Решение ур-ний с одним неизвестным. Дихотомия. Принцип Банаха.

Пусть f(x)- непрерыв. ф-ция и надо нам решить ур-ние f(x)=0.

Число х= наз. решением ур-ния1, если f( f(x)-непрерыв. на [a,b], и в то же время f(a)*f(b)<0, то на этом отрезке существует хотя бы 1 корень.

Отделить корни ур-ния значит найти отр. в кот. нах. только 1 корень ур-ния. Для отдел. корней ур-ния 1 исп. теорема.

Критерий

Если f(x) непрерыв. и монотонна на [a,b] и f(a)*f(b)<0, то на данном отрезке существует единств. Корень ур-ния 1.

Отделить корни также можно и графически: найти т. пересеч. графика у= f(x) с осью ОХ.

Самый лучший способ отделения корней- метод Штурмана.

Дихотомия(деление отрезка пополам)

Требуется решить ур-ние 1, где f(x)-непрерыв. ф-ция.

Пусть каким-то образом мы определ. отрезок [ ], что выполн. f( )*f( )<0. Далее произведем деление = . Из 2-х получ. отрезок: выберем тот, на концах кот. f(x) разного знака.

Выбр. отрез. аналог. делим пополам. Если нам надо получ. корень с опред. точн. , то мы будем продолж. деление до тех пор, пока длина получ. отрезка не станет=2*ε. Тогда длина получ. отр. не станет=2*ε. Тогда длина получ. отр. и будет реш. с точн. ε. Дихотомия проста и надежна в исп. она всегда сход. к простому корню для любой непрерыв. ф-ции в т. ч. и недифференцир. Дихотомия устойчива к округл. Скорость сходимости дихот. невелика: за одну итерацию точность увелич. ≈ в 2 раза.

Теорема (принцип Банаха)

Пусть R- полное метр. пр-во. Если отобр. f: R→R явл. сжатием, то для него существ. единств. неподвиж. точка, кот. явл. пределом послед. получ. по ф-ле: =f( ), ?R.

Док-во:

1) Рассм. метрику ( , )= ( f( ))≤α ( )≤ ( , )≤…≤ ( ),где 0<α<1.

2) Возьмем k<l (k,l-члены послед.): ( )≤ ( )+ ( )≤ ( )+ ( )+ ( )≤ ( )+ ( )+…+ ( )≤ + +…+ ) ( )= ( )

( )≤ ( )→0

Т.о. мы получаем, что - фундаментально.

3)Т.к. R-полное метр. пр-во, то в нем всякая фунд. послед. сходится т.е. → ?R.

Покажем, что - неподвиж. точка отображ. f, т.е. имеет место след. запись f( )= .

Рассм. .

Рассм. f( )≤ + ( . f( = + f( ), f( α )→0.

Т.о.

4) Докажем, что f.

Предположим противное: f( ) и = f( ) ( )= (f( ),f( ))≤α ( < (

Точки получ. по ф-ле =f( к реш. x=f(x).

Итак справедлива оценка ( )≤ ( ), если потреб. Чтобы l→∞, то получ. что тогда мы получ. оценку погрешн. ( , )≤ ( ).

Правая часть нер-в→0 со скор. , а эта скорость→0 геометр. прогрессии. Такая скорость-линейная.

10. Пусть надо решить F(x)=0 (1), где F(x) – вещ. ф-ция вещ. аргумента. Запишем ур-ние 1 в виде x=f(x) (2). Сделаем так: умножим рав-во 1 на ф-цию ψ(x), где ψ(x) – непрерывная знакопостаянная ф-ция. Далее прибавим x. x– ψ(x)*F(x)=x. Пусть к/им-то обр. нашли нач. приближение решение ур-ия 1, тогда остальные прибл-ия будут наход-ся по ф-ле (3). Далее 3 будет наз. м-дом простой итерации.

Т-ма о сходности м-да: пусть выполн. условия: 1) f(x)- определена и непрерывна на промежутке и удовлетворяет условию Липшица: , при . 2)для нач приближения выполн. 3) числа m, , q связ соотнш-ем , тогда ур-ние 1 в обл им. единственное решение , к к/му сходится итерац. процесс 3 со скоростью (4). Док-во т-мы аналог-но док-ву пр-ципа Банаха. Замечание: условие Липшица с для ф-ции f(x) на выполн-ся, если сущ-ет производная данной ф-ции f`(x). Из-за оценки 4 =>, что м-д итераций 3 сход-ся со скоростью геометр. прогрессии, т.е. линейной. Т.к. итерац. процесс бесконечен, то надо использ. правило останова: 1) по невязке , где - ур-нь останова, m – момент останова. 2) по соседним приближениям . Т.о. приближенное нахождение вещ-ых. изолир-ых. корней ур-ния 1 делится на 2 этапа: 1. определение корней; 2. уточнение приближ. знач. корней с помощью итерац. м-да с заданной точностью.

Пример: Методом итераций найти отрицательный корень уравне­ния х4 + х-3 = 0.

Решение: Данное уравнение имеет два действительных корня; отрицательный корень находится на отрезке [-1,5; -1,4], так как для его концов выполня­ется условие f(-1,5) * f(1,4) < 0.

Уравнение запишем в виде х = х + с(х4 + х - 3 = о), где с - постоян­ная. Выберем значение постоянной так, чтобы для функции

ψ(х)=х + с(х4 + х-3) выполнялось условие .

В качестве такого значения можно взять с = 0,1; тогда ψ(x) = 0,lx4 + l,lx-0,3,

ψ'(х) = 0,4х3 +1,1; ;

Взяв = 1,45, вычислим последующие приближения по формуле , где 𝛏=-1,45262 – корень ур-ия.

