Методические рекомендации к решению задач

К задаче № 1.

Растяжением-сжатием называют такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – продольная (нормальная) сила N (растягивающая или сжимающая); все остальные внутренние силовые факторы при этом равны нулю.

При расчетах после определения величин продольных сил по сечениям строится график изменения внутренних силовых факторов по длине данного стержня – эпюра продольных сил.

Продольная сила в каком-либо сечении стержня численно равна (а по направлению противоположна) сумме проекций на ось Z всех внешних сил, действующих на отсеченную часть стержня: N = S (F ).

Правило знаков при построении эпюр продольных сил

Продольную силу N принято считать:

– положительной, если она направлена от сечения (растягивающая) (рисунок 1.1, а);

– отрицательной, если эта сила направлена к сечению (сжимающая) (рисунок 1.1, б).

Рисунок 1.1.

Пример 1.1. Для стержня (рисунок 1.2, а) построить эпюру продольных сил.

Построение

Для определения продольных сил в сечениях стержня применим метод сечений. Построение эпюры ведем со свободного конца.

Разобьем стержень на три участка, начиная от правого конца.

Границами участков будем считать сечения, в которых приложены внешние силы (рисунок 1.2, а). На каждом участке проведем произвольные сечения.

При этом координату проведенного сечения z можно отсчитывать от начала первого участка или от какой-либо другой точки.

В нашем случае при построении эпюры продольных сил удобно пользоваться подвижной системой координатных осей, центр которой каждый раз помещается в начале рассматриваемого участка. Таким образом, координата z на каждом участке стержня отсчитывается от начала данного участка.

Отбрасывая каждый раз левую часть заданного стержня, заменяем действие отброшенной части на оставшуюся неизвестной продольной силой N. Эту силу удобно первоначально направлять в сторону от рассматриваемого сечения, т. е. предварительно считать положительной (растягивающей).

Тогда из условий равновесия отсеченной части стержня получим величину и соответствующий знак продольной силы N на каждом участке (рисунок 1.2, б, в, г).

Для нашего стержня запишем условия равновесия и найдем на каждом участке продольную силу в сечении, положение которого определяется текущей координатой z_i:

Рисунок 1.2.

I участок (0 < z₁ < ℓ)

ΣF_Z = F – N_I = 0; Þ N_I = F;

II участок (0 < z₂ < ℓ)

ΣF_Z = F – 3F – N_II = 0; Þ N_II = F – 3F = – 2F;

III участок (0 < z₃ < 2ℓ)

ΣF_Z = F – 3F +5F – N_III = 0; Þ N_III = F – 3F +5F = 3F.

Знак «плюс» в полученном ответе показывает, что выбранное нами направление продольных сил на участках I и III правильное, данные силы являются растягивающими.

Знак «минус» в ответе, полученном для II участка, показывает, что продольная сила должна быть направлена в противоположную сторону, т. е. на сжатие.

Обратить внимание: величина продольной силы N на протяжении каждого отдельного участка постоянна, так как функция изменения N не зависит от z_i.

Величины продольных сил на каждом участке откладываем с учетом полученного знака (рисунок 1.2, д).

Построенную эпюру проверяют по «скачкам»: в точках приложения сосредоточенной силы на эпюре N должен быть «скачок» на величину этой силы. Фактически «скачки» носят условный характер, так как они отражают быстрое изменение продольной силы в соответствующем сечении стержня.

К задаче № 2.

Кручением называют такой вид нагружения, при котором в поперечном сечении бруса возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент Т, определяемый касательными напряжениями. Прочие внутренние силовые факторы равны нулю.

Стержень, имеющий круглое поперечное сечение и работающий только на кручение, называется валом; а внешние моменты, вызывающие кручение вала, называются скручивающими моментами.

Крутящий момент в каком-либо поперечном сечении стержня численно равен (а по направлению противоположен) сумме моментов относительно оси z всех внешних сил, действующих на отсеченную часть стержня: Т = Σ m_Z (F^отс).

При определении знака крутящего момента следует смотреть на сечение со стороны отброшенной части стержня (рисунок 1.3, а, б):

Рисунок 1.3.

Эпюрой крутящих моментов ЭТ называют график, показывающий как изменяется внутренний силовой фактор – крутящий момент Т по длине стержня.

Следует заметить, что принципиально построение эпюры крутящих моментов ничем не отличается от построения эпюры продольных сил.

Пример 1.2. Построить эпюру крутящих моментов для стержня, изображенного на рисунке 1.4.

Решение

Построение эпюры начинаем с левого конца. Разбиваем стержень на три участка. Крутящий момент на каждом участке будем определять из условия равновесия отсеченной части стержня с учетом правила знаков.

Рисунок 1.4.

