Правило подсчета верных цифр

Если приближение - окончательный результат, то его принято округлять так, чтобы он был записан со всеми верными знаками.

Если приближение - промежуточный результат, то его принято округлять так, чтобы он был записан со всеми верными знаками плюс один-два добавочных знака.

При записи окончательных приближенных результатов с известной оценкой погрешности часто используют следующую форму записи:

Пример 12. Запись означает, что приближенное значение этой величины =1,272, а оценка его абсолютной погрешности – =0,011.

При этом погрешность обычно округляет до 2-х значащих цифр в сторону увеличения, а в записи приближенного значения сохраняют столько же разрядов после запятой, сколько их имеется в записи .

Пример 13. Пусть получены следующие результаты: . Тогда окончательный результат должен быть записан либо в виде: , либо в форме: . Таким образом, в записи результата сохраняются все верные знаки.

Пример 14. Округлить сомнительные цифры числа x=72,353±0,026, оставив цифры верные в узком смысле. Определить границу абсолютной погрешности результата.

Верными в строгом смысле слова будут цифры 7,2 и 3 , потому что =0,026 <0,05. Значит, в округленном числе надо будет оставить только одну цифру после запятой. Так как следующая за ней цифра 5, то по правилам симметрического округления . Абсолютная погрешность округления . Погрешность приближенного числа после округления Полученная погрешность . Значит, цифра 4 в округленном числе не является верной в узком смысле. Оставим в округленном числе только 2 цифры: . При таком округлении погрешность приближенного числа Значит, в полученном приближенном числе все цифры являются верными в узком смысле.

Погрешности арифметических операций над приближенными числами

Для того, чтобы найти оценку погрешности результата вычислений по любой формуле достаточно уметь оценивать погрешность результатов арифметических операций и значений элементарных функций. Рассмотрим, как это можно сделать.

Пусть и - точные значения двух числовых величин, причем они неизвестны. Зато известны и - приближенные значения этих же числовых величин и оценки их абсолютных погрешностей и . Требуется определить приближенные значения суммы, разности, произведения и частного и .

Погрешности суммы и разности двух приближенных величин

Пусть , а . Тогда , .

Доказательство для суммы:

Погрешности произведения двух приближенных величин

Пусть , а . Тогда

Погрешности частного двух приближенных величин

Пусть Тогда

Задание

4.1.Определить, какое равенство точнее:

1. =6,63; 19/41=0.463;
2. 7/15=0,467; =5,48;
3. =3,24; 4/17=0,235;
4. 15/7=2,14; =3,16;
5. 6/7=0,857; =2,19;
6. 12/11=1,091; =2,61;
7. 2/21=0,0,95; =4,69;
8. 23/15=1,53; =3,13;
9. 6/11=0,545; =9,11;
10. 17/19=0,895; =7,21;
11. 21/29=0,723; =6,63;
12. 50/19=2,63; =5,19;
13. 13/17=0,764; =5,56;
14. 7/22=0,318; =3,60;
15. 17/11=1,545; =4,24;
16. 5/3=1,667; =6,16;
17. 49/13=3,77; =3,741;
18. 3/7=1,857; =2,64;
19. 19/12=1,58; =3,46;
20. 51/11=4,64; =5,91;
21. 18/7=2,57; =4,69;
22. 19/9=2,11; =4,12;
23. 16/7=2,28; =3,32;
24. 20/13=1,54; =7,94;
25. 12/7=1,71; =6,86;
26. 6/7=0,857; =6,40;
27. 23/9=2,56; =9,33;
28. 27/31=0,872; =6,48;
29. 7/3=2,33; =7,61;
30. 14/17=0,823; =7,28.

4.2. Округлить сомнительные цифры числа, оставив только верные знаки: а) в узком смысле; б) в широком смысле. Определить абсолютную погрешность результата.

1. a) 22.553 (+0.016); б) 2.8546; =0.3%.

2. а) 17,2834; =0,3%; б) 6,4257 (+0,0024).

3. a) 34,834; =0,1%; б) 0,5748 (+0,0034).

4. а) 2,3485 (+0,0042); б) 0,34484; =0,4%;

5. a) 5,435 (+0,0028); б) 10,8441; =0,5%;

6. а) 8,24163; =0,2%; б) 0,12356 (+0,00036).

7. a) 2,4543 (+0,0032); б) 24,5643; =0,1%.

8. а) 23,574; =0,2%; б) 8,3445 (+0,0022).

9. а) 21,68563; =0,3%; б) 3,7834 (+0,0041).

10. а) 13,537 (+0,0026); б) 7,521; =0,12%.

11. а) 0,3567; =0,042%; б) 13,6253 (+0,0021).

