Вероятность. Плотность вероятности

В данной части пособия кратко излагаются основные понятия и определения, которые используются при обосновании методов определения погрешностей прямых измерений.

Пусть проведено ( ) измерений некоторой величины и получен ряд значений: . Выделим среди результатов измерений некоторый интервал , и пусть из измерений результатов попали в этот интервал.

Вероятность того, что некоторое значение величины попадет в интервал , определяется выражением:

.

Если величина является непрерывной, то соответствующая вероятность того, что некоторое значение результата измерений величины лежит в интервале , равна

Для непрерывных случайных величин вводят понятие плотности вероятности , которую называют также функцией распределения:

.

Если известна функция распределения , то вероятность того, что случайная величина находится в интервале , может быть вычислена по формуле:

. (35)

Интервал называется доверительным интервалом, а − доверительной вероятностью (ее обычно обозначают буквой ).

Распределение Гаусса

Одним из наиболее важных непрерывных распределений, встречающихся в статистике, является нормальное распределение, или распределение Гаусса. Плотность вероятности этого распределения имеет вид:

. (36)

Параметр в (36) называется математическим ожиданием, а − дисперсией случайной величины (определения и будут даны ниже).

График функции распределения Гаусса (36) изображен на рисунке.

По оси абсцисс откладывается значения случайной величины , по оси ординат − плотность вероятности. Функция плотности представляет колоколообразную симметричную кривую, имеющую максимум при , а точки являются точками перегиба. График нормального закона распределения зависит от параметра . Чем больше , тем более пологий вид имеет кривая распределения.

Функция (36) является нормированной на единицу, это значит, что площадь, заключенная между кривой плотности вероятности и осью абсцисс, равна единице. Другими словами, вероятность того, что величина имеет произвольное значение в интервале , равна единице. Расчеты показывают, что вероятность того, что значение случайной величины попадет в интервал равна 68 %. Это значит, что почти в 70 % случаев значение величины находится в довольно узком доверительном интервале.

1) Математическое ожидание случайной величины есть среднее арифметическое значение , и для непрерывного распределения оно равно значению интеграла:

.

Параметр является наиболее вероятным значением случайной величины .

2) Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание функции , и для непрерывного распределения оно равно значению интеграла:

.

Дисперсия характеризует разброс значений случайной величины относительно . Каждый метод измерения, а также измерительный прибор характеризуется своим значением

Если значение дисперсии не известно, то наилучшей оценкой ее является квадрат среднеквадратичной погрешности :

.

(Величина при вообще совпадает с ).

Квадратный корень из дисперсии называется стандартным отклонением значения от .

Разность в (36) – это величина погрешности, следовательно, значение функции (35), записанное для , является плотностью вероятности появления данной погрешности. Соответствующий закон распределения запишется в виде:

. (37)

Максимум кривой (37) приходится на . Это значит, что, когда плотность вероятности появления той или иной погрешности подчиняется нормальному закону, малые погрешности являются более вероятными, чем большие.

Распределение Гаусса является основным в теории погрешностей. Обоснованием данного утверждения является центральная предельная теорема статистики.

Теорема. Пусть случайная величина имеет среднее значение и дисперсию . Если конечно, то при стремлении числа измерений случайной величины к бесконечности распределение среднего арифметического будет стремиться к нормальному распределению с тем же математическим ожиданием и дисперсией .

Благодаря этой теореме, доверительную вероятность того, что это среднее лежит внутри выбранного доверительного интервала , можно найти с помощью соотношения:

. (38)

Записанная теорема по сути утверждает, что во многих случаях, имеющих место в физических экспериментах, неважно, какому распределению подчиняются случайные погрешности измерения физической величины , её среднее значение распределено по гауссовому закону (36) около наиболее вероятного значения , которое можно считать истинным значением измеряемой величины. Именно поэтому практически во всех случаях экспериментальные погрешности можно вычислять, пользуясь одними и теми же методами, часть которых изложена в данном пособии.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Значения коэффициентов Стьюдента

Таблица 1

0,8	3,08	1,89	1,64	1,53	1,48	1,44	1,42	1,40	1,38	1,3
0,9	6,31	2,92	2,35	2,13	2,02	1,94	1,90	1,86	1,83	1,65
0,95	12,7	4,30	3,18	2,78	2,57	2,45	2,36	2,31	2,26	1,96

число измерений; доверительная вероятность, или надежность.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зайдель А. Н. Элементарные оценки ошибок измерений / А. Н. Зайдель. – Л.: Наука, 1967. – 89 с.

2. Тойберг П. Оценка точности результатов измерений / П. Тойберг. – М.: Энергоиздат, 1988. –88 с.

3. Худсон Д. Статистика для физиков / Д. Худсон. – М.: Мир, 1970. – 296 с.

4. Деденко Л. Г. Математическая обработка и оформление результатов эксперимента / Л. Г. Деденко, В. В. Керженцев. – М.: Изд-во МГУ, 1977. – 121 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение............................................................................................................. 3

Часть 1. Математическая обработка результатов измерений................ 4

1.1. Измерения. Погрешности измерений.............................................................. 4

1.2. Учет случайных погрешностей при прямых измерениях.............................. 6

1.3. Учет систематических (приборных) погрешностей
при прямых измерениях..................................................................................... 7

1.4. Совместный учёт случайных и систематических
(приборных) погрешностей............................................................................... 8

1.5. Последовательность действий при обработке

результатов многократных прямых измерений............................. 9

1.6. Пример обработки результатов прямых измерений.................... 10

1.7 Учёт погрешностей при косвенных измерениях.......................... 12

1.8. Последовательность действий при обработке

результатов косвенных измерений............................................... 15

1.9. Пример обработки результатов косвенных измерений.............. 17

1.10. Правила работы с приближёнными числами. Правила

округления при записи окончательного результата
измерений.......................................................................................................... 18

Часть 2. Правила работы в лаборатории, оформление

результатов работы......................................................................................... 20

2.1. Подготовка к выполнению лабораторной работы....................... 20

2.2. Графическое представление результатов измерений................. 23

2.3. Метод наименьших квадратов....................................................... 24

Часть 3. Элементы теории вероятностей и математической

статистики........................................................................................................ 31

3.1. Вероятность. Плотность вероятности........................................... 31

3.2. Распределение Гаусса..................................................................... 32

Приложение..................................................................................................... 36

Библиографический список......................................................................... 37

Редактор Л. И. Чигвинцева

Компьютерная верстка – Е. В. Беспалова

ИД № 06039 от 12.10.2001 г.

Сводный темплан 2009 г.

Подписано в печать 22.06.09. Формат 60×84 ¹/₁₆. Бумага офсетная.

Отпечатано на дупликаторе. Усл. печ. л. 2,5. Уч.-изд. л. 2,5.

Тираж 250 экз. Заказ 455.

_________________________________________________________

Издательство ОмГТУ. 644050, г. Омск, пр. Мира, 11; т. 23-02-12

Типография ОмГТУ