Сущность прямой и обратной геодезических засечек

Сущность прямой засечки ( рисунок 8 ) заключается в измерении горизонтальных углов (  и  ) на пунктах, например, А и В с известными координатами ХА, УА; ХВ,УВ и вычислении координат ХР, УР определяемого пункта Р

Решение прямой геодезической засечки по измеренным углам(рис. 41). Пусть известны координаты исходных пунктов А(х_А ,у_А) и В(х_в, у_в), между которыми имеется взаимная видимость, и на них измерены горизонталь­ные углы . Требуется определить координаты точки Р{х_р у_р).

Решение задачи выполняют в следующей последовательности.

1. Вычисляют горизонтальный угол у при определяемой точке Р:

2. Определяют дирекционный угол а_АВстороны АВ и ее горизон­тальную длину d_AB:

где r_АВ— табличный угол (румб) направления АВ.

По знакам приращений координат dх и dу устанавливают четверть, в которой находится направление АВ, и вычисляют дирекционный угол а_АВ. Длина стороны

3. По теореме синусов вычисляют длины других сторон треугольни­ка через известную длину стороны АВ и измеренные утлы :

4. Находят дирекционные углы сторон АР и BP.

5. Вычисляют приращения координат точки Р.

Относительно точки А:

Относительно точки В:

6. Вычисляют координаты точки Р дважды. Относительно точки А:

Относительно точки В:

Двойные значения найденных координат точки Р дают контроль вычислений.

Сущность обратной засечки ( рисунок 9 ) заключается в измерении горизонтальных углов , ,  на определяемом пункте Р. Затем по координатам исходных пунктов А, В, С и измеренным углам вычисляют дирекционные углы АР стороны АР, ВР стороны ВР, а затем координаты ХР, УР определяемого пункта по нижеприводимым формулам

Обратная геодезическая засечка заключается в определении коор­динат дополнительной точки Р (рис. 44, а) путем измерения на этой точке углов между направлениями как минимум на три исходных пункта с известными координатами.

Полное решение этой задачи было разработано французским мате­матиком Лорано Потенотом, поэтому определение координат точки методом обратной засечки часто называют задачей Потенота.

При решении обратной засечки исходные пункты следует нумеро­вать (рис. 44, а) по часовой стрелке, считая от наблюдателя (точки Р).

На практике для получения надежного контроля и повышения точ­ности определения координат искомой точки применяют многократ­ную обратную засечку не менее чем по четырем исходным пунктам (рис. 44, б). В этом случае решение обратной засечки выполняют неза­висимо по двум комбинациям исходных пунктов (напр., пункты 1, 2, 3 и 2, 3, 4)

1. По известным координатам пунктов A,B,C находим дирекционные углы сторон и их горизонтальные длины:

=142°28'26''

=114°18'55''

= 6737,7 м;

= 6737,7 м;

= 6737,7 м;

= 17853,2 м;

= 17853,2 м;

= 17853,2 м;

2. Вычисляем значение угла АВС:

γ + δ = 360° – α_BA + α_BC = 360° – 322°28'26'' + 114°18'55'' = 151°50'29''

3. Определяем горизонтальные углы φ₁ и φ₂ при исходных пунктах A и C, для чего:

а) находим сумму углов φ₁ и φ₂ как

φ₁ + φ₂ = 360° - (γ + δ) - (α + β) = 360° - 151°50'29'' – (75°30'54'' + 46°35'12'') = 86°03'25''

б) определяем разность углов φ₁ и φ₂. Для этого:

= = = 3,532

θ = arctg(0,2831) = 15°48'29''

tg1/2(φ₁ - φ₂) = tg1/2(φ₁ + φ₂)·ctg(45°+ θ)

tg1/2(φ₁ - φ₂) = tg1/2(86°03'25'')·ctg(45°+15°48'29'') = 0,9334·0,5587 = =0,5215

1/2(φ₁ - φ₂) = arctg(0,5215) = 27°32'31''

в) зная полусумму и полуразность, находим значения углов φ₁ и φ₂:

= 86°03'25''/2 + 27°32'31'' = 70°34'13''

= 86°03'25''/2 - 27°32'31'' = 15°29'11''

4. Определяем углы γ и δ:

γ = 180° - φ₁ – α = 180° - 70°34'13'' - 75°30'54'' = 33°54'53''

δ = 180° - φ₂ – β = 180° - 15°29'11'' - 46°35'12'' = 117°55'37''

Контроль: γ + δ = ∕ABC.

γ + δ = 33°54'53'' + 117°55'37'' = 151°50'30''

5. Находим дирекционные углы α_AM и α_CM и горизонтальные длины сторон d_AM, d_CM и d_BM

α_AM = α_AB – φ₁ = 142°28'26'' – 70°34'13'' = 71°54'13''

α_CM = α_CB + φ₂ = 294°18'55'' + 15°29'11'' = 309°48'06''

= = 3882,8 м,

= = 21715,2 м,

= = 6562,6 м.

6. Вычисляем приращения координат точки М относительно точки А:

∆x_AM = d_AM·cosα_AM = 3882,8·cos 71°54'13'' = 1206,04 м,

∆y_AM = d_AM·sinα_AM = 3882,8·sin 71°54'13'' = 3690,76 м,

Приращения координат точки М относительно точки С:

∆x_СM = d_СM·cosα_СM = 21715,02·cos 309°48'06'' = 13900,76 м,

∆y_СM = d_СM·sinα_СM = 21715,02·sin 309°48'06'' = -16682,85 м.

7. Определяем координаты искомой точки М дважды:

относительно точки А

x_M = x_А + ∆x_AM = 29603,07 + 1206,04 = 30809,11 м,

y_M = y_А + ∆y_AM = 46546,25 + 3690,76 = 50237,01 м,

относительно точки C

x_M = x_C + ∆x_CM = 16908,35 + 13900,76 = 30809,11 м,

y_M = y_C + ∆y_CM = 66919,86 – 16682,85 = 50237,01 м.

Двойные значения найденных координат точки M дают контроль вычислений.

Билет № 20