Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y.

При однократных измерениях неопределенности типа А отсутствуют. Стандартную неопределенность типа В вычисляют по формуле

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

а расширенную по формуле (26).

В случае многократных измерений вычисляют также стандартную неопределенность типа А

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Формулы (52) и (53) отличаются числом слагаемых.

Раздельное вычисление стандартных неопределенностей типа А и типа В обусловлено с одной стороны разной степенью корреляции между оценками неопределенностей, относимых к типу А и к типу В. С другой стороны по соотношению оценок неопределенностей разных типов можно сделать выводы о целесообразности многократных измерений, об ограничении числа наблюдений, о выборе пути по повышению точности результата измерений.

Расширенная неопределенность величины Y

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Коэффициент охвата ko выбирают по правилам, изложенным в разделе (3.6 ).

Эффективное число степеней свободы вычисляют по формуле

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

где νi – число степеней свободы при определении оценки i –ой входной величины:

νi = mi – 1 - если u (Xi) есть неопределенность типа А и

νi = ∞ - если u (Xi) есть неопределенность типа В.

Возможным вариантом нахождения величины Y при многократных измерениях аргументов является вычисление оценок значений Yk для каждой совокупности одновременно наблюдаемых отсчетов Xik . После чего для ряда значений Yk (k =1…m) определяют вероятностные характеристики и результат измерения по правилам, изложенным в разделе 3.6. Этому методу, называемому методом приведения, отдают предпочтение, если зависимость (31) нелинейная.

Простейшими математическими действиями с результатами измерений являются сложение и вычитание. Они, например, присутствуют при определении значения блока мер; при реализации метода сравнения с мерой или другой величиной, значение которой известно; при взвешивании вещества в таре; при исключении из показания омметра сопротивления соединяющих проводов и т.д.

Оценка значения искомой величины равна алгебраической сумме оценок измеряемых величин

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru ,

где сi =+1 для слагаемых и -1 – для вычитаемых аргументов.

Суммарная дисперсия определится как

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

или

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

В зависимости от значений коэффициентов сi поправка на корреляцию (вторая сумма в правой части формулы) может быть со знаком плюс или со знаком минус. В первом случае оценка суммарной неопределенности увеличивается, во втором уменьшается. Если значение ρij достаточно близко к единице [25] пренебрежение корреляцией может внести существенную ошибку в оценку неопределенности результата измерения.

Пример 17. Оценить погрешность измерения размера детали в интервале от 50 до 80 мм многооборотной измерительной головкой 2МИГ, устанавливаемой на штативе и настраиваемой с помощью плоскопараллельных концевых мер длины 4 класса точности.

Решение. Исходя из требования, что число плиток в блоке не должно превышать 5 штук, предполагаем, что блок будет состоять из одной плитки 40,50,60 или 70 мм и не более четырех из интервала до 10 мм. Пределы погрешности плиток, определяемые классом точности Δ 40-70 = 4 мкм и Δ до 10 = 2 мкм.

Предел допустимой погрешности прибора 2 МИГ : Δ МИГ = 5 мкм.

Погрешности плиток и прибора заданы предельными значениями. Для них принимаем распределение по закону равной вероятности. Стандартные неопределенности оцениваются по типу В. Тогда получим:

uB.40-70= Δ 40-70 /√3=4/1,73=2,31мкм, uB.0-10=2/√3=1,15 мкм, uB.МИГ=5/√3=2,89 мкм.

Неопределенности типа А отсутствуют. Найдем суммарную стандартную неопределенность

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru мкм

Вычисляем расширенную неопределенность в предположении нормального закона распределения. При вероятности 0,95 принимаем коэффициент охвата, равным 2. Получим

U= ko∙uC = 2∙4.36=8,72 мкм.

С учетом рекомендаций по представлению результатов измерений (см. раздел 3.9) запишем U=9 мкм.

Пример 18 [21].Силу электрического тока определяют на основе прямых измерений напряжения с помощью вольтметра и токового шунта

Уравнение измерений

I = f(V,R)=V/R ,

где I - сила тока, V - напряжение, R - сопротивление шунта.

В результате измерений напряжения при температуре t=(23.00±0,05)0C получен ряд оценок значений Vi , мВ ( i= 1, …, n; n= 10): 100,68; 100,83; 100,79; 100,64; 100,63; 100,94; 100,60; 100,68; 100,76; 100,65.

