Пример выполнения расчетно-графической работы № 1

Задача 1

Исходные данные:

F = 2 кH;

s_ВР = 100 МПа;

s_ВС = 320 МПа;

[n] = 2,5.

Требуется определить:

d, a – ?

Решение:

1. Методом сечений определяем продольные силы на участках бруса. Разрезая каждый участок и отбрасывая мысленно закрепленную часть, составляем уравнения равновесия:

, (растяжение),

, (сжатие),

, (сжатие).

По рассчитанным данным строим эпюру продольных сил.

2. Из расчета на прочность определяем необходимые размеры круглого и квадратного поперечных сечений участков бруса.

Условие прочности бруса на первом участке:

,

где

, ,

тогда

откуда

(мм).

Условие прочности бруса на втором участке:

.

По аналогии с первым участком получим:

(мм).

Для того чтобы удовлетворить условие прочности и на первом, и на втором участках, выбираем большее из двух найденных значений диаметра d = 11 мм.

Условие прочности бруса на третьем участке:

,

где

тогда

откуда

(мм).

Ответ: диаметр круга d = 11 мм, сторона квадрата a = 4 мм.

Задача 2

Исходные данные:

А = 40 мм²;

l = 100 мм;

[s] = 200 МПа.

Требуется определить:

F, – ?

Решение:

1. Брус один раз статически неопределим, так как неизвестных реакций заделок – две, а уравнение статики можно составить только одно. В качестве лишней неизвестной примем реакцию правой заделки R. Для раскрытия статической неопределимости бруса составим уравнение перемещений.

Поскольку справа – заделка, перемещение правого конца бруса должно быть равно нулю: Δ = 0.

Это перемещение складывается из удли-нений или укорочений каждого из трех участ-ков бруса:

По закону Гука

.

Выразим продольные силы на каждом участке:

, ,

, ,

, .

Подставим найденные значения в уравнение перемещений:

откуда

, .

2. Строим эпюру продольных сил:

(растяжение),

(сжатие).

3. Строим эпюру нормальных напряжений:

,

,

.

4. Из расчета на прочность определим безопасное значение силы F. Брус стальной, поэтому наиболее опасен третий участок, на котором возникает максимальное напряжение (несмотря на то, что его площадь сечения самая большая).

,

откуда

(Н) = 20,8 (кН).

5. Строим эпюру осевых перемещений:

– в левой заделке: Δ = 0;

– в конце первого участка:

;

– в конце второго участка:

;

– в конце третьего участка:

.

6. Находим перемещение точки приложения силы F:

(мм).

Ответ: безопасное значение силы F = 20,8 кН, точка приложения этой силы сместится вправо на 0,1 мм.

Варианты расчетных схем

Задача 1

Задача 2

Сдвиг и кручение

Основные понятия

Сдвиг–такой вид деформации, при котором в поперечном сечении действует только перерезывающая сила, а остальные силовые факторы отсутствуют.

Закон Гука при сдвиге:

, (2.1)

где γ – угол сдвига; τ – касательное напряжение; G – модуль сдвига (физическая постоянная материала).

Модуль сдвига связан с двумя другими постоянными – модулем упругости E и коэффициентом поперечной деформации μ – следующей зависимостью:

. (2.2)

В частности, для стали E = 2 · 10⁵ МПа, μ = 0,3, тогда G = 8 · 10 МПа.

Деформация сдвига возникает в болтовых соединениях, нагруженных силами, перпендикулярными оси болта, в заклепочных, шпоночных, шлицевых соединениях, а также в ряде других случаев. Обычно сдвиг сопровождается изгибом, смятием; касательные напряжения сдвига распределяются неравномерно по сечению. На практике для простоты проводят условные расчеты, полагая напряжение распределенным по сечению равномерно.

Условие прочности при сдвиге:

, (2.3)

где τ – касательное напряжение сдвига; Q – поперечная сила; A – площадь поперечного сечения; [τ_с] – допускаемое касательное напряжение при сдвиге.

Кручение– такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях бруса возникает крутящий момент T_к. Брус, работающий на кручение, называют валом. Кручение испытывают валы коробок передач, редукторов, торсионные, карданные валы, пружины и другие детали. Крутящий момент, как внутреннее усилие, определяется методом сечений.

Условие прочности при кручении:

, (2.4)

где [τ] – допускаемое касательное напряжение при кручении.

Полярный момент сопротивления W_p для круглого сечения:

, (2.5)

где d – диаметр круга.

По аналогии для кольцевого сечения с наружным диаметром d и внутренним d₁ получим

. (2.6)

С помощью условия прочности (2.4) с учетом зависимостей (2.5) и (2.6) можно проверить прочность вала, определить допустимое значение момента на валу, а также провести проектный расчет – определить необходимый диаметр вала. Для определения диаметра вала из условия (2.4) имеем

,

откуда, учитывая условие (2.5), найдем

(2.7)

Жесткость вала при кручении оценивается по относительному углу закручивания θ (град/м).

Условие жесткости:

, (2.8)

где [θ] – допустимое значение относительного угла закручивания; J_p – полярный момент инерции сечения.

В зависимости от назначения вала допустимое значение относительного угла закручивания изменяется в широких пределах, например, для валов силовых передач [θ] = 2,5 град/м.

Условие (2.8) позволяет проверить жесткость вала, определить допустимый момент на валу, а также определить диаметр вала из расчета на жесткость. В последнем случае из условия (2.8) имеем

,

но для вала круглого сечения , откуда

.

Задание на расчетно-графическую работу № 2

Расчетно-графическая работа № 2 по теме «Сдвиг и кручение» включает одну задачу.

Задача 1. Найти диаметры фланцевого соединения, при которых конструкция является равнопрочной. Определить необходимое количество болтов M10 с внутренним диаметром резьбы d₁ = 8,4 мм для соединения фланцев, полагая D = 1,2d_н. Допускаемое напряжение при сдвиге и кручении считать одинаковыми.

Вариант	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X
Т1, кНм
Т2, кНм
Т3, кНм
[τ], МПа
dв / dн	0,6	0,7	0,8	0,8	0,7	0,6	0,6	0,7	0,8	0,8

Варианты расчетных схем приведены на с. 24–27.