11. Пусть на нек/ом [a,b] ф-ция F(x) и F`(x) 0 и F``(x) 0, F(a)F(b)<0 на концах отрезков ф-ция меняет знак из условия следует ур-ние F(x)=0 имеет только один корень. Запишем ур-ие 1 в виде x=f(x) – 2. Домножим на ψ(x) непрерывную в окрестности точки . В кач-ве ψ(x) возьмем конкретную ф-цию . Отсюдо получим . Пусть к/им-то обр. будет выбрано – нач. приближение решения ур-ия 1. Тогда остальные приближения рассчит-ся по ф-ле: (3) метод Ньютона.

Необход док-ть: . Для док-ва сходимости 3 нам надо док-ть, что f- сжатие. . Пусть x= . f(x)–непрерывна на [a,b], а из непрерывности f `(x) следует, что сущ-ет окрестность точки , т/ая что . . Отсюда следует главный вывод: если и кроме этого , то отображение f(x) явл. Сжатием и по пр-ципу Банаха м-д 3 будет сход-ся к . Получим скорость сходимости м-да 3. Для этого разложим ф-цию F(x) в ряд Тейлора в опр. точке . , 𝛏 .

x= , т.к. производная ф-ции 0, то , тогда (4). В ф-ле 3 вычислим : . Если обознач. в кач-ве и , тогда (5).

Замечание: если удаётся получить нер-во , где – символ Ландао. Если k = 1, то сходимость м-да линейная; k = 2, то квадратичная; k = 3, то кубическая; k > 1, то сверхлинейная. Тогда из 5 следует что скорость сходимости м-да квадратичная. Получим оценку погрешности для м-да 3. Для этого потребуем, чтобы нач приближение выбиралось из усл.: ;

– оценка погрешности м-да (оценка скорости сходимости). При переходе от 1 итерац. К др. в м-де Ньютона число верных знаков в последних приближениях удваиваются. Достоинства: высокая скорость сходимости; Недостатки: узкая область сходимости.

Геометрический смысл м-да Ньютона

F(x) = 0 на [a, b] F(a) F(b)=0

Проведем ч/з т. a касательную y=F `(a)+ F `(a)(x-a) и найдем ее пересечение 0=F(a)+F`(a)(x-a); при F `(a) 0. Ч/з точку проведем новую касательную y=F `( )+ F `( )(x- ). При у=0 . Т.о. м-д Ньютона – это м-д касательных.

12. Будем решать ур-ие: F(x)=0 (1), где F(x) – дважды дифф-ая непрерывная ф-ция на [a, b]. F`(x) 0 и F``(x) 0 на [a, b], F(a)F(b)<0. Приведем ур-ие 1 к виду: x=f(x) (2).

–ψ(x)F(x)=0 –ψ(x)F(x)+x=x x– ψ(x)F(x)=x (x– ψ(x)F(x)=f(x)). Пусть ψ(x)= . Т.о. получим, что . Будем считать, что ф-ция ψ(x) непрерывна в окрестности т. и надо, чтобы выполнялось F( )* F``( ) . Т.о., получим новый итерац. м-д: (3) метод хорд. Покажем, что итерац. процесс 3 сходится к ур-ию 1, т.е. убедимся, что f(x)–сжатие.

; (+). Разложим ф-цию F(x) в ряд Тейлора в т. : , 𝛏 (x, ). Подставим в последнее рав-во вместо x получим: (*). При n=0: ; ; ; при . Т.о. , тогда из непрерывности ф-ции f`(x) => окрестность U( ) такая, что будет выполняться . Если взять нач. приближение из U( ), то тогда будет выполняться условие Липшица и м-д 3 будет сход-ся.

Получим оценку погрешности м-да 3: , 𝛏 ( ). Выразим , где – .

Скорость сходимости м-да 3 – линейная . выбираются так, что и были разного знака. Достоинства: широкая обл. сходимости; недостатки: небольшая скорость.

Частные случаи

;

.

Пусть в ** = b: .

По последней ф–ле считают, что если известно F(b)* ) >o , =0.

Пусть в ** = а: .

Если F(а)* ) >o, =b. График 1.

. Преобразовав это ур-ие с учетом пересечения OX. (AB) OX =>y=0

Если )> , то f(x) вогнутая ф-ция; если )<0, то f(x) выпуклая ф-ция.

Графики (4).

Метод хорд им. Линейную скорость сходимости и оценку погрешности .

Если в ф-ле 3 вместо взять

(4), то ф-ла 4 наз-ся методом секущих. Для м-да секущих в ф-ле

, =>скорость свехлинейная.

Метод Гаусса.

Пусть дана система ур-й:

Ах = b (1)

а₁₁х₁ + ... + а_1пх_п =b₁

… (2)

а_пх_х + ... + а_Хпх_п =b_n

Метод Гаусса состоит в том, что система (1) с произвольной матрицей А приводится к системе (3), где А – верхняя треугольная матрица.

Из сис-мы (3) из посл-го ур-я нах x_n , из предпосл-го x_n-1 и т д. Сведение сис-мы (1) к к ситс-ме (3) наз прямым ходомметода Гаусса, а нах-ние x_n , x_{n-1, …,} x₁ обратным ходом.

При вычислении по этому методу велика вер-ть ошибок. Поэтому вводят контр столбец , где . Эл-ты контр столбца преобр по тем же ф-лам что и эл-ты строк матрицы, а затем провер рав-ство суммы эл-тов преобр-х строки и контр эл-та. Они должны совп с точностью до 1-2 единиц последнего разряда.