Геометрический смысл предела функции на бесконечности
Геометрический смысл предела функции на бесконечности заключается в том, что для любого
найдется такое число
, что для всех
, которые принадлежат объединению интервалов:
, соответствующие значения функции
попадают в
– окрестность числа
, т.е. точки графика функции
при соответствующих значениях
лежат в полосе шириной
, ограниченной горизонтальными прямыми
и
.
5.4.Односторонние пределы
Определение 5.5.Число называется левосторонним пределом функции
при
, стремящимся к
, если для любого положительного числа
, как бы мало оно ни было, найдется такое положительное число
, что для всех
, удовлетворяющих неравенству:
, будет справедливо неравенство
. Обозначается :
.
Определение 5.6.Число называется правосторонним пределом функции
при
, стремящимся к
, если для любого положительного числа
, как бы мало оно ни было, найдется такое положительное число
, что для всех
, удовлетворяющих неравенству:
, будет справедливо неравенство
. Обозначается :
.
Определение 5.7. Число называется пределом функции
при
стремящимся к
слева, если функции
определена на промежутке
, и какова бы ни была последовательность
, сходящаяся к точке
слева, т.е.такая, что
для всех натуральных
, соответствующая ей последовательность значений функции
существует и сходится к числу
. Это записывают, как:
или
.
Определение 5.8. Число называется пределом функции
при
стремящимся к
справа, если функции
определена на промежутке
, и какова бы ни была последовательность
, сходящаяся к точке
справа, т.е.такая, что
для всех натуральных
, соответствующая ей последовательность значений функции
существует и сходится к числу
. Это записывают, как:
или
.
Если определена в интервале
, то в точке
может иметь смысл только число
, а в точке
– только число
.
Отметим, что двусторонний предел существует лишь тогда, когда существуют оба односторонних предела, которые равны друг другу, то есть
.
В этом случае
Бесконечно большие функции
Определение 5.9. Функция называется бесконечно большой в точке
, если для любой последовательности значений аргумента
соответствующая последовательность значений функции
является бесконечно большой.
Определение 5.10. Функция называется бесконечно большой в точке
, если для любого положительного числа
, как бы велико оно ни было, существует такое число
, что для всех
, удовлетворяющих неравенству
, справедливо неравенство
.
То, что функция является бесконечно большой в точке
, соответствует тому, что
. Кратко это записывают так:
.
5.8. Свойства функций, имеющих пределы
Теорема 5.2.Если существует конечный предел , то для всех
принадлежащих некоторой окрестности точки
функция
является ограниченной, т.е. существуют такие положительные числа
и
, что для всех
, удовлетворяющих неравенству
, следует, что
.
Доказательство. Из условия теоремы следует, что для любого найдется такое число
, что для всех
, удовлетворяющих неравенству
, следует
. Возьмем
. И раскроем последнее неравенство по свойству модуля:
.
Или . Отсюда следует, что
. Если взять
, то получим, что
, что и требовалось. Теорема доказана.
Теорема 5.3.Если существует конечный предел , и
, то для всех
принадлежащих некоторой окрестности точки
функция
удовлетворяет условию:
. Более того, для указанных
функция
, если
, и
, если
.
Доказательство. Из условия теоремы следует, что для любого ( в частности, возьмем
) найдется такое число
, что для всех
, удовлетворяющих неравенству
, следует
. Раскроем последнее неравенство:
, которое выполняется для всех
окрестности точки
. Получили
. Или
для указанных
. При
следует, что
и
. При
следует, что
для всех
окрестности точки
. Тогда, раскрывая модуль в неравенстве
, получаем
или
, что и требовалось доказать.
Теорема 5.4. Еслисуществуют конечные пределы и
, и для всех
принадлежащих некоторой окрестности точки
функции
и
удовлетворяют неравенству
, то
.
Доказательство. Пусть последовательность сходится к
. Тогда для существует достаточно большой номер
, что при всех
следует:
, а после предельного перехода в последнем неравенстве, получаем:
, что и требовалось.