Теория лабораторной работы

Теоретические сведения

Пусть к одному концу проволоки или стержня, закрепленного с другого конца, приложена пара сил ff с моментом M (рис. 6). Под действием этой пары сил проволока будет закручиваться. Отдельные поперечные сечения проволоки, перпендикулярные ее оси, будут поворачиваться относительно соседних сечений на некоторые углы. Нижнее сечение повернется относительно верхнего на угол j, который называется углом кручения.

Тогда по закону Гука, справедливому для малых деформаций, момент пары сил M будет прямо пропорционален углу кручения:

М = G_кр j,

где G_кр – модуль кручения.

Между модулем кручения G_кр и модулем сдвига материала проволоки G имеется простое соотношение:

,

где L – длина проволоки; R – радиус проволоки; G – модуль сдвига материала проволоки.

Если твердое тело, подвешенное на проволоке, закрутить на малый угол j и предоставить самому себе, то оно будет вращаться вокруг оси, совпадающей с осью проволоки. При вращении твердое тело будет совершать колебания вокруг первоначального положения равновесия. Такие колебания вращающегося тела являются крутильными колебаниями, а твердое тело – крутильным маятником.

Второй закон Ньютона для вращательного движения в случае крутильного маятника запишется в виде: M = – Ie.

Здесь M – вращающий момент относительно оси проволоки; I – момент инерции тела относительно той же оси; – угловое ускорение.

Знак «минус» возник вследствие того, что направление вращающего момента M противоположно направлению углового ускорения e.

Таким образом, .

При кручении M = G_крj, поэтому .

Отсюда для крутильного маятника угловое ускорение:

,

т.е. оно прямо пропорционально угловому смещению j и направлено противоположно ему.

Если ускорение тела прямо пропорционально смещению (линейному или угловому) и направлено противоположно ему, то колебания тела являются гармоническими. Коэффициент пропорциональности между ускорением и смещением есть квадрат круговой частоты колебаний. Таким образом, при малых углах кручения крутильный маятник совершает гармоническое колебательное движение.

Угловая частота этих колебаний определяется из уравнения

,

а период полного колебания крутильного маятника определяется выражением

.

Для периода простого колебания имеем:

. (3)

Описание установки

Прибор для определения модуля сдвига состоит из кронштейна, укрепленного на стене, в котором зажата проволока ОО^/ из испытуемого материала. К нижнему концу проволоки прикреплен горизонтальный стержень рр^/ с резьбой (рис. 7), на который навинчиваются грузы (цилиндры) массами m и m₁. Эти грузы навинчиваются в двух положениях: aa₁ и bb₁. Массы грузов одинаковы: m = m₁. Если такую систему закрутить на малый угол и предоставить самой себе, то ее можно рассматривать как крутильный маятник, период простого колебания которого определяется выражением (3).

В данной работе определяются два периода колебаний маятника, соответствующие двум положениям грузов на стержне (рис. 7).

Пусть I₁ – момент инерции системы, когда грузы находились в положении aa₁, I₂ – момент инерции системы, когда грузы находились в положении bb₁, I₀ – момент инерции стержня относительно оси ОО^/.

Тогда: , . (4)

Период простого колебания маятника, соответствующий положению грузов aa₁:

, (5)

Период простого колебания, соответствующий положению грузов bb₁:

.

Из уравнений (4) и (5) находим: ,

Откуда: . (6)

Из уравнений (17) исключаем l₀:

.

Подставив сюда выражение для I₂, из выражения (6) найдем

Модуль кручения G_кр находим из формулы (5), подставив в нее выражение для I₁:

.

Зная модуль кручения G_кр, легко найти модуль сдвига материала проволоки:

. (7)