Мысленно проведем сечение на I участке: Т = 4m,

на II участке: Т = 4m – 5m = – m,

на III участке: Т = 4m – 5m + 2 m = m.

На всех трех участках крутящие моменты постоянны. В местах приложения внешнего скручивающего момента на ЭТ имеем «скачки», равные по значению величине этого момента.

Чтобы отличить эпюру крутящих моментов от эпюр других внутренних силовых факторов, ее штрихуют винтовой линией.

К задачам № 3 и 4.

При решении задач на изгиб расчетная схема балки изображается линией, представляющей собой ось стержня. К этой линии прикладывается вся внешняя нагрузка и связи, действующие на балку.

Для определенности при построении эпюр установим правила знаков поперечной силы Q_у и изгибающего момента М_х.

Правила знаков при построении эпюр поперечных сил и

изгибающих моментов

Поперечная сила Q_у в любом сечении считается:

– положительной, если равнодействующая левых внешних сил направлена снизу вверх, а правых – сверху вниз (рисунок 1.5, а). Другими словами, можно сказать, что поперечная сила Q_у стремится вращать рассматриваемую часть бруса по часовой стрелке;

– отрицательной, если равнодействующая левых внешних сил направлена сверху вниз, а правых – снизу вверх (рисунок 1.5, б), т. е. Q_у принимаем отрицательной, если она стремится вращать рассматриваемую часть бруса против часовой стрелки.

Рисунок 1.5

Изгибающий момент М_х в сечении считается:

– положительным, если сжатые волокна на отсеченной части образуются сверху (рисунок 1.6, а), т. е. балка в этом сечении изгибается выпуклостью вниз;

– отрицательным, если сжатые волокна на отсеченной части образуются снизу (рисунок 1.6, б), т. е. балка в этом сечении изгибается выпуклостью вверх.

Рисунок 1.6

При построении эпюры М_х положительные ординаты эпюры откладываются от оси абсцисс вверх, а отрицательные – вниз.

Обратить внимание: правило знаков для эпюры М_х позволяет сделать заключение, что эпюра изгибающих моментов строится на «сжатом волокне»; в этом случае ординаты моментов на эпюре М_х откладывают в сторону сжатых волокон балки.

Поперечная сила Q_y в рассматриваемом сечении балки численно равна (а по направлению противоположна) алгебраической сумме проекций всех внешних сил, действующих на отсеченную часть балки, на ось у, перпендикулярную к продольной оси балки:

Q_у = Σ (F ).

Изгибающий момент М_х в рассматриваемом сечении балки численно равен (а по направлению противоположен) алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих на отсеченную часть балки, относительно оси х, проходящей через центр тяжести сечения:

М_х = Σ m_х (F ).

Пример 1.3. Построить эпюры поперечных сил Q_y и изгибающих моментов М_х для балки, изображенной на рисунке 1.7, а.

Построение

1. Определяем опорные реакции из уравнений равновесия:

Σm_А = 0,– Fℓ + У_В · 3ℓ – 2F · 4ℓ = 0 Þ У_В = 3F,

Σm_В = 0,– 2Fℓ – Fℓ – У_А · 3ℓ = 0 Þ У_А = – F,

Σ F_Ζ = 0, Ζ_Α = 0.

Выполняем проверку правильности определения опорных реакций:

Σ F_У = – F + 3F – 2F = 0 – верно.

2. Строим эпюру Q_у. Для этого разбиваем балку на два участка. На первом участке проводим произвольную секущую плоскость. Отбрасывая правую часть балки, действие отброшенной части на оставшуюся левую часть заменяем внутренними силовыми факторами – Q_у и М_х (рисунок 1.7, б).

Ι участок: Q_у = – F.

Аналогичные действия совершаем и на втором участке (рисунок 1.7, в).

ΙΙ участок: Q_у = – F+ 3F = +2F.

Как видим, на первом и втором участках поперечные силы постоянны.

По результатам расчетов строим эпюру Q_у (рисунок 1.7, г). Проверяем правильность построения эпюры Q_у по «скачкам».

Рисунок 1.7.

3. Строим эпюру М_х.

Намечаем характерные точки А, В и С и, используя метод сечений, определяем значения изгибающих моментов:

М_А = Fℓ (сжатые волокна сверху),

М_В = Fℓ – F ∙ 3ℓ = – 2Fℓ (сжатые волокна снизу).

Следовательно, изгибающий момент на первом участке изменяется по линейному закону от Fℓ до -2 Fℓ.

М_С = Fℓ – F ∙ 4ℓ + 3Fℓ = 0.

Строим эпюру М_х (рисунок 1.7, д).

Проверяем по «скачкам» правильность построения эпюры изгибающих моментов.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