Лабораторная работа № 3(6)

Определение ускорения свободного падения тел

с помощью физического маятника

Выполнил студент ______________, группа_____________, дата___________.

Допуск ______________

Выполнение __________

Зачет ________________

Цель работы: изучить законы колебательного движения физического маятника.

Приборы и материалы

№ п\п	Наименование прибора	Цена деления	Предел измерения (хmax)	Точность отсчета (Δхпр)
	Маятник физический	-	-	-
	Опора трехгранная	-	-	-
	Секундомер
	Линейка

Теоретические сведения

Основные понятия и законы

Свободное падение

Свободное падение — это движение тела под действием только силы тяжести.

На тело, падающее в воздухе, кроме силы тяжести действует сила сопротивления воздуха, следовательно, такое движение не является свободным падением. Свободное падение — это падение тел в вакууме.

Ускорение , которое сообщает телу сила тяжести, называют ускорением свободного падения. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость свободно падающего тела за единицу времени. Ускорение свободного падения направлено вертикально вниз.

Галилео Галилей установил (закон Галилея): все тела падают на поверхность Земли под действием земного притяжения при отсутствии сил сопротивления с одинаковым ускорением, т. е. ускорение свободного падения не зависит от массы тела.

В земных условиях g зависит от географической широты местности. Наибольшее значение оно имеет на полюсе ( = 9,81 м/с²), наименьшее — на экваторе ( = 9,75 м/с²). Причины этого: 1) суточное вращение Земли вокруг своей оси; 2) отклонение формы Земли от сферической; 3) неоднородное распределение плотности земных пород.

Ускорение свободного падения зависит от высоты h тела над поверхностью планеты. Его, если пренебречь вращением планеты, можно рассчитать по формуле:

где G — гравитационная постоянная, Μ — масса планеты, R — радиус планеты.

Как следует из последней формулы, с увеличением высоты подъема тела над поверхностью планеты ускорение свободного падения уменьшается. Если пренебречь вращением планеты, то на поверхности планеты радиусом R

Для небольших высот ( ) можно считать = const, для таких высот свободное падение является равноускоренным движением. Для его описания можно использовать формулы равноускоренного движения:

уравнение скорости: ;

кинематическое уравнение, описывающее свободное падение тел:

,

или в проекции на ось Oy:

.

Механические колебания

Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют колебательные движения.

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости (качание маятника часов, колебания струны или ножек камертона, напряжение между обкладками конденсатора в контуре радиоприемника, работа сердца); (см. рис.1).

Рис.1.

Система, совершающая колебания, называется осциллятором.

Все колебательные процессы классифицируются по следующим параметрам:

– по физической природе:

· механические (звук, вибрация), электромагнитные (свет, радиоволны, тепловые), смешанного типа (комбинации вышеперечисленных колебаний).

Колебания различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения. Мы будем рассматривать механические колебания.

– по характеру взаимодействия с окружающей средой:

· Свободные (или собственные) — это колебания в системе под действием внутренних сил, после того как система выведена из состояния равновесия. Простейшими примерами свободных колебаний являются колебания груза, прикреплённого к пружине, или груза, подвешенного на нити.

· Вынужденные — колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия. Примеры: листья на деревьях, поднятие и опускание руки. При вынужденных колебаниях может возникнуть явление резонанса: резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадении собственной частоты осциллятора и частоты внешнего воздействия.

· Автоколебания — колебания, при которых система имеет запас потенциальной энергии, расходующейся на совершение колебаний (пример такой системы — механические часы). Характерным отличием автоколебаний от свободных колебаний является, то, что их амплитуда определяется свойствами самой системы, а не начальными условиями.

· Параметрические — колебания, возникающие при изменении какого-либо параметра колебательной системы в результате внешнего воздействия.

· Затухающие колебания – постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. Затухание свободных механических колебаний вызывается главным образом трением и возбуждением в окружающей среде упругих волн.

Будем рассматривать незатухающие свободные колебания – идеальный случай, т.к. свободные колебания реальных систем всегда затухающие.

Общими характеристиками колебаний являются:

· Смещение x — отклонение тела от положения равновесия, (м).

· Амплитуда А (м) — максимальное отклонение тела от положения равновесия.

· Период Т (с) — наименьший промежуток времени, за который тело совершает одно полное колебание1: Т = t/N, где t – время, за которое совершается N колебаний.

· Частота или n (Гц, с⁻¹) — число колебаний в единицу времени:

n = N/t = 1/Т.

В круговых или циклических процессах вместо характеристики «частота» используется понятие круговая (циклическая) частота (рад/с)показывающая число колебаний за единиц времени:

w = 2p / T = 2pn

Фаза колебаний φ = (ωt + φ₀) — определяет смещение тела в любой момент времени, то есть определяет состояние колебательной системы, где φ₀ – начальная фаза (в момент времени t = 0).

Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания.

Гармонические колебания

Гармонические колебания – колебания, при которых физическая величина, характеризующая эти колебания, изменяется во времени по синусоидальному закону

x = A sin (ωt + φ₀).

Графиком гармонических колебаний является синусоида (рис. 3):

Рис. 3.

Выбор начальной фазы позволяет при описании гармонических колебаний перейти от функции синуса к функции косинуса:

.

Обобщенное гармоническое колебание в дифференциальном виде:

,

или

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению:

F = ma = –mω² x,

где m – масса колеблющегося тела.

Физическую систему, в которой могут существовать гармонические колебания, называют гармоническим осциллятором, а уравнение гармонических колебаний – уравнением гармонического осциллятора.

Физический маятник

Маятник – твёрдое тело, совершающее под действием приложенных сил колебания около неподвижной точки или оси.

Физическим маятником называется любое твердое тело, имеющее неподвижную горизонтальную ось и способность совершать под действием силы тяжести колебания около этой оси. Такие колебания могут происходить, если ось вращения т. О тела не проходит через центр тяжести т. С (рис.4).

Рис. 4.

Если маятник отклонен от положения равновесия на некоторый малый угол α, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела момент М возвращающей силы F можно записать в виде:

, (1)

где J - момент инерции2 маятника относительно оси, проходящей через точку О; l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника;
F_τ - возвращающая сила (знак минус обусловлен тем, что направление F_τ и α всегда противоположны); sinα ≈ α соответствует малым колебаниям маятника, т.е. малым отклонениям маятника из положения равновесия.

Уравнение (1) можно записать в виде:

или

Принимая

(2)

получим уравнение

,

решение которого имеет вид:

(3)

Из выражения (6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω_о и периодом:

(4)

Т.о., период колебания физического маятника выражается формулой:

где: I – момент инерции маятника относительно оси вращения; m – его масса; l – расстояние от оси вращения до центра тяжести маятника; g – ускорение свободного падения.

Эта формула даёт результаты приемлемой точности (ошибка менее 1 %) при углах, не превышающих 4°.

Эта зависимость периода колебания маятника от ускорения силы тяжести и используется для его определения.