Вычисляем среднее арифметическое значение напряжения


Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru
Значение сопротивления шунта установлено при его калибровке для I=10 А и t=230C и равно: R0=10,088 Oм

Находим оценку значения силы тока

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

На основе ряда наблюдений значения напряжения определяем стандартную неопределенность по типу А, мВ

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Стандартную неопределенность силы тока определяем по формуле (53)

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Находим стандартные неопределенности, относимые к типу В. Принимаем равномерный закон распределения.

1. Согласно результатам калибровки погрешность вольтметра зависит от его показания Δ=±3∙10-4∙V+0,02 . Тогда стандартная неопределенность uB,V будет равна

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

2. Границы, внутри которых лежит значение сопротивления шунта, определены при калибровке шунта и равны ±7∙10-4∙R. Тогда при R=R 0 найдем

s w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="20"/><w:sz-cs w:val="20"/><w:lang w:fareast="RU"/></w:rPr><m:t>РћРј,</m:t></m:r></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

3. Границы неопределенности значения сопротивления шунта, обусловленного изменением температуры, равны ± α·Δt· R0 . Где

α=6∙10-6К-1 – температурный коэффициент. При Δt =± 0,050С границы неопределенности значения сопротивления равны

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Стандартная неопределенность

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Стандартная неопределенность uB,I в соответствии с формулой (52)

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru


Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Вычисляем суммарную стандартную неопределенность

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Для определения эффективного числа степеней свободы υeff используем формулу (55)

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

При полученном числе степеней свободы и доверительной вероятности 0,95 коэффициент охвата k равен (таблица 8)

k=tPeff)=t0,95(87)=1,99

Расширенная неопределенность

U0,95(I)= ko · uC(I) = 1,99·6,0·10-3 = 0,012 A

Запишем результат измерения: I = 9,984 А, U=0,012 А, ko = 2, Р=0,95.

Вычисление характеристик погрешности результата измерений.

Для сравнения и ознакомления с реализацией на практике ниже приведено решение рассмотренной задачи в терминах погрешности измерений

Вычисляем СКО, характеризующие случайную составляющую погрешности при измерениях напряжения , мВ

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Границы неисключенной систематической погрешности вольтметра определены при его калибровке в виде следующего выражения (в выражениях для границ погрешностей при разных значениях отклонений от нуля будем опускать знак ±):

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Границы неисключенной систематической относительной погрешности значения сопротивления шунта, определенные при его калибровке, равны δ R=0,07%. Значение абсолютной погрешности

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Погрешность измерения температуры равна Δt =± 0,050С. Находим связанные с ней границы неисключенной систематической составляющей погрешности значения сопротивления шунта

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Предполагаем равномерный закон распределения неисключенных систематических составляющих погрешности результата измерений. Тогда СКО суммарной неисключенной систематической составляющей погрешности результата измерений силы тока будет равно

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

После подстановки получим


Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Найдем границы суммарной неисключенной систематической составляющей погрешности результата измерений силы тока при доверительной вероятности Р = 0,95

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru А.

СКО случайной составляющей погрешности результата измерений силы тока S равно

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Вычислим СКО суммарной погрешности результата измерений силы тока

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Доверительные границы погрешности результата измерений силы тока при Р = 0,95 и эффективном числе степеней свободы

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Результат измерения I = (9,984±0,012) А, Р=0,95.

В некоторых случаях для характеристики результата косвенного измерения используют максимально гарантированное значение погрешности - так называемый предел погрешности

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

где Δ (Xi) - предел погрешности измеренного значения величины Xi.

Пример 19. Выбрать более точный способ получения значения сопротивления электрической цепи (прямое или косвенное измерение) с помощью измерительных приборов.

Омметр Rmax = 150 Омкласс точности 1,5

Вольтметр Umax = 300 Bкласс точности 2,0

Амперметр Imax = 25 Aкласс точности 2,5.

Числовые значения характеризуют наибольшее значение величины на шкале прибора.

Параметры электрической цепи U=180 В, I=10 А, R=18 Ом.

Находим предел погрешности омметра

ΔR =1,5 · 150 / 100% =2,25 Ом.

Исходя из соотношения R=U/I, предел погрешности косвенных измерений вычисляем по формуле (56)

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

где ΔU и ΔI - пределы погрешностей измерений вольтметром и амперметром

ΔU = ± (2∙ 300/100) = ± 6 В

ΔI = ± (2,5∙ 25/100) = ± 0,625 А

Тогда получим

Вычисление расширенной неопределенности оценки значения величины Y. - student2.ru

Так как ΔR > Δ R , делаем вывод, что более точным является результат косвенных измерений.

Наши рекомендации