Предел числовой последовательности и его геометрический смысл
Рассмотрим поведение членов последовательности при неограниченном возрастании номера (это означает, что
и читается: «
стремится к бесконечности»).
Определение 3.1. (определение предела последовательности).Число а называется пределом последовательности , если для любого положительного числа
можно указать такой номер (натуральное число)
(N зависит от
), что при всех номеров
выполняется неравенство
(модуль разности
-ого члена последовательности и числа
меньше
). Это записывают
или
(
– три первые буквы латинского слова «limes» – «предел»). Кратко это можно записать с помощью логической символики следующим образом:
.
Геометрический смысл определения предела последовательности заключается в том, что независимо от малости интервала с центром в точке
все члены последовательности
с номерами, большими некоторого числа
, будут находиться в этом интервале; а вне указанного интервала может находиться лишь конечное число членов последовательности. Это следует неравенство
эквивалентно неравенству
, которые справедливы для всех членов последовательности
с номерами
, где число
определяется наперед заданным сколь угодно малым положительным числом
. В этом случае точка
называется предельной точкой последовательности
.
Последовательность может иметь несколько предельных точек.
Пример3.1последовательности, имеющей две предельные точки. Последовательность имеет две предельные точки 0 и 2.
Если все члены последовательности принимают одно и то же числовое значение, то предел этой последовательности равен этому значению.
Пример3.2.Последовательность , элементами которой являются числа 2,2,2,..., имеет предел 2. В самом деле,
, последнее неравенство выполняется, начиная с первого члена, т.к.
.
Не у всякой последовательности существует предел. Например, если взять последовательность , то у неё не будет предела. Ее члены попеременно равны
и
, и не стремятся ни к какому пределу.
Определение 3.2.Последовательностьназывается сходящейся,если у неё существует единственный конечный предел, и называется расходящейся, если нет предела. В общем случае пределов может быть несколько.
В определении 3.1 число ассоциировалось с конечным числом. Но определение предела можно расширить и на бесконечные значения:
и
. Например,
– предел последовательности
равен
, если для любого сколь угодно большого положительного числа
найдется такое натуральное число
, что все члены последовательности с номерами большими, чем
, будут больше заданного числа
.
– предел последовательности
равен
, если для любого сколь угодно большого положительного числа
найдется такое натуральное число
, что все члены последовательности с номерами большими, чем
, будут меньше, чем число
.
Термин «сходящаяся последовательность» не распространяется на последовательности с бесконечными пределами.
Пример сходящейся последовательности: последовательность называется гармонической; её предел равен нулю, она состоит из элементов