12. а) 1,784 (+0,0063); б) 0,85637; =0,21%.

13. а) 3,6878 (+0,0013); б) 15,873; =0,42%.

14. а) 27,1548 (+0,0016); б) 0,3945; =0,16%;

15. а) 0,8647 (+0,0013); б) 24,3618; =0,22%.

16. а) 3,7542; =0,32%; б) 0,98351 (+0,00042).

17. а) 83,736; =0,085%; б) 5,6483 (+0,0017).

18. а) 2,8867; =0,43%; б) 32,7486 (+0,0012).

19. а) 4,88445 (+0,00052); б) 0,096835; =0,32%.

20. а) 38,4258 (+0,0014); б) 0,66385; =0,34%.

21. а) 0,39642(+0,00022); б) 46,453; =0,15%.

22. а) 5,8425; =0,23%; б) 0,66385 (+0,00042).

23. а) 24,3872; =0,34%; б) 0,75244 (+0,00013).

24. а) 2,3684 (+0,0017); б) 45,7832; =0,18%.

25. а) 72,354; =0,24%; б) 0,38725 (+0,00112).

26. а) 0,36127 (+0,00034); б) 46,7843; =0,32%.

27. а) 23,7564; =0,44%; б) 4,57633(+0,00042).

28. а) 15,8372 (+0,0026); б) 0,088748; =0,56%.

29. а) 3,87683; =0,33%; б) 13,5726 (+0,0072).

30. а) 0,66835 (+0,00115); б) 23,3748; =0,27%;

4.3. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют только верные цифры: а) в узком смысле; б) в широком смысле.

1. а) 0,2387; б) 42,884.
2. а) 3,751; б) 0,537.
3. а) 11,445; б) 2,043.
4. а) 2,3445; б) 0,745.
5. а) 8,345; б) 0,288.
6. а) 12,45; б) 3,4453.
7. а) 0,374; б) 4,348.
8. а) 20,43; б) 0,576.
9. а) 41,72; б) 0,678.
10. а) 5,634; б) 0,0748.
11. а) 18,357; б) 2,16.
12. а) 0,5746; б) 236,58.
13. а) 14,862; б) 8,73.
14. а) 0,3648; б) 21,7.
15. а) 2,4516; б) 0,863.
16. а) 62,74; б) 0,389.
17. а) 5,6432; б) 0,00858.
18. а) 0,0384; б) 63,745.
19. а) 12,688; б) 4,636.
20. а) 6,743; б) 0,543.
21. а) 15,644; б) 6,125.
22. а) 0,3825; б) 24,6.
23. а) 16,383; б) 5,734.
24. а) 0,573; б) 3,6761.
25. а) 18,275; б) 0,00644.
26. а) 3,425; б) 7,38.
27. а) 3,75; б) 6,8343.
28. а) 3,643; б) 72,385.
29. а) 26,3; б) 4,8556.
30. а) 48,813; б) 0,645.

4.4. Вычислить и определить погрешность результата.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Порядок выполнения работы

5.1. Изучить теоретические сведения, необходимые для выполнения заданий.

5.2. Выполнить задания, соответствующие вашему варианту (порядковый номер в журнале).

5.3. Выполнить отчет о работе в письменном виде на листах формата А4.

5.4. Подготовить ответы на контрольные вопросы.

Отчет о выполненной работе

6.1. Отчет о выполненной работе должен содержать:

1. Номер и название лабораторной работы.

2. Цель работы.

3. Условия заданий.

4. Подробные решения заданий с ответом.

6.2. Защита лабораторной работы осуществляется в следующем порядке:

1. Ответы на вопросы преподавателя по выполненным заданиям.

2. Ответы на контрольные вопросы преподавателю.

7. Контрольные вопросы

1. Что называется абсолютной и относительной погрешностью приближенной числовой величины?

2. Что называется границами абсолютной и относительной погрешности приближенной числовой величины? Почему вводится это понятие?

3. Какие цифры в записи приближенного числа называются значащими, верными и верными в строгом смысле? Приведите примеры.

4. Что называется округлением приближенного числа? Способы округления. Оценка погрешности при округлении.

5. Формулы оценки погрешностей арифметических операций сложения и умножения.

6. Формулы оценки погрешностей арифметической операции вычитания и деления.

Литература

1. Лапчик М.П., Рагулина М.И., Хеннер Е.К. Численные методы. – М.: ACADEMA, 2004.

2. Воробьёва Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. – М.: Высшая школа, 1990.

3. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании. – М.: Финансы и статистика,. 2002.

4. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

5. Каханер Д., Моулен К., Неш С. Численные методы и программное обеспечение. – М.: Мир, 2001.