С помощью оборотного и математического маятников

ЦЕЛЬ: ознакомиться с закономерностями колебаний математического и физического маятника и с одним из способов определения ускорения свободного падения.

ОБОРУДОВАНИЕ: оборотный (физический) и математический маятник,
секундомер.

Основные теоретические сведения

Колебаниями называют процессы, в той или иной степени повторяющиеся по времени.

Свободными, или собственными, называют такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе.

Вынужденными называют колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся силы.

Гармоническими называют колебания, в которых величинаx изменяется по закону:

либо ,

где А – амплитуда – наибольшее отклонение системы от положения равновесия,

w – угловая частота колебаний – число колебаний за 2p секунд,

– фаза колебаний, j_о – начальная фаза,

Т=2p/w – период колебаний – время одного полного колебания, за которое фаза получает приращение 2p,

n=1/Т = 2p/w – частота колебаний – число колебаний за единицу времени.

Гармонические колебания происходят в системе, в которой действуют только квазиупругие силы. Квазиупругая сила – сила, независимо от своей природы изменяющаяся по закону

F_x= – kx,

где k – коэффициент упругости (жёсткость системы) или другой коэффициент пропорциональности между силой и смещением x;

x – смещение колеблющейся системы от положения равновесия.

Описание установки

Рис. 1

Математический маятник – материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити. Достаточно хорошее приближение – массивный шарик, подвешенный на длинном стальном подвесе. Физический маятник – любое тело, имеющее ось вращения не проходящую через центр его масс. В нашем случае это стальная полоса 1 переменного сечения, на протяжении которого имеется несколько отверстий, с помощью которых маятник крепят на ось вращения. На одном конце имеется отверстие 2, а на другом ряд отверстий 3, расположенных на равном расстоянии друг от друга. Это позволяет получать физический маятник с различными периодами колебаний. Изменить положение центра масс маятника можно с помощью дополнительного груза 4.

Описание метода измерений

В большинстве методов измерения ускорения свободного падения g используется зависимость периода T колебаний маятника от величины g, так как период колебаний можно измерить с высокой точностью.

Для математического маятника

, (1)

гдеl– длина маятника.

Оборотный маятник является физическим, и период его колебаний

, (2)

где I – момент инерции маятника относительно точки подвеса,

I_с – момент инерции относительно центра масс,

m – масса маятника,

l_c – расстояние от центра масс маятника до точки подвеса.

Для физического маятника не удаётся измерить с той же точностью, как период Т, необходимые для расчёта gвеличины I,l_c. Поэтому разработан метод, позволяющий с помощью оборотного маятника исключить эти величины из расчётной формулы (и в том его достоинство). Допустим, что удалось найти такое положение осей вращения, что периоды колебаний маятника относительно этих осей совпадают: Т₁=Т₂=Т_о. Тогда с учётом формулы (2) получим:

; . (3)

Здесь l₁ и l₂ – расстояния от первой и второй осей до центра масс маятника, а их сумма l₁+l₂=l_o есть расстояние между осями, которое можно измерить достаточно точно.

Исключая из уравнений (3) величину I_c, получаем расчётную формулу для ускорения g:

. (4)

Этот метод позволяет с высокой точностью определить величину g, если найти такое расположение осей на стержне, при котором периоды колебаний маятника совпадают (Т не изменяется при смене оси, поэтому маятник и называется оборотным).

Задание 1. Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

1. Приведите маятник в движение, отклонив его на 5…10^о от положения равновесия. Измерьте время пяти полных колебаний. Запишите длину маятника.

Таблица 1

, м	, с		, с

2. По формуле (1) рассчитайте ускорение свободного падения.

3. Оцените погрешность определения g, сравнив найденное значение с табличным для Нижнего Тагила (g=9,8172 м/с²).

Задание 2. Определение ускорения свободного падения

с помощью оборотного маятника

1. Повесьте маятник на отверстие (2), расположенное вблизи конца стержня.

2. Отклоните маятник на 5…10^о от положения равновесия и отпустите. Измерив время t для N (пяти) колебаний, определите период Т₁ колебаний. Результаты запишите в табл. 2.

Примечание. Если секундомер включается и выключается вручную, то измеряйте время десятиколебаний.

Таблица 2

с	с	№	м	с	с	N =
				см     с

3. Снимите маятник и измерьте расстояние l между центрами отверстия (2) и крайним из отверстий (3).

4. Повесьте маятник на крайнее из отверстий 3. Измерьте время t_c для 5 (или 10)колебаний и определите период колебаний Т₂.

5. Повторите измерение lи периода Т₂ ещё несколько раз, перемещая ось каждый раз на 1 отверстие. Период колебаний Т₁ при этом не изменяется. Чтобы убедиться в этом, проведите его измерение в конце опыта.

6. Постройте график (рис. 2) зависимости периодов колебаний Т1 и Т2 от расстояния между осями. Определите координаты Т0 и l0 точки пересечения графиков.l0и есть то самое расстояние между призмами, при котором периоды колебаний оборотного маятника вокруг осей, проходящих через первую и вторую призму, одинаковы, т. е. Т1=Т2=Т0.

7. Рассчитайте среднее значение по формуле (4).

8. Оцените точность определения этого значения g, полагая, что для него относительная случайная погрешность согласно расчётной формуле (4) . Точность же определения координаты точки пересечения двух линий определяется, как минимум, их толщиной h, а это означает, что равна отношению h к длине оси Т.

9. Запишите результат в виде интервала, в котором :

.

10. Оцените отклонение найденной величины g от табличного значения для Нижнего Тагила (g=9,8172 м/с²); если оно заметно выше, чем найденная случайная погрешность D_g, укажите причины систематической погрешности.

12. В выводе сделайте анализ возможностей измерения различных физических величин с помощью механических колебаний.