [Bl] = 0, II. + 75.51 δx + 96.87 δy - 241.19 = 0.

2.3. Вычисляют уравненные значения координат и углов. Поправки δ_x и δ_y (с учётом размерности) прибавляют к приближённым значениям X₀ и Y₀ и получают окончательные (уравненные) координаты X и Y пункта Р

. (71)

- 30 -

В таблице 15 вычисляют по (59) поправки к измеренным значениям углов с округлением до 0,01" и контролируют их вторичным получением суммы [υυ] по формуле

(72)

в таблице 16. Расхождение допускается в пределах 2% от величины[υυ].

Таблица 15

Вычисление поправок и их контроль

№ пункта	В ы ч и с л е н и е υ, υυ
	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00
	+ 11.01	- 3.17	- 17.70	- 9.86	97.29
	+ 34.44	- 0.01	- 30.06	+ 4.36	19.01
	+ 15.66	+ 1.75	- 30.07	- 2.66	7.06
				[υυ]	123.36

Таблица 16

Контроль вычисления поправок

[ll]	[Al] δx	[Bl] δy	[υυ]
2120.92	-1700.74	- 296.83	+ 123.36

Уравненные (исправленные) углы получают путём прибавления поправок υ_i к измеренным значениям углов

. (73)

2.4. Выполняют заключительный контроль решения всей задачи, который состоит во вторичном получении уравненных (окончательных) измеренных углов βi по формуле

. (74)

Окончательные значения дирекционных углов α_i для вычислений по формуле (74) получают из решения обратных геодезических задач по уравненным координатам X и Y в таблице 17. Вычисляют их по формулам (48) и (49), контролируя вычисления расстояний по формулам (50). Расхождения в значениях углов β_i, полученных по формулам (73) и (74), допускаются не более ±0,3".

- 31 -

Таблица 17

Решение обратных геодезических задач

II. По уравненным координатам X, Y определяемого пункта P

Пункты P Ti	X, м	Y, м	tgr
XTi, м	YTi, м	r	β i
∆Xi, м	∆Yi, м	α i	Si, м
P	+ 48 676,633	+ 35 359,401	- 3,138 421
Т1	+ 49 326,100	+ 33 321,100	CЗ: 72°19'35,3"	0°00'00,0"
	+ 649,467	- 2 038,301	287°40'24,7"	2 139,271
P	+ 48 676,633	+ 35 359,401	- 0,418 726
Т2	+ 51 864,400	+ 34 024,600	CЗ: 22°43'13,2"	49°36'22,1"
	+ 3 187,676	- 1 334,801	337°16'46,8"	3 455,945
P	+ 48 676,633	+ 35 359,401	+ 4,201 268
Т3	+ 49 052,900	+ 36 940,200	СВ: 76°36'41,0"	148°56'16,4"
	+ 376,267	+ 1 580,799	76°36'41,0"	1 624,962
Р	+ 48 676,633	+ 35 359,401	- 0,091 061
Т4	+ 45 587,500	+ 35 640,700	ЮЗ: 5°12'11,0"	247°07'24,3"
	- 3 089,133	+ 281,299	174°47'49,0"	3 101,914

2.5. Производят оценку точности полевых измерений, которая состоит в вычислении средней квадратической ошибки измеренного угла m_β,

, (75)

где n - число углов.

Оценка точности уравненных значений координат выполняется по формулам

. (76)

- 32 -

Таблица 18

Вычисление уравненных горизонтальных углов

№ пунк-тов	Измеренные горизонтальные углы β'I	Уравненные углы βi = β'I + υi	Окончательно вычисленные дирекц. углы αi	Окончательно вычисленные горизонтальные углы
	0°00'00,0"	0°00'00,0"	287°40'24,7"	0°00'00,0"
	49 36 32,0	49 36 22,1	337 16 46,8	49 36 22,1
	148 56 12,0	148 56 16,4	76 36 41,0	148 56 16,4
	247 07 27,0	247 07 24,3	174 47 49,0	247 07 24,3

Окончательные (уравненные) значения координат определяемого пункта Р и оценка точности их определения

X_P = + 48 676,633 м; Y_P = + 35 359,401 м.

m_β = ± 11,1";m_X = ± 0,047 м; m_Y = ± 0,118 м; m_P = ± 0,127 м.