Бір бөлшектік қабықтық модел

Қабықтық моделдің ең қарапайымы – бір бөлшектік модел. Ол Шмидт моделінің жетілдірілген түрі.Ол бойынша, массалық саны тақ А ядроның барлық негізгі қасиеттерін қосағы жоқ тақ нуклон анықтайды. Барлық қалған нуклондар косылып сфералық симметриялы еселқос ірге құрады. Іргенің спині мен магнит моменті нөлге тең. Осы іргені кұратын нуклондардың күш өрісінде қосақсыз нуклон қозғалады. Ол нуклондармен толтырылған деңгейлердің ең жоғарғысында орналасады.

Бөлшектер орналасатын деңгейлердің орнын анықтау үшін Шредингер теңдеуін

(5)

шешу керек. Центрлік симметриялы өріс үшін, бұл тендеуді сфералық координаттарда шешкен ыңғайлы. Бұл жағдайда бөлшектің толқындық функциясын ψ=R(r)Y( радиалдық R(r) және бұрыштық Y( функциялардың көбейтіндісі түрінде жазуға болады. Сонда, теңдеу R(r) мен Y( үшін 2 теңдеуге жіктеледі. Бұрыштық ( тәуелсіздер үшін теңдеудің шешімі барлық анықтамаларда келтірілген шарлық функциялар Y_lm( . Оның түрі V(r) потенциалдың түріне тәуелсіз, кез келген сфералық симметриялы потенциал үшін бірдей.

Радиалдық функция үшін теңдеу

(6)

түрінде шығады. Мұндағы V(r) - бөлшек қозғалыста болатын, сфералық ірге туғызатын, потенциал. Бұл тендеуді

u(r)=r*R(r) (7)

ауыстыру арқылы

+ (8)

бірмөлшерлік теңдеуге келтіруге болады.

Оның шешуі, әрине V(r) потенциалының түріне тәуелді. Бұл теңдеудің шешуі ең алдымен киелі сандарды түсіндіруі, содан кейін ядроның басқа қасиеттерін сипаттауы керек. Киелі сандармен байланысты заңдарды бірінші болып Эльзассер мен Маргенау түсіндірмекші болды. Эльзассер шексіз терең тік бұрышты потенциалық шұңқырды қарастырса, Моргенау осындай тереңдігі шектелген шұңқыр алды.

Атомдағы электрондар сияқты, ядролардағы нуклондардың орналасу деңгейі неғұрлым жоғары болса, олардың ядромен байланысы соғұрлым әлсіз, оларды ядродан аластату оңайырақ, оған азырақ күш жұмсалады.

Сондықтан толған деңгейден артық бір нуклоны бар ядролардың нықтығы аздау болуы тиіс. Керісінше, деңгейлері толған ядролар өте берік болуы керек.

Түбінің жиегі мен ернегі жұмырланған шұңқырға сәйкес потенциал ретінде көбіне Вуд-Саксон потенциалын

V(r)=-V₀l(1+exp )

алады. Мұндағы әріптік белгілеулер жалпы қабылданған спектроскопиялық

белгілеулерге сәйкес келеді:

Орбиталық кванттық сан 0 1 2 3 4 5 6 7

Деңгейлердің әріптік белгісі s p d f g h i(j) k

Ал, оның алдындағы сан моменті l деңгейдің кездесу ретін (мысалы, 2s орбиталық моменті нөлге тең, екінші (төменнен санағанда), 3f-моменті (l=3) үшке те үшінші деңгейді т.с) көрсетеді.

1- кестеде потециалық шұңқырлар үшін толған деңгейлерге сәйкес сандар келтірілген.

1-кесте

Қабық (n)	1(0)	2(1)	3(2)	4(3)	5(4)	6(5)
			0.2	1.3	0.24
Күй	1s	1p	2s,1d	2p,1f	3s,2d,1g	3p,2f,1h
N=2(2l+1)			2,10	6,14	2,10,18	6,14,22

Оның ішінде тәжірибеде байқалатын киелі сандарға тек бірінші үш сан (2,8,20) ғана сәйкес келеді. Қалған деңгейлерді n=l+2n_r –мен анықталатын өабыөтарға біріктіруге болады. Мұндағы n- бас кванттық сан деп аталады, ол n=0,1,2,... мәндерін қабылдай алады. n_r – радиалдық кванттық сан, ол да нөлге немесе бүтін санға тең бола алады. Ол толқындық функцияның ядроның ішіндегі түйіндер санын анықтайды. Сонда l n-нан кіші және n тақ болса тақ, n – жұп болса жұп болу керектігі шығады.

Осыдан берілген n-ге сәйкес келетін қабықтағы нуклонның бір түрінің саны

Z=2 (9)

болады. Берілген қабық үшін n мен ℓ -дің жұптылықтары бірдей. n-тақ үшін ℓ_min= 1 , n-жұп болса ℓ_min = 0.

Деңгейлердің тік бұрышты шұңқырдан Вуд-Саксон (шеттері жұмырланған) потенциалға өткенде орын ауыстырулары киелі сандарды потенциалық шұнқырдың түрін өзгерту арқылы алуға болатынын көрсетеді. Мысалы, шұңқырдың түбінің ортасын көтеру арқылы 50,82 киелі сандарын алуға болады. Бірақ, онда басқа тәжірибелік мәліметтерді (мысалы, ядроның спині мен магнит моментін, бета-ыдырау заңдылықтарын және т.с.) түсіндіру қиынға түседі.

Бұл қиыншылықтарды жеңу жолын 1949-жылы Гепперт-Майер мен Иенсен ұсынды. Оларша нуклонның спині мен моменті арасындағы спин-орбиталдық әсерлесуді ескеріп, оған әсер ететін өздік үйлесімді потенциалды

V(r)+U(r)*(s*l) (10)

түрінде алу керек. Мұндағы V(r) - Вуд-Саксон потенциалы немесе осцилляторлық потенциал, s -нуклонның спині, ℓ -оның орбиталық моменті. U(r) – V(r) - ден гөрі әлсіздеу центрлік симметриялы потенциал. Атомдағы заңдылықта еліктеп, әлбетте ол потенциалды

U(r)=b (11)

түрінде қабылдайды. b- спин-орбиталдық әрекеттесу тұрақтысы.

Бір бөлшектік қабықтық модел бойынша ядроның қасиеттерін қосақсыз нуклон анықтайды. Нуклонның қасиеттері былайша анықталады.

1. Берілген ядро үшін оның кұрамында кандай нуклонның (протонның немесе нейтронның) саны тақ екені анықталады.

2. «Қосақталған нуклондар мүмкіндігінше ең төменгі деңгейлерге орналасады» - деп есептеп, нуклондардың берілген саны қай деңгейге дейін толтыруға жететінін анықтайды.

3. Қосағы жоқ нуклон, толтырылған деңгейлердің ең жоғарғысы болып табылатын, шала толтырылған деңгейде болады деп есептеп, оның сипаттамаларын анықтайды:

а)нуклонның (демек ядроның) толық импульс моментімен жұптылығы осы деңгейдің спині j мен жұптылығына (-1)^l тең болады.

б)оның магнит моменті Шмидт моделіндегі сияқты формулаларымен анықталады.

в)жұп-жұп ядролардың спині мен магнит моменті нөлге теңдігі алынады.

г)Тақ-тақ ядролардың спині, егер протон мен нейтрон бірдей деңгейде болса, олардың спиндерінің қосындысына J=j_p+j_n тең болады.